本試卷共19題.考試時間120分鐘，滿分150分.
注意事項：
1.答題前考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名，考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號，姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；填空題和解答題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效.
3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一個是符合題目要求的.
1. 已知命題，則命題的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可得答案.
【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可得命題的否定是：.
故選：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式，利用集合間的關(guān)系確定選項.
【詳解】由得，解得.
記集合，，
∵?，
∴“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
3. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則在定義域內(nèi)為（ ）
A. 減函數(shù)B. 增函數(shù)C. 偶函數(shù)D. 奇函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可求出函數(shù)的解析式，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.
【詳解】設(shè)，則，解得，
∴，定義域為，為非奇非偶函數(shù)，
∵，∴在上為增函數(shù).
故選：B.
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】舉反例可說明選項A、B、C錯誤；作差法可證明選項D正確.
【詳解】對于選項A、B、C，令，，，，滿足.
，選項A錯誤.
，，選項B錯誤.
，選項C錯誤.
D.，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，即，選項D正確
故選：D.
5. 記，設(shè)，則函數(shù)的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)題意寫出分段函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最小值.
【詳解】由題可得，函數(shù)的解析式為，
令，解得或x=-1,
當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
∴fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴fx的最小值為.
故選：B.
6. 已知函數(shù)的零點為a，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，確定零點的取值范圍，即可得到的大小關(guān)系.
【詳解】∵在R上為減函數(shù)，在R上為減函數(shù)，
∴函數(shù)在R上為減函數(shù)，
∵，，
∴，
∴，，
∴.
故選：C.
7. 已知函數(shù)，，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性可以排除選項A,B；利用函數(shù)的單調(diào)性可排除選項C.
【詳解】根據(jù)圖像可得函數(shù)關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，
對于選項A：為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；
對于選項B：為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；
對于選項C：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤；
對于選項D：為奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；
故選：D
8. 定義在上的函數(shù)滿足，且，則（ ）
A. B. 是奇函數(shù)
C. 是偶函數(shù)D. 是減函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】令得，令可得選項A錯誤；令得，可得選項B正確；根據(jù)可得選項C錯誤；令，由可得選項D錯誤.
【詳解】令得，，即，
∵，∴不恒為0，∴，即.
A.令，則，
∴，即，
∵，∴，選項A錯誤.
B.令，則，∴，
令，則的定義域為，且，
∴是奇函數(shù)，選項B正確.
C.令，則，
由得，，
令，則，即，故，
由得，，∴不是偶函數(shù)，選項C錯誤.
D.令，則，，
由得不是減函數(shù)，選項D錯誤.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決問題的關(guān)鍵是通過賦值求函數(shù)值，根據(jù)奇偶性及單調(diào)性的定義判斷選項.
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.
9. 已知函數(shù)y=fx用列表法表示如下，則下列說法正確的是（ ）
A. 的定義域與值域相同
B.
C. 若，則
D. 是減函數(shù)
【答案】ACD
【解析】
【分析】由表格得選項A正確；根據(jù)函數(shù)定義域可得選項B錯誤；由條件得，解出可得選項C正確；根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得選項D正確.
【詳解】A.函數(shù)y=fx的定義域為，值域為，A正確.
B.由函數(shù)y=fx的定義域為可得選項B錯誤.
C.由得，，故，C正確.
D.由表格得，隨的增大而減小，故在定義域上是減函數(shù)，D正確.
故選：ACD.
10. 已知二次函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，
C. 若恒成立，則
D. 若在內(nèi)有零點，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，根的判別式和開口方向，零點存在定理及結(jié)合解不等式依次對每個選項進(jìn)行分析求解．
【詳解】A．當(dāng)時，，選項正確；
B．當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，選項錯誤；
C．若恒成立，則，解得：，選項正確；
D．，要使得在內(nèi)有零點，則，
即，解得：，選項正確；
故選：ACD．
11. 已知桌面上有一個周長為2的由鐵絲圍成的封閉圖形，則（ ）
A. 當(dāng)封閉曲線為半圓時，用直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋
B. 當(dāng)封閉曲線為正六邊形時，用直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋
C. 當(dāng)封閉曲線為平行四邊形時，用直徑1的圓形紙片不可以完全覆蓋
D. 當(dāng)封閉曲線為三角形時，用直徑為1的圓形紙片不可以完全覆蓋
【答案】AB
【解析】
【分析】逐項分析各圖形的外接圓半徑或直徑，與圓形紙片的直徑比較即可確定正確選項.
【詳解】A.設(shè)半圓半徑為，則，解得，故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋半圓，選項A正確.
B. 當(dāng)封閉曲線為正六邊形時，正六邊形的邊長為，正六邊形外接圓的直徑為，
故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正六邊形，選項B正確.
C. 當(dāng)封閉曲線為正方形時，正方形邊長為，正方形的外接圓直徑為，
故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正方形，
由正方形為平行四邊形可得選項C錯誤.
D. 當(dāng)封閉曲線為正三角形時，正三角形邊長為，正三角形的外接圓半徑為，
故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正三角形，選項D錯誤.
故選：AB.
三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.
12. 一個扇形的弧長和面積都是，則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)扇形弧長及面積公式求解可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，
則，兩式相除得，.
故答案為：.
