2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單的應(yīng)用．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc15425" 5-5 空間直線、平面的垂直 PAGEREF _Tc15425 \h 1
\l "_Tc12536" 一、主干知識 PAGEREF _Tc12536 \h 1
\l "_Tc8352" 考點1：直線與平面垂直 PAGEREF _Tc8352 \h 1
\l "_Tc31663" 2.直線和平面所成的角 PAGEREF _Tc31663 \h 2
\l "_Tc29217" 3．二面角 PAGEREF _Tc29217 \h 2
\l "_Tc9950" 4．平面與平面垂直 PAGEREF _Tc9950 \h 2
\l "_Tc29597" 【常用結(jié)論總結(jié)】 PAGEREF _Tc29597 \h 3
\l "_Tc29419" 二、分類題型 PAGEREF _Tc29419 \h 3
\l "_Tc4367" 題型一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) PAGEREF _Tc4367 \h 3
\l "_Tc15465" 題型二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) PAGEREF _Tc15465 \h 4
\l "_Tc23351" 題型三 垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc23351 \h 5
\l "_Tc17835" 三、分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 PAGEREF _Tc17835 \h 6
一、主干知識
考點1：直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.直線和平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.
(2)范圍：.
3．二面角
(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范圍：[0，π]．
4．平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的定義
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理
【常用結(jié)論總結(jié)】
1．三垂線定理
在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．
2．三垂線定理的逆定理
平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．
二、分類題型
題型一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br>【解答】（1）因為平面平面，
所以，同理，
所以為直角三角形，
又因為，，
所以，則為直角三角形，故，
又因為，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，則，
以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，所以，
所以，
又因為二面角為銳二面角，
所以二面角的大小為.
（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得A至處，且．

(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【解答】（1）由題意得，，，
因為，則，
又，面，所以面，
又面，則，
又，，平面，平面，
所以平面．
（2）取的中點，可知，
由，且可得，
所以四邊形是平行四邊形，所以，則平面，
設(shè)，以點為坐標(biāo)原點，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，取，則，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，取，則，
所以，由圖可知，二面角為銳角，
所以面角的余弦值為 ．
證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．
(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．
（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）如圖所示，在直四棱柱中，，，且是的中點.

(1)證明：；
(2)若，求四棱柱的體積.
【解答】（1）如圖，連接，，，，，
，，

，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，.
（2）設(shè)，則由已知可得，
，，
，，即，
解得（負(fù)值舍去），，
四棱柱的體積.
（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，矩形所在的平面與平面垂直，且.已知.

(1)求證：；
(2)求四棱錐的表面積.
【解答】（1）因為平面平面，平面平面，
且，平面，∴平面，又平面，
∴，又，且，平面，
∴平面，又平面，∴.
（2）因為，所以矩形的面積為2，
在中，，，故，故的面積為；
和的面積分別為和.而，，，
故邊上的高為，
故的面積為，
故四棱錐的表面積為.
題型二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)
（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在如圖所示的空間幾何體中，與均是等邊三角形，直線平面，直線平面，.

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【解答】（1）

如圖1，設(shè)平面與直線的交點為，連接，.
因為直線平面，直線平面，平面，平面，
所以，.
因為，平面，平面，
所以平面.
因為平面，平面，
所以，.
又因為與均是等邊三角形，
所以為中點，且二面角的平面角為.
在平面四邊形中，
因為，
所以，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面平面，平面平面，
又，平面，
所以，平面.
又因為，平面，
所以，.
同理可得，.
所以，四邊形為平行四邊形.
又，所以四邊形為矩形.

如圖2，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因為四邊形為矩形，設(shè)，則由已知可得，，
則，，，，
所以，，，，.
設(shè)平面的一個法向量為，
則，所以.
令，則為平面的一個法向量.
設(shè)平面的一個法向量為，
則，所以.
令，解得為平面的一個法向量.
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考三模）如圖，在四棱錐中，，，，.

