1、以專題復(fù)習(xí)為主。如選擇題、填空題的專項(xiàng)練習(xí)，要把握準(zhǔn)確度和時(shí)間的安排。
2、重視方法思維的訓(xùn)練。對初中數(shù)學(xué)所涉及的函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體思想等數(shù)學(xué)思想方法，要通過典型試題的訓(xùn)練。
3、拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。將專項(xiàng)復(fù)習(xí)中的共性習(xí)題串連起來，通過一題多解，積極地探求解決問題的最優(yōu)解法。
專題40 重要的幾何模型之12345模型
初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無論是一次函數(shù)、平行四邊形、特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開直角三角形。今天我們要重點(diǎn)介紹的“12345”模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復(fù)斷鉆研、領(lǐng)悟?，F(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，“12345”模型的獨(dú)特魅力。
【模型解讀】
模型1、12345模型及其衍生模型
【模型來源】2019年北京市中考
如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（ ）°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格交點(diǎn)）．

該類問題解法很多，這里我們就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形。
如圖，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
上面的∠PAB和∠PBA便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45°之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來看：tan∠PAB=，tan∠PBA=，對于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，總結(jié)為“12345”模型。
【常見模型】下面模型中，，2，3，，均為對應(yīng)角的正切值。

∠α+∠β＝45°； ∠α+45°＝∠GAF； ∠DAF+45°＝∠EAH； ∠α+∠β＝135°；
∠α+∠β＝90°； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC；
切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來解決相關(guān)的選填題非常方便。下面所列舉的個(gè)別題，利用“12345”解題也許未必是最簡，最巧妙的，但至少可以成為一種通性通法，可以在短時(shí)間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時(shí)候時(shí)間非常寶貴的。
例1．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則CD的長為（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】C
【分析】法1：先根據(jù)，，再由12345模型知：∠BDC＝45°，從而可求出CD．
法2：先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．
【詳解】解法1：∵，，∴根據(jù)12345模型知：∠BDC＝45°，
∵，∴三角形BCD為等腰直角三角形，∵，∴CD=
解法2（常規(guī)解法）：在中，，，∴∴
由勾股定理得, 過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，如圖，
∵，，∴
∴ ∴ ∴
∵ ∴ ∴ ∴,
在中, ∴
∵ ∴故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關(guān)鍵．
例2.（2023.成都市中考模擬）如圖，正方形，，點(diǎn)E為上一動(dòng)點(diǎn)，將三角形沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接并延長，與邊交于點(diǎn)G，若點(diǎn)G為中點(diǎn)，則 ．
【答案】
【詳解】解法1：延長EF至H,易證△BFH≌△BCH(HL),則∠EBH=45°，
又因?yàn)镠F=HC=HD，所以∠CFD=90°，則∠CBH=∠FBH=∠FCD=∠ADG，
因?yàn)?，根?jù)“12345”模型，易知故

解法2（常規(guī)解法）：如圖，過點(diǎn)作的平行線，分別交于點(diǎn)，
四邊形是正方形，，，，四邊形是矩形，
，點(diǎn)為中點(diǎn)，，
，，，即，
設(shè)，則，，
由折疊的性質(zhì)得：，，
又，，，
在和中，，，
，即，解得，，，
又，，解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，不是所列方程的解，
例 3.（2023.湖北黃岡.中考真題）如圖，矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線，過點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)M，N，則的長為（ ）

A．B．C．D．4
【答案】A
【詳解】解法1：因?yàn)?，所以?br>如圖，根據(jù)“12345”模型，易知，故。

解法2（常規(guī)解法）：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)R，作于點(diǎn)Q，
矩形中，，，．
由作圖過程可知，平分，四邊形是矩形，，
又，，在和中，，，
，，設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，即，
解得，．．
，．
，，，
，即，解得．
例4.（2023.四川廣元 中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)右方，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．