13. ______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)運(yùn)算法則可得結(jié)果.
【詳解】
故答案為：.
14. 已知過原點O的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點（A點位于B點的左側(cè)），過A點作x軸的垂線交的圖象于點C，若BC與x軸平行，則A點的坐標(biāo)為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，則，根據(jù)BC與x軸平行得，利用求出，即可得到A點的坐標(biāo).
【詳解】
設(shè)，m>0，則，
由BC與x軸平行得，，
由得，，故，
由三點共線得，，
∴，即，解得，，
∴A點的坐標(biāo)為.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，集合.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式，化簡集合，根據(jù)集合的基本運(yùn)算可得結(jié)果.
（2）化簡集合，利用集合間的關(guān)系可求的取值范圍.
【小問1詳解】
由得，，解得，
∴，
當(dāng)時，，
∴.
【小問2詳解】
當(dāng)時，
∵，∴，
∴的取值范圍為.
16. 近幾年，直播平臺作為一種新型的學(xué)習(xí)渠道，正逐漸獲得越來越多人的關(guān)注和喜愛.某平臺從2024年初建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會員人數(shù)逐月增加，如下表所示：
為了描述從第1個月開始會員人數(shù)隨時間變化的關(guān)系.現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：
①，②，③.
（1）選出最符合實際的函數(shù)模型，并說明理由；
（2）請選取表格中的兩組數(shù)據(jù)，求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測第幾個月會員人數(shù)達(dá)到14萬.
【答案】（1）①，理由見解析
（2），第16個月
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義域以及指、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性特征分析判斷；
（2）根據(jù)點，，求，即可得函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)解析式運(yùn)算求解
【小問1詳解】
最符合實際的函數(shù)模型為①，
根據(jù)表格知函數(shù)解析式需滿足在上有定義，所以②不滿足，
又隨著月份增加，會員人數(shù)增加速度又會減慢，所以③不符合，
只有①同時滿足上述兩個特征，故最符合.
【小問2詳解】
可選取表格中的兩組數(shù)據(jù)為：，，
代入得
解得，即，
當(dāng)時，，解得，，
所以，可預(yù)測第16個月，會員人數(shù)達(dá)到14萬人.
17. 在單位圓中，已知銳角的終邊與單位圓交于點，將角的終邊繞原點按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點，點關(guān)于x軸的對稱點為.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.
（2）利用誘導(dǎo)公式及對稱表示，根據(jù)齊次式或同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求的值.
【小問1詳解】
由三角函數(shù)定義得，.
∵，為銳角，∴，
∴，，，，
∴.
【小問2詳解】
解法一：由題意得，，，，，
∴，，
∵為銳角，∴，即，
∴，即，
∴，故，
∴，即，解得或.
解法二：由題意得，，，，，
∴，，
∵銳角，∴，即，
∵，∴或，
∴或.
18. 已知函數(shù)
（1）證明：為奇函數(shù)；
（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（3），，使得，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的定義域為R且可得為奇函數(shù).
（2）利用定義法可得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.
（3）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得，分析范圍，利用集合間的關(guān)系可求參數(shù)的范圍.
【小問1詳解】
∵的定義域為R，且
∴為奇函數(shù).
【小問2詳解】
，且，
則
，
∵，∴，
當(dāng)時，，故，即，
∴在上是增函數(shù)，
當(dāng)時，，故，即，
∴在上是減函數(shù).
綜上，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
【小問3詳解】
解法一：∵，∴，，，
∴，.
由（2）知，函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).
∵，∴，∴，
∵，，使得，
∴，∴，解得，
∴.
解法二：∵，∴，，，
由（2）知，函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，
∴，即，故，
∵，∴，
∴，即，
∵，，使得，
∴，
∴，解得，
∴.
19. 定義：函數(shù)的定義域為，若對上的任意不同的兩個數(shù)和任意的，都有，則稱在上是凸函數(shù).
（1）判斷是否為凸函數(shù)，并說明理由；
（2）已知偶函數(shù)在上是凸函數(shù)，證明：在上也是凸函數(shù)；
（3）若在上是凸函數(shù)，對于定義域內(nèi)任意不同的三個數(shù)和任意的，證明：當(dāng)時，都有成立.
【答案】（1）是凸函數(shù)，理由見解析
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用作差法判斷，即可說明；
（2）根據(jù)凸函數(shù)的定義及偶函數(shù)的性質(zhì)證明即可；
（3）當(dāng)時顯然成立，當(dāng)時，結(jié)合凸函數(shù)的定義證明即可.
【小問1詳解】
是凸函數(shù)，理由如下：
因為
，
由于，所以，
即，
所以是凸函數(shù).
【小問2詳解】
任取，所以，
因為在上的凸函數(shù)，所以，
又因為是偶函數(shù)，所以，
所以在上也是凸函數(shù)；
【小問3詳解】
因為，，
由對稱性不妨設(shè)當(dāng)時，則，
此時顯然成立，
當(dāng)時，因為在是凸函數(shù)，
所以
而，再次根據(jù)凸函數(shù)的定義，
則
所以
，
即.1
2
3
3
2
1
建立平臺第x個月
1
2
3
4
5
會員人數(shù)y（萬）
2
5
6.7
8
8.9

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