（時(shí)間90分鐘，滿分100分）
2024年11月5日
命題教師 畢仁偉 審題教師 姚紅
一、填空題（本大題共12題，滿分36分，每題3分，請(qǐng)將正確答案直接填寫在答題紙相應(yīng)空格上）
1.函數(shù)的定義域?yàn)榧希?，則______.
2.已知指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則該指數(shù)函數(shù)的解析式為______.
3.已知，化簡(jiǎn)______.
4.若，則，這是一個(gè)______命題.（填“真”或“假”）.
5.已知，則實(shí)數(shù)______.
6.若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)______.
7.若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為______.
8.不等式與不等式解集相同，則______.
9.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.
10.，，若，則的取值范圍為______.
11.若集合中有且只有3個(gè)元素，且這3個(gè)元素恰為直角三角形的三邊，則______.
12.設(shè)函數(shù)，集合，則下列命題正確的有______.
①當(dāng)時(shí)，集合；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)，則的取值范圍是；
④若（其中），則.
二、選擇題（本大題共4題，每題3分，滿分12分，每小題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填涂在答題紙對(duì)應(yīng)位置。）
13.如圖是冪函數(shù)的部分圖像，已知分別取、4、、這四個(gè)值，則與曲線、、、相應(yīng)的依次為（ ）
A.4、、、B.、、、4
C.、4、、D.4、、、
14.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
15.已知，則“對(duì)任意，都有”是“”的（ ）
A.充分非必要條件B.必要非充分條件
C.充要條件D.既非充分也非必要條件
16.已知、、是三角形的三邊，對(duì)于代數(shù)式，有下列說法：
①有最小值，②有最大值3，則（ ）
A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題
C.①為真命題，為②假命題D.①為假命題，②為真命題
三、解答題（本大題共5題，滿分52分，解答要有詳細(xì)的論證過程與運(yùn)算步驟，請(qǐng)將解答過程寫在答題紙對(duì)應(yīng)位置。）
17.（本題滿分8分，第1小題滿分4分，第二小題滿分4分）
已知函數(shù)（其中，且）.
（1）若，求的值.
（2）求關(guān)于的方程的解.
18.（本題滿分8分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分）
（1）已知，求證：.
（2）證明：是無理數(shù).
19.（本小題滿分10分，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分）
隨著城市居民汽車使用率的增加，交通擁堵問題日益嚴(yán)重，而建設(shè)高架道路、地下隧道以及城市軌道公共運(yùn)輸系統(tǒng)等是解決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃部門為提高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該隧道內(nèi)的車流速度（單位：千米/小時(shí)）和車流密度（單位：輛/千米）所滿足的關(guān)系式：
.研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到105輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車流速度是0千米/小時(shí).
（1）若車流速度不小于20千米/小時(shí)，求車流密度的取值范圍；
（2）隧道內(nèi)的車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）滿足，求隧道內(nèi)車流量的最大值（精確到1輛/小時(shí)），并指出當(dāng)車流量最大時(shí)的車流密度（精確到1輛/千米）.
20.（本題滿分13分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分5分）
已知函數(shù).
（1）若不等式的解集為，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使得，求的取值范圍；
（3）若，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21.（本題滿分13分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分5分）
若函數(shù)對(duì)任意的均有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).
（1）判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2）全集為，函數(shù)，試證明具有性質(zhì)；
（3）具有性質(zhì)，且，求證：對(duì)任意，均有.
上海市進(jìn)才中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試
高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷參考答案
（時(shí)間90分鐘，滿分100分）
2024年11月5日
命題教師 畢仁偉 審題教師 姚紅
一、填空題（本大題共12題，滿分36分，每題3分，請(qǐng)將正確答案直接填寫在答題紙相應(yīng)空格上）
1..2.3.4.真5.
6.27.48.9.10.
11.12.①④
二、選擇題（本大題共4題，每題3分，滿分12分，每小題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填涂在答題紙對(duì)應(yīng)位置。）
13.A 14.C 15.A 16.C
三、解答題（本大題共5題，滿分52分，解答要有詳細(xì)的論證過程與運(yùn)算步驟，請(qǐng)將解答過程寫在答題紙對(duì)應(yīng)位置。）
17.（1）解：.
則.
所以
（2）解：.
則.
所以.
所以
18.（1）證：，，.
左式.
右式.
所以左式右式.
（2）證：假設(shè)是有理數(shù)
則，其中為既約分?jǐn)?shù).
則.
則.
這與為偶數(shù)，為奇數(shù)相矛盾.
所以假設(shè)不成立，所以是無理數(shù).
19.（1）解：當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，令，解得，所以.
所以，若車流速度不小于20千米/小時(shí)，則車流密度的取值范圍是.
（2）解：由題意得，
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，
又因?yàn)?br>所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以，隧道內(nèi)車流量的最大值為2450輛/小時(shí)，此時(shí)車流密度約為70輛/千米.
20.（1）解：不等式的解集為，
所以的解集為，
由，可得，求得，
故有，，
故.
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
存在，使得
存在，使得.
令
故的最小值.
，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)
的最小值為18.
故使有解的實(shí)數(shù)的范圍為.
（3）解：
則
則或
或.
①當(dāng)時(shí)或，解集不為（舍）
②當(dāng)時(shí)或，解集不為（舍）
③當(dāng)時(shí)或，解集為
則，所以，解得
④當(dāng)時(shí)或，解集不為（舍）
⑤當(dāng)時(shí)或，解集不為（舍）
綜上：的取值范圍是
21.（1），
則，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，即函數(shù)①具有性質(zhì).
（2）當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，具有性質(zhì)，理由如下：
，故具有性質(zhì)；
當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，具有性質(zhì)，理由如下：
，故具有性質(zhì)；
綜上：函數(shù)具有性質(zhì).
（3）證明：假設(shè)為，，…，中第一個(gè)大于0的值，則
，
因?yàn)榫哂行再|(zhì)，
所以，
所以，
所以與矛盾，
所以假設(shè)不成立，原命題成立.
所以對(duì)任意，均有

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