2021-2022學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)合體高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）若直線與平行，則實數(shù)等于　　A．1 B． C．4 D．02．（5分）雙曲線的漸近線方程為　　A． B． C． D．3．（5分）已知圓過點，，圓心在軸上，則圓的方程為　　A． B． C． D．4．（5分）函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則的取值范圍是　　A．， B． C． D．5．（5分）數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項之積，若，則的值是　　A．1024 B．256 C．2 D．5126．（5分）如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，，交其準(zhǔn)線于點，若，且，則此拋物線方程為　　A． B． C． D．7．（5分）設(shè)集合，集合，，當(dāng)有且僅有一個元素時，則的取值范圍為　　A．或 B．或 C．或 D．或8．（5分）已知，為正數(shù)，，則下列不等式一定成立的是　　A． B． C． D．二、多項選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求．全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．（5分）下列說法錯誤的是　　A．點到直線的距離為 B．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率 C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8 D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為10．（5分）下列說法中正確的有　　A． B．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且（1），則 C．一質(zhì)點的運動方程為，則該質(zhì)點在時的瞬時速度是4 D．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱11．（5分）對于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得，，則稱是數(shù)列的“峰值”， 是數(shù)列的“峰值點”，在數(shù)列中，若，下面哪些數(shù)不能作為數(shù)列的“峰值點”？ 　　A．1 B．3 C．6 D．1212．（5分）已知雙曲線的左．右焦點分別為，，過的直線與雙曲線交于，兩點，在第一象限，若為等邊三角形，則下列結(jié)論一定正確的是　　A．雙曲線的離心率為 B．△的面積為 C．△內(nèi)切圓半徑為 D．△的內(nèi)心在直線上三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則　　．14．（5分）已知橢圓的左、右焦點為，，過作軸垂線交橢圓于點，若△為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 　　．15．（5分）已知雙曲線的方程為，，，雙曲線上存在一點，使得，則實數(shù)的最大值為 　　．16．（5分）已知函數(shù)，設(shè)，且函數(shù)有3個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為 　　．四、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作斜率為的弦．求：（1）弦的長；（2）△的周長．18．（12分）已知數(shù)列的首項，其前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，且，求．19．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在，（1）處的切線方程；（2）討論函數(shù)在，上的單調(diào)性．20．（12分）已知圓，是圓上一點，過作直線交圓于另一點，交軸正半軸于點，且為的中點．（1）求圓在點處的切線方程；（2）求直線的方程．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，．點滿足．記的軌跡為．（1）求的方程；（2）直線經(jīng)過點，與軌跡分別交于點、，與直線交于點，求證：．22．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
2021-2022學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)合體高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）若直線與平行，則實數(shù)等于　　A．1 B． C．4 D．0【解答】解：直線與平行，，，故選：．2．（5分）雙曲線的漸近線方程為　　A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：，其中焦點在軸上，且，，則其漸近線方程為：，故選：．3．（5分）已知圓過點，，圓心在軸上，則圓的方程為　　A． B． C． D．【解答】解：設(shè)圓心，由，可得，求得，可得圓心，半徑為，故圓的方程為，故選：．4．（5分）函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則的取值范圍是　　A．， B． C． D．【解答】解：，函數(shù)在區(qū)間，單調(diào)遞增，在區(qū)間，上恒成立，，而在區(qū)間，上單調(diào)遞減，，的取值范圍是：，，故選：．5．（5分）數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項之積，若，則的值是　　A．1024 B．256 C．2 D．512【解答】解：數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項之積，，，解得，．故選：．6．（5分）如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，，交其準(zhǔn)線于點，若，且，則此拋物線方程為　　A． B． C． D．【解答】解：如圖，分別過，作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于，，設(shè)，由已知可得，由拋物線的定義可得，則，在直角三角形中，因為，，，所以，解得，，所以，因此拋物線的方程為．故選：．7．（5分）設(shè)集合，集合，，當(dāng)有且僅有一個元素時，則的取值范圍為　　A．或 B．或 C．或 D．或【解答】解：集合，表示以原點為圓心，半徑等于2的半圓上的部分），集合表示以為圓心，半徑等于的圓上，當(dāng)圓經(jīng)過點時，此時只有一個交點，，當(dāng)圓經(jīng)過點時，此時恰有兩個交點，即，當(dāng)圓與半圓內(nèi)切時，只有一個交點，即．綜上所述的取值范圍為，．故選：．8．（5分）已知，為正數(shù)，，則下列不等式一定成立的是　　A． B． C． D．【解答】解：令，則函數(shù)在上是增函數(shù)，，，即，即（b），故，故選：．二、多項選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求．全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．（5分）下列說法錯誤的是　　A．點到直線的距離為 B．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率 C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8 D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【解答】解：對于，點到直線的距離為，選項錯誤；對于，任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率，如與軸垂直的直線，所以選項正確；對于，直線與兩坐標(biāo)軸的交點為和，與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是，選項錯誤；對于，直線過原點時，過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為，直線不過原點時，過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為，所以選項錯誤．