注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
第Ⅰ卷（共58分）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】利用求解即可.
【詳解】，，
故.
故選：D
2 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，對(duì)原式進(jìn)行求導(dǎo)，然后令，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋瑒t
令，則，解得
故選:A
3. 已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，，則（ ）
A. 54B. 45C. 23D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意由等差數(shù)列求和公式及通項(xiàng)公式求出，從而得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以.
故選：C
4. 已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（ ）
A. 212B. 121C. 168D. 186
【答案】B
【解析】
【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出，再列方程求出數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列求和公式可求.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)?，所以或?br>若，則，解得，，
所以，
若，則，解得，，
所以，
綜上.
故選：B.
5. 若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)極值點(diǎn)，求出參數(shù)，再據(jù)此求導(dǎo)，討論單調(diào)性，求得最大值.
【詳解】因?yàn)椋?br>故可得，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，故可得，
即，解得.
此時(shí)
令，解得，
由可得或；由可得，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故的極大值點(diǎn)為.
則的極大值為.
故選：C.
6. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性得最值求解.
【詳解】由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在上恒成立，顯然，所以，
設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，故，即，即的最小值為．
故選：C．
7. 已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為（ ）
A. 10B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出直線過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出圓心坐標(biāo)與半徑，求出及直線的方程，再求出圓心到直線的距離，從而求出點(diǎn)到直線距離的最大值，從而得解.
【詳解】由，整理為，
令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，
圓的圓心，半徑，

如圖，，直線的方程為，
則圓心到直線的距離，
則點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離，
所以面積的最大值為.
故選：D
8. 已知實(shí)數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)中一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】AB選項(xiàng)，令，在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，由得到；CD選項(xiàng)，舉出反例得到CD錯(cuò)誤
【詳解】對(duì)于AB，令，則在0,+∞上單調(diào)遞增，
由可得，即，
，故A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)于C，取，則，且，
又在0,+∞上單調(diào)遞增，故，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，取，則，且，
又在0,+∞上單調(diào)遞增，故，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造，得到，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到，通過(guò)對(duì)賦值舉反例即可推得CD錯(cuò)誤.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)槭浅?shù)，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C，根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點(diǎn)重合，則下列關(guān)于的說(shuō)法正確的有（ ）
A. 的周長(zhǎng)為
B. 的最大值為
C. 當(dāng)時(shí)，的面積為
D. 橢圓上存在個(gè)不同的點(diǎn)，使得為直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)已知求出的值，結(jié)合橢圓的定義，即可判斷A選項(xiàng)；由基本不等式結(jié)合橢圓的定義，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式得出面積，即可判斷C選項(xiàng)；設(shè)，求出滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可判斷D項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，由得，
∴ 的周長(zhǎng)為，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，的面積為，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)存在點(diǎn)，使得，
設(shè)，根據(jù)橢圓的定義有，
因?yàn)?，所以?br>即，
整理可得，解得.
如上圖，當(dāng)點(diǎn)位于短軸頂點(diǎn)時(shí)有，
所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為橢圓的上下兩頂點(diǎn)，則點(diǎn)有2個(gè)；
分別過(guò)點(diǎn)，作軸的垂線，此時(shí)與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，
即滿足以及的點(diǎn)有4個(gè).
綜上所述，橢圓上有且僅有6個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，故D正確.
故選：ACD．
11. 若首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 數(shù)列為等比數(shù)列B. 數(shù)列不是等比數(shù)列
C. D. 中存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列
【答案】AB
【解析】
【分析】由已知得出是以2為公比的等比數(shù)列，得出和，再分別判斷各選項(xiàng)即可．
【詳解】對(duì)于A，由得，，
所以是以2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，故A正確；
對(duì)于B，由A知，即，
當(dāng)時(shí)，，
所以，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，顯然，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，取，且，
假設(shè)存在能構(gòu)成等差數(shù)列，則，
則有，即，
所以，
因?yàn)?，所以，與矛盾；
假設(shè)存在能構(gòu)成等差數(shù)列，則，即，
則，即，顯然當(dāng)時(shí)無(wú)解，
所以中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；
故選：AB．
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，，則取得最小值時(shí)的值為____________．
【答案】8
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得到，公差，為遞增數(shù)列，從而得到當(dāng)時(shí)，取得最小值
【詳解】由已知數(shù)列為等差數(shù)列，則，又，所以，
所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案：.
13. 若雙曲線(，)與直線無(wú)交點(diǎn)，則離心率e的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求得的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，即可容易求得離心率范圍.