(1)證明：平面平面；
(2)已知，，.若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.
【解答】（1）如圖，取的中點分別為，連接BE，AF，EF，CF，
所以，且，
又，，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為，，所以，
因為，，所以，
又，所以，
所以，即.
又，，平面，
所以平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，因為，平面，
所以，，所以.
在Rt中，，，
則，則.
因為，，所以，
所以，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點，向量，，的方向分別為軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
所以，，，，.
由，，得.
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，則，得平面的一個法向量為，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，則，，所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
解得，故的值為.
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用
①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．
（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，矩形所在的平面與平面垂直，且.已知.

(1)求證：；
(2)求四棱錐的表面積.
【解答】（1）因為平面平面，平面平面，
且，平面，
∴平面，又平面，
∴，又，且，平面，
∴平面，又平面，
∴.
（2）因為，
所以矩形的面積為2，
在中，，，故，
故的面積為；和的面積分別為和.
而，，，故邊上的高為，
故的面積為，
故四棱錐的表面積為.
（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，，平面平面．
(1)求證：；
(2)求的長度；
(3)求二面角的大?。?br>【解答】（1）證明：平面平面，平面平面，
且，平面．平面，．
（2），，．
，，．
平面，，．
（3）
作于點，于點，連接平面平面，
平面，根據(jù)三垂線定理得，是二面角的平面角．
在中，，因為，
，即二面角的大小是．
題型三 垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點P是AD1上的動點．
(1)試判斷不論點P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)P為AD1的中點時，求異面直線AA1與B1P所成的角的余弦值；
(3)求PB1與平面AA1D1所成角的正切值的最大值．
【解答】(1)∵BA⊥平面AA1D1D，BA?平面BPA，∴平面BPA⊥平面AA1D1D，∴與P點位置無關(guān)．
(2)過點P作PE⊥A1D1，垂足為E，連接B1E(如圖)，則PE∥AA1，
∴∠B1PE或其補(bǔ)角是異面直線AA1與B1P所成的角．在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，
∴∠A1AD1＝30°，∵A1B1＝A1D1＝eq \f(1,2)AD1＝2，A1E＝eq \f(1,2)A1D1＝1.又PE＝eq \f(1,2)AA1＝eq \r(3).
∴在Rt△B1PE中，B1P＝eq \r(B1E2＋PE2)＝2eq \r(2)，cs∠B1PE＝eq \f(PE,B1P)＝eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(6),4).
∴異面直線AA1與B1P所成的角的余弦值為eq \f(\r(6),4).
(3)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1，∴∠B1PA1是PB1與平面AA1D1所成的角，tan∠B1PA1＝eq \f(B1A1,A1P)＝eq \f(2,A1P)，
當(dāng)A1P最小時，tan∠B1PA1最大，這時A1P⊥AD1，由A1P＝eq \f(A1D1·A1A,AD1)＝eq \r(3)，
得tan∠B1PA1＝eq \f(2\r(3),3)，即PB1與平面AA1D1所成角的正切值的最大值為eq \f(2\r(3),3).
如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點．
(1)求證：AF∥平面SEC；
(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一點M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq \f(BM,BS)的值；若不存在，請說明理由．
【解答】(1)如圖，取SC的中點G，連接FG，EG，
∵F，G分別是SB，SC的中點，∴FG∥BC，F(xiàn)G＝eq \f(1,2)BC，∵四邊形ABCD是菱形，E是AD的中點，
∴AE∥BC，AE＝eq \f(1,2)BC，∴FG∥AE，F(xiàn)G＝AE，∴四邊形AFGE是平行四邊形，
∴AF∥EG，又AF?平面SEC，EG?平面SEC，∴AF∥平面SEC.
(2)∵△SAD是等邊三角形，E是AD的中點，
∴SE⊥AD，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACD是等邊三角形，又E是AD的中點，
∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE?平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，又EG?平面SEC，
∴AD⊥EG，又四邊形AFGE是平行四邊形，
∴四邊形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，
又SA＝AB，F(xiàn)是SB的中點，
∴AF⊥SB，
又FG∩SB＝F，F(xiàn)G?平面SBC，SB?平面SBC，
∴AF⊥平面SBC，又AF?平面ASB，
∴平面ASB⊥平面CSB.