故選：．10．（5分）下列說法中正確的有　　A． B．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且（1），則 C．一質(zhì)點的運動方程為，則該質(zhì)點在時的瞬時速度是4 D．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱【解答】解：，錯誤，（1），（1），正確，質(zhì)點的運動方程為，，該質(zhì)點在時的瞬時速度是，正確，，，函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，錯誤，故選：．11．（5分）對于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得，，則稱是數(shù)列的“峰值”， 是數(shù)列的“峰值點”，在數(shù)列中，若，下面哪些數(shù)不能作為數(shù)列的“峰值點”？ 　　A．1 B．3 C．6 D．12【解答】解：因為，所以，，只有，，所以“3”是“峰值點”，其它選項不是．故選：．12．（5分）已知雙曲線的左．右焦點分別為，，過的直線與雙曲線交于，兩點，在第一象限，若為等邊三角形，則下列結(jié)論一定正確的是　　A．雙曲線的離心率為 B．△的面積為 C．△內(nèi)切圓半徑為 D．△的內(nèi)心在直線上【解答】解：對于，設(shè)△的內(nèi)心為，過作，，的垂線，垂足分別為，，，如圖則，所以，則△的內(nèi)心在直線上，故正確；因為為等邊三角形，當(dāng)，都在同一支上時，則垂直于軸，可得，由題意可得，又，，所以可得，，解得：；△的面積，設(shè)△內(nèi)切圓的半徑為，則由等面積法可得，；當(dāng)，都在雙曲線的左，右兩支上時，設(shè)，，由雙曲線的定義可知，得，在△中由余弦定理，，得，△的面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，得，故錯誤；而不論什么情況下△的面積為，故正確．故選：．三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則　8　．【解答】解：數(shù)列是等差數(shù)列，，，也是等差數(shù)列，又，，．故答案為：8．14．（5分）已知橢圓的左、右焦點為，，過作軸垂線交橢圓于點，若△為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 　　．【解答】解：由橢圓的方程可得，，因為過作軸垂線交橢圓于點，設(shè)在第一象限，則的橫坐標(biāo)為，代入橢圓的方程可得，即，又因為△為等腰直角三角形，所以，即，所以，即，解得，而橢圓中，所以，故答案為：．15．（5分）已知雙曲線的方程為，，，雙曲線上存在一點，使得，則實數(shù)的最大值為 　2　．【解答】解：設(shè)，因為，，，所以，整理得，所以點在以為圓心，以2為半徑的圓上，又因為在雙曲線上，所以圓與雙曲線有交點，雙曲線右頂點故，所以的最大值為2，故答案為：2．16．（5分）已知函數(shù)，設(shè)，且函數(shù)有3個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為 　　．【解答】解：作出函數(shù)圖像如圖，由題可知圖像為直線且恒過，則當(dāng)時，圖像與圖像只有兩個交點，則，當(dāng)時，，設(shè)其過點的切線的切點為，，則，且，解得，舍去），當(dāng)時，，切線方程為，則則由圖可得若與圖像有3個不同交點，只需，即，故答案為：．四、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作斜率為的弦．求：（1）弦的長；（2）△的周長．【解答】解：（1）雙曲線的右焦點為，設(shè)，，，，直線的方程可設(shè)為，代入方程得，，，，，，，；（2）由（1）可知，，，又，則△的周長為．18．（12分）已知數(shù)列的首項，其前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，且，求．【解答】解：（1）因為，所以，即，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故數(shù)列的通項公式為．（2），所以，由，得，解得或，因為，所以．19．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在，（1）處的切線方程；（2）討論函數(shù)在，上的單調(diào)性．【解答】解：（1）當(dāng)時，，，（1），又（1），函數(shù)在，（1）處的切線方程為；（2），，，，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，得，若，即，在，上恒成立，單調(diào)遞增；若，即，在，上恒成立，單調(diào)遞減；若，即，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為，；綜上所述，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時，的減區(qū)間為，，增區(qū)間為，；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增．20．（12分）已知圓，是圓上一點，過作直線交圓于另一點，交軸正半軸于點，且為的中點．（1）求圓在點處的切線方程；（2）求直線的方程．【解答】解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，因為直線的斜率為，所以圓在點處的切線斜率為2，所以切線方程為，即．（2）由題意設(shè)，因為為的中點，所以，將點代入圓的方程得，解得或，當(dāng)時，，此時的方程為；當(dāng)時，，此時的方程為，所以的方程為或．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，．點滿足．記的軌跡為．（1）求的方程；（2）直線經(jīng)過點，與軌跡分別交于點、，與直線交于點，求證：．【解答】解：（1）由橢圓定義得，點的軌跡為以點，為焦點，長軸長為4的橢圓，設(shè)此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則由題意得，所以的方程為．（2）證明：設(shè)點、的坐標(biāo)分別為，，，，由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)為，則直線的方程可設(shè)為，與橢圓方程聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理知所以，，又因為，，所以，又由題知，所以，所以，所以．22．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）因為函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．由上可知，的極大值為（1），無極小值．（2）由對恒成立可變形為：對恒成立．令，則對恒成立．當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，，使得，與對恒成立矛盾；當(dāng)時，易知恒成立．考慮直線方程．先證明函數(shù)的圖象始終在直線的下方，即證明：．構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，于是可得：在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，恒成立，．故可得當(dāng)時，；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．從而可知的最小值為，即，即恒成立．綜上，實數(shù)的取值范圍為，．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/8/4 9:09:15；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號：42412367

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