【詳解】若雙曲線與直線無(wú)公共點(diǎn)，
等價(jià)為雙曲線的漸近線的斜率，即，
即，即，即，則，則，
，離心率滿足，
即雙曲線離心率的取值范圍是
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的范圍，涉及直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，屬綜合基礎(chǔ)題.
14. 若函數(shù)在上存在單調(diào)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________
【答案】
【解析】
【分析】求出，由已知可得在有解，即在有解，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br>而時(shí)，函數(shù)存在單調(diào)減區(qū)間，
所以在有解，
即有解，
因?yàn)?，所以，即在有解?br>又因?yàn)?，所以，所以?br>故答案為： .
四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】（1）令并求出x的范圍，即可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，利用函數(shù)極大值等于零或極小值等于零列方程即可求實(shí)數(shù)的值．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
令，則或，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
令可得，的單調(diào)遞減區(qū)間為?1,1，
當(dāng)時(shí)，取得極大值；
當(dāng)時(shí)，取得極小值.
所以若有兩個(gè)零點(diǎn)，則或，
解得.
所以.
16. 在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．
問(wèn)題：已知等差數(shù)列為其前n項(xiàng)和，若______________．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）選①由與的關(guān)系求解即可；選②③由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求解即可；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法證明即可.
【小問(wèn)1詳解】
若選①：在等差數(shù)列中，，
當(dāng)時(shí)，，
也符合，
∴；
若選②：在等差數(shù)列中，
，
，解得
；
若選③：等差數(shù)列中，
，解得
；
【小問(wèn)2詳解】
證明：由（1）得，
所以
17. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)，交拋物線于A、B兩點(diǎn).
（1）若P為中點(diǎn)，求l的方程；
（2）求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：利用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦所在直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果；注意驗(yàn)證所求直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；
方法二：設(shè)中點(diǎn)弦所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求中點(diǎn)弦所在直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果；注意考慮中點(diǎn)弦直線斜率不存在的情況是否滿足題意；
（2）由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，方法一：設(shè)直線l：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值，注意比較直線斜率不存在的情況的值；方法二：設(shè)直線l：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值，此種設(shè)法已包含直線斜率不存在的情況.
【詳解】解：（1）方法一：設(shè)，，，則，，
，化簡(jiǎn)得，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，，
，∴l(xiāng)的方程為，即.
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.
方法二：設(shè)，，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然不成立.
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，顯然，
由得
易知，，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，，即，
解得，∴l(xiāng)的方程為
（2）方法一：由拋物線的定義可知
當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l：，
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，顯然，
由得，
易知，
，
時(shí)，的最小值為
綜上，的最小值為
方法二：由拋物線的定義可知
顯然直線l不平行于x軸，設(shè)直線l：，
由得，
易知，，，
時(shí)，的最小值為
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系；考查數(shù)形結(jié)合、分類討論以及函數(shù)方程等數(shù)學(xué)思想；考查邏輯推理、直觀想象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).
18. 已知數(shù)列滿足,.
（1）記,寫出,,,,并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）證明（1）中你的猜想;
（3）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求.
【答案】（1）,,,,猜想
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)的遞推關(guān)系式及首項(xiàng),寫出,進(jìn)而求得,,,,根據(jù)推導(dǎo)過(guò)程及各項(xiàng)即可猜想其通項(xiàng)公式;
(2)因?yàn)?所以找到和的關(guān)系,即與的關(guān)系,對(duì)式子進(jìn)行配湊,可發(fā)現(xiàn)是以3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,即可得的通項(xiàng)公式;
(3)根據(jù),可得,將寫為,再將,代入,可得,將代入,再利用等比數(shù)列的求和公式即可得.
【小問(wèn)1詳解】
由題知,
因?yàn)?所以,
,,
,,
,,
綜上:,,,,
猜想
【小問(wèn)2詳解】
由題意,知,,代入得,
于是,即,
因?yàn)?所以是以3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
故.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)?
.
19. 設(shè)函數(shù)，曲線在原點(diǎn)處的切線為x軸，
（1）求a的值；
（2）求方程的解；
（3）證明：.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可知在處的導(dǎo)數(shù)值為0，解方程即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性，再通過(guò)觀察法得是的零點(diǎn)，從而得解；
（3）利用（2）中結(jié)論證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，從而賦值證得，由此得證.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)榍€在原點(diǎn)處的切線為軸，所以，即.
【小問(wèn)2詳解】
方程可化為，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以在上有唯一零點(diǎn)，
所以方程有唯一解.
【小問(wèn)3詳解】
要證，
即證，
即證，
先證，
由（2）易得，
所以；
再證，
令，
則，
所以在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
即，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，即；
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的突破口是熟記兩個(gè)重要的放縮不等式：
（1），
（2）.

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