江西省贛州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題目要求的.
1. 若集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先用列舉法表示 A，解出 B，根據(jù)交集概念計(jì)算即可.
【詳解】解：集合，
又，
則 .
故選：D.
2. 為深入學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校開展了“奮進(jìn)新征程，強(qiáng)國伴我行”二十大主題知識(shí)競賽.其中高一
年級(jí)選派了 10 名同學(xué)參賽，且該 10 名同學(xué)的成績依次是 71，73，80，85，90，92，94，95，98，100，則
分位數(shù)為（）
A. 92 B. 93 C. 94 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用百分位數(shù)概念計(jì)算即可.
【詳解】解：數(shù)據(jù)從小到大排序 71，73，80，85，90，92，94，95，98，100，
因?yàn)?，
故分位數(shù)為 .
故選：B.
3. 已知事件 A，B 相互獨(dú)立，且，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】根據(jù) A，B 是相互獨(dú)立事件，結(jié)合對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件概率運(yùn)算的性質(zhì)，直接進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】解：由，得，
則 .
故選：A.
4. 若函數(shù) 為奇函數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義求出參數(shù)值.
【詳解】函數(shù) 定義域?yàn)?R，由為奇函數(shù)，得，解得，
函數(shù) ，，是奇函數(shù)，
所以 .
故選：A
5. 命題“ ”為真命題的充分不必要條件是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義判斷可得答案.
【詳解】要求命題“ ”為真命題的充分不必要條件，
只需要求是的非空真子集即可，
由選項(xiàng)可知，只有 B 滿足題意，
故選：B.
6. 某科研小組培育一種水稻新品種，由第 1 代 1 粒種子可以得到第 2 代 120 粒種子，以后各代每粒種子都
可以得到下一代 120 粒種子，則第 10 代得到的種子數(shù)為（）參考數(shù)據(jù)：，
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.
【詳解】解：由題意，從第 1 代到第 n 代種子數(shù)構(gòu)成了一個(gè)等比數(shù)列，
該等比數(shù)列的首項(xiàng) ，公比，則，
則
故第 10 代得到的種子數(shù)約為
故選：C.
7. 函數(shù) ，且，則和的不等關(guān)系正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求出函數(shù) 和，然后作差利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷正負(fù)即可
【詳解】解：
，
又，
則，，
則，即
故選：A
8. 給定函數(shù) ，若實(shí)數(shù) 使得，則稱為函數(shù) 的不動(dòng)點(diǎn);若實(shí)數(shù) 使得
，則稱為函數(shù) 的次不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù) 在區(qū)間上有且僅有一
個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合對(duì)數(shù)與指數(shù)互化公式、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：由于函數(shù) 在區(qū)間上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，
所以以及，都有且僅有 1 個(gè)零點(diǎn)，
（1）由，即，即在有且僅有 1 個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù) 是上的增函數(shù)，
所以有，即，
（2）由，即，
即在有且僅有 1 個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù) 在上單調(diào)遞增，
則，即，
綜合（1）、（2）可知，，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題中定義，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解題.
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選
對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得 2 分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 下列說法正確的是（）
A. 命題“ ，都有 ”的否定為“ ，使得 ”
B. 函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間是
C. “ ”是“函數(shù) 在區(qū)間單調(diào)遞增”的充分不必要條件
D. 不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用全稱量詞命題的否定可判斷 A 選項(xiàng)；利用復(fù)合函數(shù)法可判斷 B 選項(xiàng)；利用分段函數(shù)的單調(diào)性
結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷 C 選項(xiàng)；利用二次不等式恒成立求出實(shí)數(shù) 的范圍，可判斷 D 選項(xiàng).
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【詳解】對(duì)于 A 選項(xiàng)，命題“ ，都有 ”的否定為“ ，使得 ”，故 A
正確；
對(duì)于 B 選項(xiàng)，函數(shù) 是由函數(shù) 和復(fù)合而成，
由于函數(shù) 單調(diào)遞增，解得，
所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間是，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C 選項(xiàng)，因?yàn)?，
所以，函數(shù) 的增區(qū)間為，
若函數(shù) 在區(qū)間單調(diào)遞增，則，可得，
因?yàn)?，
所以，“ ”是“函數(shù) 在區(qū)間單調(diào)遞增”的充分不必要條件，故 C 正確；
對(duì)于 D 選項(xiàng)，不等式對(duì)任意恒成立，
當(dāng) 時(shí) 恒成立，合乎題意，
當(dāng) 時(shí)，則有，解得，
因此，不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是，故 D 錯(cuò)誤，
故選：AC.
10. 設(shè)函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 偶函數(shù) B.
