命題學校：武漢市第十五中學 命題教師：徐煊 審題教師：冷秋君
考試時間：2025年1月15日 試卷滿分：150分
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 計算的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)誘導公式轉(zhuǎn)化為特殊角三角函數(shù)值即可解決.
【詳解】
故選：C
2. 函數(shù)的定義域為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由對數(shù)型復合函數(shù)定義域和分母不為零求解即可；
【詳解】由題意得，解得且，
所以函數(shù)的定義域為，
故選：D.
3. 要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（ ）
A. 向左平移個單位B. 向右平移個單位C. 向左平移個單位D. 向右平移個單位
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求解.
【詳解】,
所以要得到函數(shù)的圖象，
只需將的圖象向右平移個單位，
故選:D.
4. 設，，，則（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函數(shù)、、的圖象，結(jié)合圖象可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】作出函數(shù)、、的圖象如下圖所示：
因為，，，由圖象可得.
故選：D.
5. 函數(shù)的零點，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，分別計算，判斷其正負，由零點存在定理判斷函數(shù)零點所在區(qū)間為，可得.
【詳解】已知，；，所以，可知函數(shù)零點所在區(qū)間為，故.
故選：C.
6. 已知銳角，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】注意到，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求角的正弦，再利用誘導公式求角的正弦、余弦，從而得到的正切.
【詳解】因為為銳角，所以且，所以得，
由誘導公式得，.
所以.
故選:D
7. “圓材埋壁”是我國古代的數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的一個問題，現(xiàn)有一個“圓材埋壁”模型，其截面如圖所示．若圓柱材料的截面圓的半徑長為，圓心為，墻壁截面為矩形，且劣弧的長等于半徑長的倍，則圓材埋在墻壁內(nèi)部的截面面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形面積公式和三角形面積公式即可.
【詳解】由題意得劣弧的長為2，半徑，
設，則，即，
則扇形的面積為，
過點作，則，則，，
，則，
所以圓材埋在墻壁內(nèi)部的截面面積等于，
故選：D.
8. 設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，且當時，
，若函數(shù)（且）在上恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，函數(shù)的周期為4，作出函數(shù)的圖像，依題意可得數(shù)與的圖像在上有4個不同的交點，然后分及討論即可．
【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，
當時，，所以，
即當時，
又對任意，都有，則關(guān)于對稱，且，
，即函數(shù)的周期為，
又由函數(shù)且在上恰有個不同的零點，
得函數(shù)與的圖像在上有個不同的交點，又，
當時，由圖可得，解得；
當時，由圖可得，解得．
綜上可得.
故選：C．
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知，則下列等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】運用指數(shù)冪運算公式及對數(shù)運算公式計算即可.
【詳解】對于A項，因為（，），所以，即，故A項正確；
對于B項，由A項知，所以，故B項正確；
對于C項，由A項知，所以，又，所以不一定成立，故C項不成立；
對于D項，由A項知，所以，故D項正確.
故選：ABD.
10. 下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各個區(qū)間的單調(diào)性判斷.
【詳解】因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故選項A錯誤；
因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故選項B正確；
因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故選項C錯誤；
因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故選項D正確；
故選：BD
11. 關(guān)于函數(shù)的下述四個結(jié)論，正確的有（ ）
A. 若，則
B. 的圖象關(guān)于點對稱
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
D. ）的圖象向右平移個單位長度后所得的圖象關(guān)于y軸對稱
【答案】ABD
【解析】
【分析】①根據(jù)對稱中心進行分析；②根據(jù)對稱中心對應的函數(shù)值特征進行分析；③根據(jù)的單調(diào)性進行分析；④利用函數(shù)圖象的平移進行分析，注意誘導公式的運用．
【詳解】由知點，是圖象的兩個對稱中心，則
，A正確；
因為，所以點是的對稱中心，B正確；
由，解得，
當時，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯誤；
的圖象向右平移個單位長度后所得圖象對應的函數(shù)為
，是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱，D正確，
故選：ABD．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知函數(shù)，則的值為__________．
【答案】4
【解析】
【分析】運用代入法，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】由題意可得，，所以．
故答案為：4
13. 函數(shù)在的值域________．
【答案】
【解析】
【分析】化簡函數(shù)，令，結(jié)合的單調(diào)性求解．
【詳解】
，
∵，
∴，
令，
則在遞增，在遞減，
當時，y取最小值1，
當時，y取最大值，
故函數(shù)的值域是，
故答案為：．
14. 已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用其解析式推出，則可將不等式對恒成立，轉(zhuǎn)化為，即對恒成立，即可求得答案.