【答案】
【詳解】解法1：因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)，所以
因?yàn)?，根?jù)“12345”模型，易知,故.
解法2（常規(guī)解法）：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，，
∵，∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，是的角平分線，∴
∵∴ 設(shè)，則，，
∴解得：或（舍去），∴
例5.（2022.四川瀘州中考真題）如圖，在邊長為3的正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作的垂線交正方形外角的平分線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，則的長為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【詳解】解法1：因?yàn)锳B=AD=3,，所以AE=1,BE=2,所以
根據(jù)“12345”模型，易知，，因?yàn)椤螪EF=90°，所以，
所以，故，故
C
D
A
B
E
N
M
H
G
F
解法2（常規(guī)解法）：在AD上截取AH＝AE，連接HE．
則∠AHE＝∠AEH＝45°，∴∠DHE＝135°．由題意，AD＝AB，∠EBF＝135°，∴DH＝BE，∠DHE＝∠EBF．
∵∠A＝∠DEF＝90°，∴∠HDE＝∠BEF＝90°－∠DEA，∴△HDE≌△BEF，∴DE＝EF，∴∠EDF＝45°．
∵BE＝2AE，AD＝AB＝3AE，∴tan∠ADE＝，∴tan∠CDN＝，BN＝CN＝BC＝．
∵∠A＝∠DEM＝∠EBM＝90°，∴△ADE≌△BEM，∴BM＝BE＝，∴MN＝BN－BM＝．
例6.（2023.內(nèi)蒙古.中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為 ．

【答案】5
【詳解】解法1：因?yàn)?，根?jù)“12345”模型，易知 ，故。

解法2（常規(guī)解法）：解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，∵，，，∴，
∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，∴是等腰直角三角形，∴，
又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，即，
∵ ，，∴，∴，即，
又∵，∴，
∴，，∴，故答案為：5．
例7.（2023.呼和浩特中考真題）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)，，且，連接，則 ， ．
【答案】 2
【詳解】解法1：易知，，接下來對△AME分析，如圖易知，
過M作AE的垂線段，設(shè)EM=5x，則，，則

