數(shù)學(xué)試題
本試卷共19題．考試時間120分鐘，滿分150分．
注意事項：
1.答題前考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名，考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號，姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致．
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；填空題和解答題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．
3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一個是符合題目要求的．
1.已知命題，則命題的否定是
A. B．
C. D．
2.“”是“”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分不必要條件
3.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則在定義域內(nèi)為
A．減函數(shù)B．增函數(shù)C．偶函數(shù)D．奇函數(shù)
4.已知，則
A． B. C. D.
5.記，設(shè)，則函數(shù)的最小值是
A．0 B． C．D．2
6.已知函數(shù)的零點為a，，，則a，b，c的大小關(guān)系為
A．B．C．D．
7.已知函數(shù)，，則圖象為如圖的函數(shù)可能是
A． B．
C． D．
8．定義在上的函數(shù)滿足，且，則
A. B．是奇函數(shù)
C. 是偶函數(shù) D. 是減函數(shù)
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中， 有多項是符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.
9．已知函數(shù)用列表法表示如下，則下列說法正確的是
A．的定義域與值域相同
B．
C．若，則
D．是減函數(shù)
10．已知二次函數(shù)，則下列說法正確的是
A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，
C．若恒成立，則 D．若在內(nèi)有零點，則
11．已知桌面上有一個周長為2的由鐵絲圍成的封閉圖形，則
A．當(dāng)封閉曲線為半圓時，用直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋
B．當(dāng)封閉曲線為正六邊形時，用直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋
C．當(dāng)封閉曲線為平行四邊形時，用直徑1的圓形紙片不可以完全覆蓋
D．當(dāng)封閉曲線為三角形時，用直徑為1的圓形紙片不可以完全覆蓋
三、填空題: 本大題共3小題，每小題5分，共15分. 把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.
12.一個扇形的弧長和面積都是，則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)為______.
13. ______.
14. 已知過原點O的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點（A點位于B點的左側(cè)），
過A點作x軸的垂線交的圖象于點C，若BC與x軸平行，則A點的坐標(biāo)為______.
四、解答題：本大題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（本題滿分13分）
已知集合，集合.
（1）當(dāng)時，求;
（2）若，，求的取值范圍.
16.（本題滿分15分）
近幾年，直播平臺作為一種新型的學(xué)習(xí)渠道，正逐漸獲得越來越多人的關(guān)注和喜愛．某平臺從2024年初建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會員人數(shù)逐月增加，如下表所示：
為了描述從第1個月開始會員人數(shù)隨時間變化的關(guān)系．現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：
①，②，③．
（1）選出最符合實際的函數(shù)模型，并說明理由；
（2）請選取表格中的兩組數(shù)據(jù)，求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測第幾個月會員人數(shù)達(dá)到14萬．
17.（本題滿分15分）
在單位圓中，已知銳角的終邊與單位圓交于點，將角的終邊繞原點按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點， 點關(guān)于x軸的對稱點為.
（1）若，求的值;
（2）若，求.
18.（本題滿分17分）
已知函數(shù)
（1）證明：為奇函數(shù)；
（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（3），，使得，求實數(shù)的取值范圍.
19. （本題滿分17分）
定義：函數(shù)的定義域為，若對上的任意不同的兩個數(shù)和任意的，都有，則稱在上是凸函數(shù)．
（1）判斷是否為凸函數(shù)，并說明理由；
（2）已知偶函數(shù)在上是凸函數(shù)，證明：在上也是凸函數(shù)；
（3）若在上是凸函數(shù)，對于定義域內(nèi)任意不同的三個數(shù)和任意的，證明：當(dāng)時，都有
成立．
寧德市2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末高一質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)試題參考答案
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一個是符合題目要求的．
1-5. DABDB 6-8 CDB
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中， 有多項是符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得部分分，有選錯得0分.
9.ACD 10.ACD 11.AB
三、填空題: 本大題共3小題，每小題5分，共15分. 把答案填在答題卡的相應(yīng)位置
12． 13． 14．
四、解答題：本大題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15． 解：
（1）………………………………………………………3分
當(dāng)時，
……………..…………………………………5分
所以…………………………………...…………………………8分
（2）若時，
……………………………………………..…….………………..…10分
又.
所以……………………………………………..…...………..………………...…12分
所以的取值范圍為 …………………………..…...………..………………...…13分
16．解：
（1）最符合實際的函數(shù)模型為①，………………………………………2分
根據(jù)表格知函數(shù)解析式需滿足在上有定義，所以②不滿足，…4分
又隨著月份的增加，會員人數(shù)增加速度又會減慢，所以③不符合，………6分
只有①同時滿足上述兩個特征，故最符合.………………7分
（2）可選取表格中的兩組數(shù)據(jù)為：，
代入得………………………………………………………9分
解得，即，…………………………………………………………12分
當(dāng)時，，解得，，……………………….…………………14分
所以，可預(yù)測第16個月，會員人數(shù)達(dá)到14萬人.………………………………..………15分
17． 解法一：（1）當(dāng)時，因為為銳角
則,即……………...………...…………………...…1分
又…………..……………...……………………….……...…2分
…………………….………..……………………….……..…3分
…………………….……...………….…………….……..…4分
…………………..………………...…………………...…5分所以…………………………...…6分
（2）因為
所以…………………………. 7分
則…………………..…..8分
所以,
又為銳角
所以
即…………………..…9分
……………………………….…………..…10分
則
即.
.…………………………………………..……………….…………..…11分
則…………………………………..……………….…………..…12分
所以………………………………..……..………….…………..…13分
即
解得或………………..……………..………….…………..…15分
解法二：（1）同解法一
（2）因為
所以…………………………. 7分
則…………………..…..8分
所以,
又為銳角
所以
即………………..…9分
………………..…10分
聯(lián)立解得或…………….…12分
當(dāng)時，
……………………………………….…..…13分
當(dāng)時，
………….………………………..………..…14分
所以或………………….……………………………..…15分
18. 解法一：
（1）因為的定義域為R
所以為奇函數(shù)；……………………………………………………….…………3分
任取，且，……………….…….…….…….…………………4分
則…………….…………………5分
……………………………………..…………7分
因為，所以
當(dāng)時，所以
此時，在區(qū)間上是增函數(shù)；……………………………………..…………8分
當(dāng)時，所以
此時，在區(qū)間上是減函數(shù)?！?………9分
綜上：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)?！?0分
（3）因為，所以，
，……………………………………………………11分
……………………………………………………12分
由（2）知，函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)
又，
所以，…………………………………………………14分
所以，，整理得，解得…………...…………16分
綜上：……………………………………………………….…………….…..…17分
解法二：（1）（2）同解法一
（3）因為，所以，
且，……………………………………………………11分
由（2）知，函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)
又，所以，……………12分
整理，，
所以，………………………………………………14分
所以，，整理得，解得…………...…………16分
綜上：……………………………………………………….…………….…..…17分
19.解：
（1）是凸函數(shù)…………………………………….….…………….…………1分
理由如下：
由于，所以，即是凸函數(shù)．4分
（2）任取，所以，因為在上的凸函數(shù)，所以，6分
又因為是偶函數(shù)，所以，所以在上也是凸函數(shù)8分
（3）因為，，
由對稱性不妨設(shè)當(dāng)時，則，
此時顯然成立，10分
當(dāng)時，因為在是凸函數(shù)，
所以
13分
而，再次根據(jù)凸函數(shù)的定義，
則15分
所以
17分
建立平臺第x個月
1
2
3
4
5
會員人數(shù)y（萬）
2
5
6.7
8
8.9

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