（考試時間：120分鐘 滿分：150分）
第Ⅰ卷（選擇題 共58分）
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求．請把答案填涂在答題卡上．
1．若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．
C．D．
2．若角終邊上一點，則（ ）
A．B．C．D．
3．若函數(shù)的定義域為，則“在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的（ ）
A．充分必要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
4．若，，，則它們的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
5．若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖像過定點（ ）
A．B．C．D．
6．分別以等邊三角形的三個頂點為圓心，邊長為半徑，在另外兩個頂點之間畫一段劣弧，由這樣的三段圓弧組成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，如圖所示．已知某勒洛三角形的周長是，則該勒洛三角形的面積是（ ）
A．B．
C．D．
7．若，，則的值為（ ）
A．B．0C．D．1
8．若函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．無數(shù)個
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．請把答案填涂在答題卡上．
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．將函數(shù)圖像上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像
C．的一個對稱中心是
D．當時，函數(shù)的值域是
10．已知，，且，則（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)
B．
C．若，使得成立，則
D．函數(shù)（且的圖像與函數(shù)的圖像的所有交點縱坐標之和為20
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．______．
13．函數(shù)（，）在一個周期內(nèi)的圖像如圖所示，則______．
14．若函數(shù)的值域為，且，則的最大值為______．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知函數(shù)．
（1）用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
（2）對任意的都有成立，求實數(shù)的取值范圍．
16．（本小題滿分15分）
已知函數(shù)．
（1）若，且，求的值；
（2）若，且，，求的值．
17．（本小題滿分15分）
已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值．
18．（本小題滿分17分）
已知函數(shù)，其中，．
（1）若，且是函數(shù)的一條對稱軸，求的最小值；
（2）若，且存在，，使成立，求的取值范圍；
（3）若，，且不等式對恒成立，求的值．
19．（本小題滿分17分）
雙曲函數(shù)在實際生活中有著非常重要的應(yīng)用，比如懸鏈橋．在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基礎(chǔ)的是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)．
（1）證明：；
（2）求證：函數(shù)存在唯一零點且；
（3）令，對任意，，都有，求實數(shù)的取值范圍．
龍巖市2024～2025學(xué)年第一學(xué)期期末高一教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)參考答案
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12． 13． 14．
11．[解析]
對于A，易知當時，，時，
因此可得在以及上分別為單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯誤；
對于B，易知函數(shù)滿足，因此可得關(guān)于對稱，
即B正確；
對于C，由，即，
即在有解，易知,
所以可得，解得，即C錯誤；
對于D，畫出函數(shù)以及的圖像如下圖所示：
易知也關(guān)于對稱，的周期為4，
一個周期與有兩個交點，所以與在共20個交點，即，故D正確．
故選：BD．
14．[解析]
，因為，所以，
所以函數(shù)值域為，故，
則
因為，當且僅當時取等號，
所以．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．
15．（本小題滿分13分）
解：（1）證明：取任意，，且，
有
由，可得，
，即，
所以在上單調(diào)遞增．（2）由在上單調(diào)遞增，
可得在上，
依題意得，
又，當且僅當，
即時取等號，
所以，解得
所以實數(shù)的取值范圍是
16．（本小題滿分15分）
解：（1），3分
由，得，又，所以.6分（2）由得，所以7分
又，所以.8分
由于，故，，，
所以，，故，10分
，
所以
，
又因為
故．
17．（本小題滿分15分）
解：（1）由題意得：，即，
所以，其中
所以，解得：
注：以特殊值求出，而未證明的給4分.
（2）由（1）得，
所以，
令，故的最小值為，
等價于，解得：
或，無解
綜上：
18．（本小題滿分17分）
解：（1）當時，，由已知得，
得，由，故當時，有最小正值3
（2）當時，，由已知條件，存在，，令，
則函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個最大值點，
則，即，所以的取值范圍為
（3）時，問題轉(zhuǎn)化為：不等式，對恒成立
由，則，
當或時，即或時，，
當時，即時，，
所以當或時，，
當時，，
設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以，
所以，解得，
又由，解得，
所以
19．（本小題滿分17分）
解：（1）證明：右邊
左邊.
所以
（2）證明：當時，，所以單調(diào)遞增.
又，由于，而，
所以.又，
所以由零點存在定理得在內(nèi)有唯一零點，使得.-
當時，，所以，則在上無零點；
當時，，所以，
則在上無零點.
綜上，在上有且僅有一個零點
所以，且，
則.
由函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，故
（3）因為對于任意都有成立，
所以成立.
因為當且僅當時等號成立，
所以
即對于任意成立，
又需滿足，對于任意成立，則，
由，可得，所以．
式可化為，
即對于任意成立，即成立，
即對于任意成立，
因為，所以對于任意成立，
即對于任意成立，而，所以，
又，可得，所以的取值范圍為.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
選項
C
B
C
D
B
A
A
B
題號
9
10
11
選項
AC
ACD
BD

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