解法2（常規(guī)解法）：如圖，證明，得到，勾股定理求出的長，等積法求出的長，證明，相似比求出的長，證明，求出的長，證明，求出的長，再利用勾股定理求出的長．
【常規(guī)法】解：∵正方形的邊長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
∵，∴，，∴，
∴，∴，
故點(diǎn)作，則：，∴，
∴，∴，
∴，∴
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1.（2023·深圳市高級(jí)中學(xué)聯(lián)考）如圖，正方形中，是中點(diǎn)，連接，，作交于，交于，交于，延長交延長線于，則的值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【簡證】
【常規(guī)法詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵是中點(diǎn)，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，設(shè)，則，
∴，∴；故選：C.
2.（2018湖北中考真題）如圖，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中點(diǎn)，將△ABG沿AG對折至△AFG，延長GF交DC于點(diǎn)E，則DE長是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【解析】根據(jù)BG是AB的一半，可得tan∠BAG=，
連接AE，易證△AEF≌△AED，∴∠GAE＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
根據(jù)12345模型知：tan∠DAE=，∴DE=2，故此題選C
3.（2021宜賓中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，將矩形紙片沿CE，CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)C，H，G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（ ）．
A．2 B． C． D．3
C
D
B
A
E
F
G
H
【答案】A
【解析】由題意，∠BCE＝∠HCE，∠DCF＝∠GCF．∵∠BCD＝90°，∴∠BCE＋∠DCF＝45°．
∵tan∠BCE＝＝＝，∴tan∠DCF＝，∴＝，∴DF＝CD＝2
4.（2023.湖北 九年級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是AB邊延長線上一點(diǎn)，BE＝2，F(xiàn)是AB邊上一點(diǎn)，將△CEF沿CF翻折，使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)G落在AD邊上，連接EG交折痕CF于點(diǎn)H，則FH的長是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【簡證】易知，故，
【常規(guī)法詳解】解：∵四邊形是邊長為的正方形，
∴，，∴，
由翻折得，，垂直平分，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，且，∴，解得，
∵，∴，解得
5.（2023.浙江中考模擬）如圖，A，B，C，D是邊長為1的小正方形組成的6×5網(wǎng)格中的格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，連接．給出4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【簡證】易知，，，故③錯(cuò)誤，選B
【詳解】解：連接，，為格點(diǎn)，如圖，
由題意得：，，，．
在和中，，，
，，，
，為等腰直角三角形，．
，，，，，
，，，．①的結(jié)論正確；
，，．
，，．②的結(jié)論正確；
，，
，在中，，
，③的結(jié)論不正確；
，，，
，，④的結(jié)論正確．綜上，正確的結(jié)論有：①②④．
6.（2023.山東九年級(jí)期中）如圖，將已知矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對折，使點(diǎn)B落在AD上，記為點(diǎn)B'，折痕為CE，再將CD邊斜向下對折，使點(diǎn)D落在B'C上，記為點(diǎn)D'，折痕為CF，若B'D'＝2，BE＝，則矩形紙片ABCD的面積為_________．
A
D
B
C
E
F
D′
B′
【答案】15
【解析】由題意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．
∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．
∵BE＝，∴tan∠BCE＝，∴tan∠D'CF＝，tan∠B'CB＝．
∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝，
∴DF＝D'F＝BD’＝，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，
∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD ＝BC·CD＝5×3＝15．
7.（2022.貴州中考真題）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點(diǎn)落在點(diǎn)處，分別延長、交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則 cm．
【答案】
【簡證】連接易知△ADF≌△EDF（HL），記，，則
故,
【常規(guī)法】解：連接如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，∴
∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴
由折疊得，∠
∴∠， 設(shè)則有∴
又在中，，
∵∴∴
在中，∴
解得，（舍去）∴∴∴
∵∠∴∠∴∠
又∠∴△∴即∴
8.（2023.成都市九年級(jí)期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∠EAF＝45°，連接AE與BF交于點(diǎn)G，連接AF與DG交于點(diǎn)H，則的值為_________．
A
D
B
C
E
F
G
H
【答案】
【解析】過點(diǎn)G作GM⊥AF于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AF于點(diǎn)N．
A
D
B
C
E
F
M
G
H
N
∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴tan∠DAF＝∠tan∠CBF＝．
∵∠AFB＝180°－∠AFD－∠BFC＝2( 90°－∠AFD )＝2∠DAF，∴＝tan∠AFB＝tan2∠DAF＝．
設(shè)AM＝GM＝4a，則FM＝3a，AF＝7a，AN＝2DN＝4FN，
FN＝AF＝，DN＝2FN＝，∴＝＝＝．