C. 在單調(diào)遞增 D. 的值域?yàn)?br>【答案】ABC
【解析】
【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷 A 選項(xiàng)；代入檢驗(yàn)可判斷 B 選項(xiàng)；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷 C
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選項(xiàng)；利用反函數(shù)法可判斷 D 選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于 A 選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù) ，有，解得，
所以，函數(shù) 的定義域?yàn)?，
，故為偶函數(shù)，故 A 選項(xiàng)正確；
對(duì)于 B 選項(xiàng)，當(dāng) 時(shí)，，故 B 選項(xiàng)正確；
對(duì)于 C 選項(xiàng)，因?yàn)?，
設(shè) ，因?yàn)?在上單調(diào)遞減，內(nèi)層函數(shù) 在上為減函數(shù)，
所以在單調(diào)遞增，故 C 選項(xiàng)正確；
對(duì)于 D 選項(xiàng)，令，可得，解得或，
函數(shù) 的值域?yàn)?，故 D 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 若、均為正實(shí)數(shù)，滿足，則以下結(jié)論中正確的有（）
A. 的最大值為 B. 的最小值為
C. 的最小值為 D. 的最小值為
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷 A 選項(xiàng)；將代數(shù)式與相乘，展開后利
用基本不等式可判斷 B 選項(xiàng)；將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式
可判斷 C 選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷 D 選項(xiàng).
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【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù) 、滿足，
又因?yàn)?，即，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，
，故的最大值為，故 A 正確；
因?yàn)?，
當(dāng)且僅當(dāng) 且，即時(shí)等號(hào)成立，故 B 錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng) 且，即，時(shí)，等號(hào)成立，
又實(shí)數(shù) ，，可知等號(hào)不成立，故 C 錯(cuò)誤；
因?yàn)?，
當(dāng) ，時(shí)，的最小值為，故 D 正確.
故選：AD.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12 函數(shù) ，則 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用指、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，
所以 ,則，
故答案為： .
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13. 若函數(shù) 的定義域?yàn)?，則函數(shù) 的定義域?yàn)開_________.
【答案】
【解析】
【分析】由函數(shù) 的定義域?yàn)?，可得，即的定義域?yàn)?.
【詳解】函數(shù) 的定義域?yàn)?，
，則，
，
函數(shù) 的定義域?yàn)?.
故答案為： .
14. 函數(shù) ，若函數(shù) 有四個(gè) 不同的零點(diǎn) ，，，
，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先畫出函數(shù) 的圖象，把方程有 4 個(gè)不同的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù) 的圖象與
有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】因?yàn)?，
當(dāng) 時(shí) ，可知其對(duì)稱軸為，
令，解得或
令，解得或
當(dāng) 時(shí) ，令，解得或，
作出函數(shù) 的圖象，如圖所示，
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若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，
即與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為，，，，
則，
對(duì)于，，則，
可得，所以；
對(duì)于，，則，，，可得
所以，
由對(duì)勾函數(shù)可知在上單調(diào)遞增，
得，
所以的取值范圍是
故答案：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知方程的根，函數(shù)有零點(diǎn)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路，（1）
直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先
將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)
系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
四、解答題：本題共 5 小題，共 60 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
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15. 設(shè)全集為，已知集合，
（1）當(dāng) 時(shí)，求
（2）若“ ”是“ ”的充分條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出 B，再根據(jù)集合的補(bǔ)運(yùn)算和并集運(yùn)算，求解即可；
（2）根據(jù)題意得到集合之間的關(guān)系，分類討論，列出不等關(guān)系，求解即可.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時(shí)，，
或，
又因?yàn)?，
則或
【小問 2 詳解】
因?yàn)椤?”是“ ”成立的充分條件，則，
集合，，
當(dāng) ，即，即，符合題意；
當(dāng) 時(shí)，，解得：
綜上所述，實(shí)數(shù) m 的取值范圍是
16. 已知函數(shù) 為冪函數(shù).
（1）判斷函數(shù) 的單調(diào)性，并加以證明；
（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可得出函數(shù) 的解析式，判斷出函數(shù)
在上單調(diào)遞增，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）由不等式得，，令，由，得，當(dāng)
時(shí)，直接驗(yàn)證即可；當(dāng) 時(shí)，利用參變量分離法結(jié)合基本不等式可求得實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【小問 1 詳解】
函數(shù) 為冪函數(shù)，則，即，
因?yàn)?，所以，得，則函數(shù) 在上單調(diào)遞增，
下面證明：
任取、且，
則，
因?yàn)?，所以，而，
得，即，故函數(shù) 在上單調(diào)遞增.
【小問 2 詳解】
由不等式得，，
令，由，得，
不等式變?yōu)椋?，得，
當(dāng) 時(shí)，上式恒成立，
當(dāng) 時(shí)，則，而，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，則，
故實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .
17. 近年來，中國新能源汽車持續(xù)領(lǐng)跑全球，引領(lǐng)著全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展浪潮，年中國新能源汽
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車產(chǎn)銷突破萬輛.現(xiàn)有某種型號(hào)的新能源汽車經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到每小時(shí)耗電量（單位：）與速度
（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示.
為了描述該汽車每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇，
， .
（1）當(dāng) 時(shí)，選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，請(qǐng)說明理由;并求出相應(yīng)的函數(shù)解
析式；
（2）當(dāng) 時(shí)，該型號(hào)新能源汽車應(yīng)以多少速度行駛時(shí)百公里耗電量（單位：）最小?并
計(jì)算出該最小值.