(3)存在點M滿足題意．假設(shè)在棱SB上存在點M，使得BD⊥平面MAC，
連接MO，BE，則BD⊥OM，
∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形，
∴BE＝eq \r(7)，
SE＝eq \r(3)，BD＝2OB＝2eq \r(3)，SD＝2，SE⊥AD，
∵側(cè)面SAD⊥底面ABCD，
側(cè)面SAD∩底面ABCD＝AD，SE?平面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，
∴SB＝eq \r(SE2＋BE2)＝eq \r(10)，
∴cs∠SBD＝eq \f(SB2＋BD2－SD2,2SB·BD)＝eq \f(3\r(30),20)，
∴eq \f(OB,BM)＝eq \f(3\r(30),20)，∴BM＝eq \f(2\r(10),3)，∴eq \f(BM,BS)＝eq \f(2,3).
(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．
(2)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．
如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為四邊形，△ABD是邊長為2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.
(1)求證：PD⊥平面ABCD；
(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值為eq \f(\r(6),6)，求PD的長．
【解答】(1)如圖所示，E為BD的中點，連接AE，△ABD是正三角形，
則AE⊥BD.
平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，
AE?平面ABCD，
故AE⊥平面PBD，PD?平面PBD，
故AE⊥PD.
PD⊥AB，AE∩AB＝A，
AE，AB?平面ABCD，
故PD⊥平面ABCD.
(2)過點E作EF⊥PB于點F，連接CF，CE，
因為BC⊥CD，BC＝CD，E為BD的中點，
所以EC⊥BD，
所以EC⊥平面PBD.
又PB?平面PBD，所以EC⊥PB，
又EC∩EF＝E，EC，EF?平面EFC，
所以PB⊥平面EFC，
又因為CF?平面EFC，
所以CF⊥PB，
故∠EFC為二面角C－PB－D的平面角．
cs∠EFC＝eq \f(\r(6),6)，
故tan∠EFC＝eq \r(5)，EC＝1，故EF＝eq \f(\r(5),5).
sin∠PBD＝eq \f(EF,EB)＝eq \f(\r(5),5)，tan∠PBD＝eq \f(1,2)，
即eq \f(PD,BD)＝eq \f(1,2)，PD＝1.
三、分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固
1．（2023?廣西一模）一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3和6，側(cè)棱長為2，則其高為
A．B．1C．D．
【分析】畫出圖形，延長正三棱臺的三條棱，，，交于點，作底面于，連接，然后轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3和6，側(cè)棱長為2，
如圖，延長正三棱臺的三條棱，，，交于點，
因為，，
則，作底面于，
連接，則，故，
故正三棱臺的高為．
故選：．
【點評】本題考查棱臺與棱錐的關(guān)系，直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，棱臺高的求法，是中檔題．
2．（2023?濰坊模擬）如圖，在正三棱錐中，，，為底面的中心，點在線段上，且，若平面，則實數(shù)
A．B．C．D．
【分析】由正三棱錐的性質(zhì)可知為的外接圓的圓心，由三角形的邊長可知外接圓的半徑的大小，進(jìn)而求出的大小，再由底面，求出的大小，進(jìn)而求出，求出的值．
【解答】解：連接，，由正三棱錐可知為的外接圓的半徑，設(shè)半徑為，
則，
且面，
所以，可得，
因為平面，可得，且，
在中，，所以，
所以，
所以，求即，即，
故選：．
【點評】本題考查正三棱錐的性質(zhì)的應(yīng)用，線段之比與向量的系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2023?張家口一模）已知正方體，則下列選項不正確的是
A．直線與所成的角為
B．
C．平面
D．
【分析】由，得直線與所成的角即為直線與所成的角，由△為等邊三角形，求出；由四邊形為正方形，得．平面，從而，從而平面，．再由，得平面，，由，得；設(shè)正方體的棱長為1，利用余弦定理判斷．
【解答】解：正方體，如圖，
，直線與所成的角即為直線與所成的角．
又△為等邊三角形，，故正確；
四邊形為正方形，，
平面，．
平面，平面，，
平面．又平面，，
同理，
又平面，平面，，
平面，．
又，，故，正確；
設(shè)正方體的棱長為1，
則，，，，故錯誤．
故選：．
【點評】本題考查異面直線所成角、線面垂直、線線垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
二．填空題（共1小題）
4．（2023?呼和浩特模擬）如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點，，為正方體的頂點．則滿足的是 ①③ ．（填寫正確的序號）