9.（2022.北部灣中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE，分別交CD，BD于點(diǎn)F，G，連接BF交AC于點(diǎn)H，將△EFH沿EF翻折，點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)H′ 恰好落在BD上，得到△EFH′．若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則△EGH′ 的周長是_________．
A
D
E
H′
F
G
H
O
B
C
【答案】5＋
【解析】過點(diǎn)E作EP⊥AC，交CB的延長線于點(diǎn)P．
A
D
E
H′
F
G
H
O
B
P
C
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ECB＝∠ECF＝45°．∴∠P＝45°，∴∠P＝∠ECF，∴EP＝EC．
∵∠BEF＝90°，∴∠PEB＝∠CEF，∴△EPB≌△ECF，∴EB＝EF，∴∠EBH＝∠EFH＝45°．
∵∠OBC＝45°，∴∠EBO＝∠FBC．∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，∴tan∠EBO＝tan∠FBC＝．
∵AB＝，∴OB＝4，∴OE＝2．∵∠H′EF＝∠HEF＝90°－∠BEO＝∠EBO，
∴tan∠HEF＝tan∠EBO＝，∴tan∠H′EO＝，
∴OG＝OE＝1，OH′＝OE＝，EH′＝OE＝，∴EG＝，GH′＝－1＝，
∴△EGH′ 的周長＝EH'＋EG＋GH'＝＋＋＝5＋
10.（2023.成都市九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長為 .
【答案】
【解析】根據(jù)AB=2，AE=，∠B=90°得到：BE=2，可得tan∠BAE=，
∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，
根據(jù)12345模型知：tan∠DAF=，∴DF=，
再根據(jù)勾股定理求得：AF=，故答案為：
11.（2019鹽城中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是_______________．
【答案】
【解析】∵一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B。
∴A（，0）B（0，-1），AO=，BO=1，可得tanα=，
∵∠α+∠β+∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
根據(jù)12345模型知：tanβ=，∴OC=3，C（3，0）
∵B（0，-1），C（3，0），∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：，故答案為：。
12.（2017無錫中考真題）在如圖的正方形方格紙上，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于__________．
【答案】3
【解析】如圖所示，取點(diǎn)E，設(shè)∠OAE=α，易知∠OEA=45°，tanα=
∵根據(jù)外角定理：∠BOD=α+45°，根據(jù)12345模型知：tan∠BOD=3，故答案為：3。
13.（2023甘肅天水中考模擬）如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’位置，OB=，tan∠BOC=，則點(diǎn)A’的坐標(biāo)為____________．
【答案】（-，）
【解析】設(shè)∠OAB=α，過點(diǎn)A’作A’H⊥AB. ∵OB=，tan∠BOC=，∴OA=1，AB=2.
根據(jù)翻折知：∠ABO=∠BOC，∴tan∠ABO=tan∠BOC=，A’B=AB=2.
根據(jù)12345模型知：tan∠ABA’=，即BH：A’H：A’B=3:4:5，故A’H=，BH=，A坐標(biāo)（-，）．
14.（2023.廣東九年級(jí)期中）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分別延長ME，DE交AB于點(diǎn)F，G，若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則FG＝_________cm．
D
C
A
B
F
M
E
G
【答案】
【解析】連接DF．由題意，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠A＝90°．
∵DF＝DF，∴△DEF≌△DAF，∴∠EDF＝∠ADF．
∵∠CDM＝∠EDM，∠ADC＝90°，∴∠FDM＝45°．
∵tan∠CDM＝＝，∴tan∠ADF＝＝，tan∠DGA＝tan∠CDG＝．
∵AD＝AB＝4cm，∴EF＝AF＝cm，∴FG＝＝cm．
15.（2017浙江麗水中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是__________．
【答案】2
【解析】∵一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B。
∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，
∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，設(shè)∠PAO=α，∠OPC=β，
∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
∵點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，∴P（0，），PO=，可得tanα=，
根據(jù)12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（2,0）∴OP=6，∴OA=12，m=12．
16.（2023·龍華區(qū)九年級(jí)上期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為 6，E 為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，AF交對角線BD于點(diǎn)G，則FG的長是________．
【答案】
【解析】∵E 為BC的中點(diǎn)，AB=6，∴BE=3，可得tan∠BAE=，由翻折知：tan∠FAE=，
根據(jù)12345模型知：tan∠GAD=，過點(diǎn)G作GH⊥AD，∵ABCD是正方形，∴DH=GH
設(shè)AH=4x，則GH=DH=3x，AG=5x，AD=7x，故AB=AF=7x，GF=2x。
∵AB=6，∴7x=6，x=，GH=，故答案為：。
17.（2023·山東·中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，則DF的長為_________．
A
D
B
C
E
F
【答案】2
【解析】∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°．
∵tan∠BAE＝＝＝，∴tan∠DAF＝，∴＝，∴DF＝＝2．
18.（2023.廣東九年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則 ．