【答案】（1）選，理由見解析，
（2）當(dāng) ，該電動(dòng)汽車的電池所需的最小容量為 .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合提供的數(shù)據(jù)，列出方程組，求得、的值，
即可求解；
（2）設(shè)車速為，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【小問 1 詳解】
對(duì)于，當(dāng) 時(shí)，它無意義，所以不符合題意；
對(duì)于，它顯然是個(gè)減函數(shù)，所以不符合題意，
故選．
根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，則有，解得，
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當(dāng) 時(shí)，．
【小問 2 詳解】
設(shè)車速為，行駛時(shí)百公里所用時(shí)間為，
所耗電量，
要使耗電量達(dá)到最小，即．
該電動(dòng)汽車的電池所需的最小容量為 .
18. 贛州市是我國當(dāng)今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之譽(yù)，是客家先民中原南遷的第一站，世稱“客
家搖籃”，被命名為“國家歷史文化名城”、“中國優(yōu)秀旅游城市”.目前，贛州市形成了“紅色故都、客家搖籃、
江南宋城、生態(tài)家園、世界橙鄉(xiāng)、堪輿圣地”六大旅游品牌年國慶假期，贛州旅游再次火爆“出圈”.據(jù)
統(tǒng)計(jì)，10 月 1 日至 7 日，全市共接待游客萬人次.為了解游客的旅游體驗(yàn)滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小
組用問卷調(diào)查的方式隨機(jī)調(diào)查了 100 名游客，并將收集到的游客滿意度分值數(shù)據(jù) 滿分 100 分分成六段：
，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中 a 的值，并估計(jì) 100 名游客滿意度分值的中位數(shù) 結(jié)果保留整數(shù)
（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取 5 個(gè)人，再從這 5 個(gè)人中隨機(jī)抽兩人進(jìn)行深入訪談，求 2 人
滿意度分值在同一區(qū)間的概率;
（3）已知滿意度分值在的平均數(shù) ，方差，在的平均數(shù)為，方差
，試求滿意度分值在的平均數(shù) 和方差
【答案】（1）
（2）；
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（3），
【解析】
【分析】（1）頻率分布直方圖，所有組距對(duì)應(yīng)的頻率之和為，利用這個(gè)性質(zhì)可求出的值.中位數(shù)是將數(shù)據(jù)
從小到大排序后，位于中間位置的數(shù)（如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)）或中間兩個(gè)數(shù)的平均值（如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶
數(shù)），根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)需要通過計(jì)算累計(jì)頻率來確定.
（2）先根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的原理確定從和中抽取的人數(shù)，然后利用組合數(shù)計(jì)算從個(gè)人中
隨機(jī)抽兩人且在同一區(qū)間的概率.
（3）求的平均數(shù)和方差，可根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，結(jié)合已知區(qū)間的平均數(shù)和方差進(jìn)行計(jì)
算.
【小問 1 詳解】
由，解得
滿意度分值在的頻率為，
在的頻率為，
所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，
所以中位數(shù)為
【小問 2 詳解】
從中抽取 2 人，記為 A，B，
從中抽取 3 人，記為 a，b，c
所以 5 個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，所以抽取的結(jié)果有：
，共有 10 種情況，
取到 2 人滿意度分值在同一區(qū)間有有 4 種情況，所以概率為，
人滿意度分值在同一區(qū)間的概率為；
【小問 3 詳解】
滿意度分值在頻率為，人數(shù)為
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在的頻率為，人數(shù)為 30，
滿意度分值在的平均數(shù) ，方差，
在的平均數(shù) ，方差，
所以滿意度分值在的平均數(shù) ，
滿意度分值在的方差為 s2 2 - 2]
19. 函數(shù) 圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù) 為奇函數(shù).可以將其推廣
為：函數(shù) 圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù) 為奇函數(shù).已
知函數(shù)
（1）證明：函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱圖形;
（2）判斷函數(shù) 的單調(diào)性不需要證明，若，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍.
（3）若函數(shù) 在區(qū)間上的值域?yàn)?，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）增函數(shù)，
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù) 為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解，
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可根據(jù) 得求解即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的值域列出方程組，再利用方程根的分布列出不等式組求解即可；
【小問 1 詳解】
由題意得：函數(shù) 的定義域?yàn)?，
又，令，
可知：，
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從而，所以是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，
故函數(shù) 圖象關(guān)于成中心對(duì)稱圖形.
【小問 2 詳解】
設(shè) ，且，
所以
因?yàn)?，
又，所以，
所以函數(shù) 在上是增函數(shù)，
由可得，
即，
所以，又函數(shù) 在上是增函數(shù)，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù) x 的取值范圍是
小問 3 詳解】
由在上是增函數(shù)可得，
函數(shù) 在區(qū)間上的值域?yàn)?，
即，
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所以 a，b 是方程的兩個(gè)不相等實(shí)根，
令，則方程變?yōu)?，
也就是需要方程有兩不等正根，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是
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