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量分析判斷即可．
【解答】解：設(shè)正方體的棱長為2，
對于①，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，，1，，
則，
所以，
所以，故①正確，
對于②，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，2，，，0，，，1，，，1，，
則，
所以，
所以與不垂直，故②錯誤，
對于③，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，2，，，2，，，0，，，1，，
則，
所以，
所以，故③正確，
對于④，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，2，，，1，，
則，
所以，
所以與不垂直，故④錯誤，
故答案為：①③．
【點評】本題考查空間向量在立體幾何中的運用，屬于基礎(chǔ)題．
三．解答題（共12小題）
5．（2023?楊浦區(qū)校級模擬）如圖，矩形所在平面與直角梯形所在的平面垂直，，．
（1）求證：平面平面；
（2）若，求證：．
【分析】（1）由線面平行的判定可證面、面，再用面面平行的判定證結(jié)論；
（2）由面面垂直的性質(zhì)得平面，再由線面垂直的性質(zhì)、判定證面，最后由線面垂直的性質(zhì)證線線垂直即可．
【解答】證明：（1）因為，面，面，所以面．
因為是矩形，所以，又面，面，所以面．
又，且、平面，所以面面．
（2）因為是矩形，所以．
因為面面，且面面，面，
所以平面，而平面，所以．
因為，，、面，所以面，
因為面，所以．
【點評】本題主要考查平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理，平面與平面垂直的性質(zhì)定理和直線和平面垂直的判定和性質(zhì)定理，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．
6．（2023?廣西模擬）如圖，在四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，．點為棱的中點，點為棱上的一點，且，平面平面．
（1）證明：平面；
（2）證明：平面．
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可得證明；
（2）首先推得四邊形為平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理，可得證明．
【解答】證明：（1）由已知可得，，，
則，，
又平面平面，
且平面平面，
且平面，
則平面，
（2）在中，，，．
取棱中點為，連接、、，
為的中點，，且，
又，，且，
，且，四邊形為平行四邊形，
．
又平面，
且平面，則平面．
【點評】本題考查空間中線面平行的判定定理、面面垂直和線面垂直的性質(zhì)定理，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題．
7．（2023?泰和縣校級一模）如圖，四棱錐，平面平面，．，，，，為中點．
（1）求證：．
（2）求證：平面．
【分析】（1）推導(dǎo)出．從而平面，由此能證明．
（2）取中點，連接、，從而四邊形是平行四邊形，，推導(dǎo)出，，，，平面，，，，由此能證明平面．
【解答】證明：（1）平面平面，平面平面，．
平面，
平面，
．
（2）取中點，連接、，
在中，，分別為，的中點，
，，又，，，
四邊形是平行四邊形，，
，為的中點，
，，
平面，平面，
，
，，，
，，，
平面，
平面，，
，，
，，
，，，平面．
【點評】本題考查線面垂直、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，是中檔題．
8．（2023?蘆溪縣校級一模）如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，是的中點．
（1）求證：直線平面；
（2）求證：平面．
【分析】（1）由題意可得，由，可求得，從而有平面．
（2）取線段的中點，連接，，證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而證明面面，即可證明平面；
【解答】證明：（1）平面，平面，
，
，，
，
，
，
又，
平面．
（2）取線段的中點，連接，．則，，
所以四邊形是平行四邊形，
則；
又且，
面面，
又面，
平面．
【點評】本題考查線面平行、面面垂直，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行、面面垂直的判定，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
9．（2023?吉州區(qū)校級一模）如圖，在四棱錐中，平面，，．
（1）求證：平面；
（2）設(shè)點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面？說明理由．
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面；
（2）在棱上存在中點，使得平面，利用線面平行的判定定理證明．
【解答】解：（1）證明：平面，平面，
，
，，
平面；
（2）在棱上存在中點，使得平面，
證明如下：
點為的中點，取為的中點，