【答案】
【詳解】法一：易知，故.

法二：常規(guī)法解：作軸于點(diǎn)，連接，如圖所示，
點(diǎn)，，，，
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，，，即，
， ，，
，，設(shè)，，
，解得：，，
19．（21·22·深圳·模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)A在反比例函數(shù)y的圖象上．作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交y軸于C點(diǎn)，則△ABC面積為 ．
【答案】20
【分析】過B作BF⊥AC于F，過F作FD⊥y軸于D，過A作AE⊥DF延長線于E，證明△AEF≌△FDB（AAS），設(shè)BD＝a，則EF＝a，由點(diǎn)A（4，4）和點(diǎn)B（0，2）可得AE+OD＝4，求得，可得F（3，1），進(jìn)而求得直線AC的解析式為y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y的圖象上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，∴A（4，4），
過B作BF⊥AC于F，過F作FD⊥y軸于D，過A作AE⊥DF延長線于E，
∵，則△ABF為等腰直角三角形，∴
在△AEF與△FDB中∴△AEF≌△FDB（AAS），
設(shè)BD＝a，則EF＝a，∵點(diǎn)A（4，4）和點(diǎn)B（0，2），∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，∴4﹣a+2﹣a＝4，解得a＝1，∴F（3，1），
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則，解得，
∴y＝3x﹣8，令x＝0，則y＝﹣8，∴C（0，﹣8），∴BC＝10，
∴20，故答案為：20．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
20．（2023上·紹興·期中）如圖，已知點(diǎn)A（3，3），點(diǎn)B（0，），點(diǎn)A在二次函數(shù)y＝x2+x﹣9的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出的長度，設(shè)，則，則，
根據(jù)三角函數(shù)得出，則，解之可得，求得直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立可得點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【詳解】解：過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
根據(jù)題意可得,∴,設(shè)，則，
∴，∴,
∴，∵,∴，
∴，兩邊平方得：，
解得：(舍)，∴,，∴,
∴,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
設(shè)直線的解析式為：，則，解得，
∴表達(dá)式為，將其代入拋物線方程y＝x2+x﹣9，
解得或，即為點(diǎn)A，將代入直線AC得，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為： ，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，求一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得一次函數(shù)解析式與二次函數(shù)解析式聯(lián)立是解題的關(guān)鍵．
21．（21·22下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的解析式為分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)．（1）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)， ；
（2）設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，，若，則的值是 ．
【答案】
【分析】（1）將點(diǎn)點(diǎn)代入直線的解析式即可求解；
（2）如圖所示（見詳解），作，連接．則，由（1）可知，，由此得，，當(dāng)時(shí)，，由此即可求解．
【詳解】解：（1）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
當(dāng)時(shí)，，即，故答案為2．
（2）如圖所示，
作，連接．則， 且又可得，．
∴，，則，
當(dāng)時(shí)，，∴，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，∵，
∴，即，
∴，∴，即，解得．故答案是：12．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握一次函數(shù)圖形的特點(diǎn)，幾何圖像的變換是解題的關(guān)鍵．
22．（22·23下·泰安·一模）如圖，把一個(gè)矩形紙片放入平面直角坐標(biāo)系中，使分別落在x軸，y軸上，連接，將紙片沿翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)位置，若，，直線與y軸交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意首先求出的長度，再證，由勾股定理可求出答案．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，，
，，
∵由翻折得到，，，
又，， ，
，，解得：，
點(diǎn)F的坐標(biāo)為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理，三角形全等，解題的關(guān)鍵是求出．
23．（22·23上·齊齊哈爾·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，則的值為 ．
【答案】
【分析】作高線DE，利用勾股定理求出AD，AB的值，然后證明，求DE的長，再利用三角函數(shù)定義求解即可．
【詳解】過點(diǎn)D作于E
∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，
在中，由∴∴
由勾股定理得
∵∴∵∴
∴∴∴ ∴故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的問題，掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·運(yùn)城·期末）仿照例題完成任務(wù)：例：如圖1，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為，點(diǎn),,,都在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)，求的值.
解析：連接,，導(dǎo)出，再根據(jù)勾股定理求得三角形各邊長，然后利用三角函數(shù)解決問題.具體解法如下：連接,，則，
，根據(jù)勾股定理可得：,,,
，是直角三角形，，
即.
任務(wù)：（1）如圖2，,,,四點(diǎn)均在邊長為的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，線段,相交于點(diǎn)，求圖中的正切值；（2）如圖3，,,均在邊長為的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請直接寫出的值.

【答案】（1）2；（2）1.
【分析】（1）如圖所示，連接,,與交于點(diǎn)，則，可得出，再證明是直角三角形即可得出；
（2）連接BC，根據(jù)勾股定理可得AB,AC,BC的值，可判斷為等腰直角三角形，即可得出.
【詳解】解：（1）如圖所示，連接,,與交于點(diǎn)，則,
，根據(jù)勾股定理可得：，，，

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