TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc18682" PAGEREF _Tc18682 \h 1
\l "_Tc20003" 模型1.等積變換基礎(chǔ)模型 PAGEREF _Tc20003 \h 1
\l "_Tc31030" 模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型 PAGEREF _Tc31030 \h 9
\l "_Tc29507" 模型3.燕尾（定理）模型 PAGEREF _Tc29507 \h 13
\l "_Tc21115" 模型4.鳥頭定理（共角定理）模型 PAGEREF _Tc21115 \h 18
\l "_Tc20266" 模型5.金字塔與沙漏模型 PAGEREF _Tc20266 \h 23
\l "_Tc17098" PAGEREF _Tc17098 \h 27
模型1.等積變換基礎(chǔ)模型
模型1）等底等高的兩個三角形面積相等；
如圖1，當(dāng)//，則； 反之，如果，則可知直線//。

圖1 圖2 圖3
模型2）兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比。
如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的動點(diǎn)時，則S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。
如圖3，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的動點(diǎn)，BE⊥AD，CF⊥AD時，則S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。
證明：模型1）如圖1，過點(diǎn)A作AE⊥CD、過點(diǎn)B作BF⊥CD?！?/，∴AE=BF。
∵；；∴。反之同理可證。
模型2）如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥BC。
∵；；∴S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。
如圖3，過點(diǎn)C作CF⊥AD、過點(diǎn)B作BE⊥AD。
∵；；∴S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。
例1．（24-25八年級上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)D是邊上的點(diǎn)，且，則與的面積之比為（ ）
A．B．C．D．
例2．（23-24八年級下·河北滄州·期中）如圖，，分別是的邊AB，CD上的點(diǎn)，與DE相交于點(diǎn)，與CE相交于點(diǎn)，若的面積為，的面積為，的面積為，則陰影部是的面積為 ．
例3．（2024·上海浦東新·一模）如圖，在中為中點(diǎn)，為的角平分線，的面積記為，的面積記為，則 ．
例4．（23-24七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【探究】如圖1，是中邊上的中線，與的面積相等嗎？請說明理由，
【應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)A、B、C分別是、、的中點(diǎn)，且，則圖2中陰影部分的面積為 ；
【拓展】（1）如圖3，中，延長至點(diǎn)F，使得，延長至點(diǎn)D，使得，延長至點(diǎn)E，使得，連接、、，如果，那么為 ．
（2）如圖4，中，，，點(diǎn)D、E是、邊上的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)F．若的面積為S，則四邊形面積為 （用含S的代數(shù)式表示）；四邊形的面積存在最大值，這個值為 ．
例5．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）規(guī)律：如圖1，直線，，為直線上的點(diǎn)，，為直線上的點(diǎn)．如果，，為三個定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上移動，那么無論點(diǎn)移動到何位置，與的面積始終相等，其理由是___．
應(yīng)用：（1）如圖，、、三點(diǎn)在同一條直線上，與都是等邊三角形，連結(jié)，．若，，求的面積．（2）如圖，已知，，，是矩形邊上的點(diǎn)，且，，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)MC交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，若四邊形的面積等于，求四邊形的面積．
模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型
蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。

1）任意四邊形的蝴蝶定理：
如圖1，結(jié)論：①或；②。
證明：由基礎(chǔ)模型2）知：；；即故；即。
由基礎(chǔ)模型2）知：；即。
2）梯形蝴蝶定理：
如圖2，結(jié)論：①；②。
證明：∵四邊形ABCD為梯形，∴AD//BC，∴易證，∴。
同理可證得：。
例1．（23-24八年級上·浙江·階段練習(xí)）如圖，任意四邊形中，和相交于點(diǎn)O，把、、、的面積分別記作、、、，則下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（23-24九年級上·上海松江·期中）如圖，已知在梯形中，，，如果對角線與相交于點(diǎn)O，、、、的面積分別記作、、、，那么下列結(jié)論中，不正確的是（ ）
A．B．C．D．

例3．（2024·四川成都·?？家荒＃┤鐖D，梯形的兩條對角線與兩底所圍成的兩個三角形的面積分別為，則梯形的面積為 ．
例4．（2024·山西·校考一模）閱讀與探究 請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：
凸四邊形的性質(zhì)研究
如果把某個四邊形的任何一邊向兩端延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形．凸四邊形是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的圖形，它有一個非常有趣的性質(zhì):任意凸四邊形被對角線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等．
例如，在圖1中，凸四邊形的對角線，相交于點(diǎn)，且，，，，的面積分別為，則有，證明過程如下：
任務(wù)：（1）請將材料中的證明過程補(bǔ)充完整；（2）如圖2，任意凸四邊形的對角線相交于點(diǎn)，分別記，，，的面積為，求證；（3）如圖3，在四邊形中，對角線相交于點(diǎn)，，，，則四邊形的面積為____________．

模型3.燕尾（定理）模型
條件：如圖，在中，E分別是上的點(diǎn)，在上一點(diǎn)。
結(jié)論：S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。
證明：由基礎(chǔ)模型2）知：；；故；
即S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。
例1．（23-24七年級下·江蘇宿遷·期末）（數(shù)學(xué)經(jīng)驗）三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分．
（經(jīng)驗發(fā)展）（1）面積比和線段比的聯(lián)系：如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的比，如圖1，的邊上有一點(diǎn)，請證明：；
（結(jié)論應(yīng)用）（2）如圖2，的面積為1，，求的面積；
（拓展延伸）（3）如圖3，的邊上有一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，請利用上述結(jié)論，證明：；
（遷移應(yīng)用）（4）如圖4，中，M是的三等分點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，若的面積是1，請直接寫出四邊形的面積： ．
例2．（23-24七年級下·寧夏銀川·期末）【問題情境】如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．因為高相同，所以，于是．
據(jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．
(1)【深入探究】如圖2，點(diǎn)D在的邊上，點(diǎn)P在上．
若是的中線，請判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．
若，則：______．
(2)【拓展延伸】如圖3，分別延長四邊形的各邊，使得A，B，C，D分別為的中點(diǎn)，依次連接E，F(xiàn)，G，H得四邊形．直接寫出，與之間的等量關(guān)系；_______．
例3．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）已知是ΔABC的邊上一點(diǎn)，連結(jié)，此時有結(jié)論，請解答下列問題：（1）當(dāng)是邊上的中點(diǎn)時，的面積 的面積（填“>”“”“

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