為的中位線，得，
平面，平面，
平面．
【點評】本題考查線面平行與垂直的證明，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求點到平面的距離，是中檔題．
10．（2023?江西模擬）如圖，在幾何體中，，，已知平面平面，平面平面，平面，．
（1）證明：平面；
（2）若，設(shè)為棱上的點，且滿足，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時與所成角的余弦值．
【分析】（1）由題意通過面面垂直的性質(zhì)得到平面，然后結(jié)合線面平行可得，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；
（2）過點作交與點，連接，據(jù)此可得四邊形為平行四邊形，然后把多面體分為兩個三棱錐求體積，令，把求體積的最大值轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的函數(shù)的最大值，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，然后以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量法求與所成角的正切值．
【解答】（1）證明：過點作，與交于點，
平面平面，且兩平面的交線為，
由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，
又平面，，
又且，
由線面垂直的判斷定理可得平面．
（2）解：過點作交與點，連接，
平面平面，且兩平面的交線為，
平面，
又平面，
，到平面的距離相等，
且，平面，
，，
，
又，令，
則，
則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
據(jù)此可知當(dāng)，即時取得最大值，
如圖所示，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，1，，，，0，，，0，，
因為為棱上的點，且滿足，
所以，，，
，，，0，，
設(shè)與所成角為，
則，
即當(dāng)幾何體體積最大時，與所成角的余弦值為．
【點評】本題主要考查線面垂直的證明，錐體體積的相關(guān)計算，利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法，線面角的計算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題．
11．（2023?江西模擬）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為1，延長直徑到點，使得，分別過點，作底面圓的切線，兩切線相交于點，點是切線與圓的切點．
（1）證明：平面平面；
（2）點到平面的距離為，求的值．
【分析】（1）由線面垂直、切線的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直及面面垂直的判定即可證得．
（2）利用等體積法求點到平面的距離為．
【解答】解：（1）證明：由題設(shè)，平面，又是切線與圓的切點，
所以平面，則，且，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）因為，，，
所以，，
又，，
所以，
所以，
所以，且的面積為，
因為，
所以，
所以為等腰三角形，其底邊上的高為，
所以的面積為，
因為，
所以，
所以．
【點評】本題考查面面垂直的判定以及點到平面的距離，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題．
12．（2023?奉賢區(qū)二模）如圖，在四棱錐中，，且．
（1）證明：平面平面；
（2）若，，且四棱錐的體積為，
求與平面所成的線面角的大?。?br>【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合線面垂直的判定，推出平面，再結(jié)合平面，即可求證；
（2）取中點，結(jié)合線面垂直的判定，推出底面，再結(jié)合四棱錐的體積公式，推得，即可求出，再結(jié)合為與平面所成的角，即可求解．
【解答】證明：（1）在四棱錐中，，
，，
又，
，
，
平面，
平面，
平面平面；
（2）解：取中點，連結(jié)，
，為的中點，
，
平面，平面，
，
，
底面，
設(shè)，
則，，
四棱錐的體積為，底面，
，解得，
，
，
底面，
為與平面所成的角，
在中，，
，
故與平面所成的線面角為．
【點評】本題主要考查平面與平面垂直的證明，以及直線與平面所成角的求解，屬于中檔題．
13．（2023?思明區(qū)校級四模）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，為的中點，
（1）證明：平面平面；
（2）若，與平面所成的角為，試問“在側(cè)面內(nèi)是否存在一點，使得平面？”若存在，求出點到平面的距離；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）推導(dǎo)出，，從而平面．由此能證明平面平面．
（2）在平面內(nèi)作于，連接，推導(dǎo)出平面，則為與平面所成的角，，以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點到平面的距離．
【解答】解：（1）證明：由四邊形是直角梯形，，，，
