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\l "_Tc18781" PAGEREF _Tc18781 \h 2
\l "_Tc12597" 模型1.弦圖模型 PAGEREF _Tc12597 \h 2
\l "_Tc24950" 模型2.勾股樹模型 PAGEREF _Tc24950 \h 10
\l "_Tc19398" PAGEREF _Tc19398 \h 18
模型1.弦圖模型
“弦圖”就是我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。所謂弦圖模型就是四個(gè)全等直角三角形的弦互相垂直圍成了一個(gè)正方形圖形，當(dāng)弦在圍成的正方形之內(nèi)叫內(nèi)弦圖模型，當(dāng)弦恰恰是圍城正方形的邊長時(shí)就叫外弦圖模型。
數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，考試中有時(shí)候不會(huì)直觀明了的出現(xiàn)弦圖模型，所以學(xué)習(xí)中我們要抓住弦圖本質(zhì)靈活變形，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)的變化性，培養(yǎng)思維靈活性，為學(xué)生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使其在面臨問題時(shí)能夠從多種角度進(jìn)行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。
圖1 圖2 圖3 圖4
（1）內(nèi)弦圖模型：
條件：如圖1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點(diǎn)E，BF⊥CG于點(diǎn)F，CG⊥DH于點(diǎn)G，DH⊥AE于點(diǎn)H，結(jié)論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；
證明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB．
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．
（2）外弦圖模型：
條件：如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點(diǎn)，EFGH是正方形，
結(jié)論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；
證明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC．
又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE．
（3）內(nèi)外組合型弦圖模型：
條件：如圖3、4，四邊形ABCD、EFGH、PQMN、均為正方形；結(jié)論：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN.
證明：由（1）（2）中的證明易得：圖3和圖4中的八個(gè)直角三角形均全等，并用 S△表示他們的面積。
∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△；
∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH
上述三類弦圖模型除了考查相關(guān)證明外，也常和完全平方公式（知二求二）結(jié)合考查。
（4）半弦圖模型
圖5 圖6 圖7
條件：如圖5，EA⊥AB于點(diǎn)A，GB⊥AB于點(diǎn)B，EF⊥FG，EF=FG，結(jié)論：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。
證明：∵EA⊥AB于點(diǎn)A，GB⊥AB于點(diǎn)B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°
∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG．
又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。
條件：如圖6，EA⊥AB于點(diǎn)A，GB⊥AB于點(diǎn)B，EF⊥FG，EF=FG，結(jié)論：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。
證明：同圖5證明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。
條件：如圖7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，結(jié)論：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。
證明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。
∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。
上面三類半弦圖模型的共同特點(diǎn)是兩個(gè)直角三角形，他們的弦互相垂直。所以做題中見著這樣的關(guān)鍵字眼就要想到用弦圖的相關(guān)知識(shí)解決問題。
例1．（23-24八年級(jí)下·北京門頭溝·期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱該圖為“趙爽弦圖”．如圖，“趙爽弦圖”是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案．如果該大正方形面積為49，小正方形面積為4，用，表示直角三角形的兩直角邊，
下列四個(gè)推斷：①；②；③；④．
其中所有正確推斷的序號(hào)是（ ）．
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
例2．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將這四個(gè)直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（ ）
A．24B．36C．40D．44
例3．（2023·山東棗莊·二模）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為． 若正方形的邊長為2，則 ．
例4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形與四邊形均為正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，陰影部分的面積為27，則的長為 ．
例5．（23-24八年級(jí)下·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖中左圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若，，將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2中右圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是（ ）

A．74B．76C．78D．80
例6．（2023·河北·八年級(jí)期末）如圖所示的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的邊長為5，小正方形的邊長為1．（1）如圖1，若用a，b表示直角三角形的兩條直角邊（a

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