可得，，從而是等邊三角形，，平分．
為的中點，，，
又，，平面．
又平面，
平面平面．
（2）在平面內(nèi)作于，連接，
又平面平面，平面平面，
平面
為與平面所成的角，則，
由題意得，，為的中點，．
以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，，，，0，，，0，，
假設(shè)在側(cè)面內(nèi)存在點，使得平面成立，
設(shè)，，，
由題意得，
，，，，，，，0，，
由，得，
解得，滿足題意，
點到平面的距離為．
【點評】本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
14．（2023?岳陽縣模擬）如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，是的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）若是的中點，且二面角的余弦值是，求直線與平面所成角的正弦值．
【分析】（1）證明．設(shè)中點為，連接．推出，，得到平面，然后證明平面平面．
（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，求出面的法向量、面的法向量，利用二面角的余弦值，可求的值，從而可求直線與平面所成角的正弦值．
【解答】解：（1）平面，平面，得．
又．在，得，
設(shè)中點為，連接．
則四邊形為邊長為1的正方形，
所以，且，
因為，所以，
又因為，所以平面，又平面．
所以平面平面．
（2）如圖，以為原點，取中點，，，分別為軸、軸、軸正向，
建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，，
設(shè)，0，，則，，1，，
，0，，．
設(shè)面的法向量為，，，由，
取，，．
可取面的法向量，，
依題意，，，解得．
于是，，，，1，．
設(shè)直線與平面所成角為，則，
即直線與平面所成角的正弦值為．
【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象以及計算能力．
15．（2023?瓊山區(qū)校級二模）已知平面四邊形（圖中，，均為等腰直角三角形，，分別是，的中點，，，沿將翻折至的位置（圖，拼成三棱錐．
（1）求證：平面平面；
（2）當(dāng)二面角的平面角為時，求直線與平面所成角的正弦值．
【分析】（1）證明出，，由線面垂直判定定理證明平面，再由面面垂直判定定理證明平面平面；
（2）①證明為二面角的平面角，取的中點，由面面垂直判定定理證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量和平面的法向量，利用向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值；②求向量在平面的法向量上的投影向量的長度即可．
【解答】解：（1）證明：連結(jié)，．
因為，分別是，的中點，所以．
又，所以，
因為，所以，
又，、平面，所以平面．
因為平面，所以平面平面．
（2）①因為，，所以就是二面角的平面角．
由已知．
因為為以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點，所以．
又，所以為等邊三角形．
取中點，連接，則．
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以面．
如圖，以直線為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)面的一個法向量
則有，所以，取，
而，
所以，
所以直線與面所成角的正弦值為
【點評】本題考查面面垂直的證明，向量法求解線面角問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
16．（2023?鄭州二模）如圖，在長方體中，，和分別是棱和的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）若，求三棱錐的體積．
【分析】（1）易知△，有，再證，而，由線面垂直的判定定理知，平面，進(jìn)而得證；
（2）根據(jù)等體積法，，即可得解．
【解答】（1）證明：在正方形中，，，
△，，
，
，
由長方體的性質(zhì)知，平面，
，
又，、平面，
平面，
平面，
平面平面．
（2）解：三棱錐的體積．
【點評】本題考查空間中線與面的位置關(guān)系，棱錐的體積，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理，以及等體積法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
文字語言
圖形表示
符號表示
判定定理
如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))
?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))
?a∥b
文字語言
圖形表示
符號表示
判定定理
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a?α,a⊥β))
?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))
?l⊥α

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