【詳解】由題意知單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞增，
又，
故不等式對恒成立，
即對恒成立，
所以，即對恒成立，
當時，，
故，即實數(shù)a的取值范圍是，
故答案為：
【點睛】本題考查了函數(shù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍問題，解答時要注意判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)滿足的性質(zhì)，因而解答的關(guān)鍵是利用函數(shù)滿足的性質(zhì)脫去函數(shù)符號“f”,將問題轉(zhuǎn)化為，即對恒成立，即可解決.
四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟）
15. （1）已知，求.
（2）已知，，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）將原式化為即可求出；
（2）由平方可得，即可求出.
【詳解】（1）∵，
原式.
（2）∵，∴，∴.
.
∵，∴，∴.
16. 函數(shù)的部分圖像如圖所示.
（1）求及圖中的值，并求函數(shù)的最小正周期；
（2）若在區(qū)間上只有一個最小值點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），，最小正周期為2
（2）
【解析】
【分析】（1）將代入解出，進而求解即可；
（2）由余弦函數(shù)圖像和性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
將代入得，解得，
所以，
令得，，解得，，
所以圖中對稱軸為，
由對稱性得，解得.
的最小正周期.
【小問2詳解】
由余弦函數(shù)的性質(zhì)令解得，，
由余弦函數(shù)的圖像在區(qū)間上只有一個最小值點，則，
即實數(shù)的取值范圍為.
17. 已知函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求實數(shù)的值；
（2）判斷并用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性：
（3）若，且當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）單調(diào)遞增，證明見解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求參數(shù)；
（2）令，作差法判斷大小即可；
（3）問題化為時恒成立，由指數(shù)、分式性質(zhì)求的區(qū)間值域，即可得參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
由題設，
所以，即.
【小問2詳解】
單調(diào)遞增，證明如下：
由（1）知：，
令，則
，而，，，
所以，故單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
由題設，當時恒成立，而，
所以即可，故實數(shù)的取值范圍為.
18. 已知定義在上的函數(shù)滿足且，.
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求實數(shù)取值范圍；
（3）設，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)列方程，求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式，分離參數(shù)，利用基本不等式求最值即可；
（3）由題意得，先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得，再求解使得
成立的實數(shù)取值范圍即可.
【小問1詳解】
由題意知，，
即，所以，
故
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以不等式恒成立等價于恒成立，
即恒成立
設，則，，當且僅當，即時，等號成立
所以，
故實數(shù)的取值范圍是
【小問3詳解】
因為對任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因為在上單調(diào)遞增，
所以當時，，
又的對稱軸為，，
當時，在上單調(diào)遞增，，解得，
所以；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，解得，所以；
當時，在上單調(diào)遞減，，解得，
所以，
綜上可知，實數(shù)的取值范圍是
【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，，，.
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集.
19. 列奧納多達芬奇（Lenard da Vinci，1452-1519）是意大利文藝復興三杰之一．他曾提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達式為，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達式為．
（1）證明：；
（2）求不等式：的解集；
（3）函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸有2個交點，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；
（2）（
（3）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)代入計算即可；
（2）求出的單調(diào)性和奇偶性，得到，，求出解集；
（3）參變分離得到在有2個實數(shù)根，換元得到，由對勾函數(shù)單調(diào)性得到的值域，與有兩個交點，故需滿足，即.
【小問1詳解】
．
【小問2詳解】
因為恒成立，故是奇函數(shù)．
又因為在上嚴格遞增，在上嚴格遞減，
故是上的嚴格增函數(shù)，
所以，即，
所以，解得，
即所求不等式的解集為；
【小問3詳解】
因為的圖象在區(qū)間上與軸有2個交點，
所以，
即在有2個實數(shù)根，
所以在有2個實數(shù)根，
令，易知在上單調(diào)遞增，
所以，
則，
令，，
由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，作函數(shù)草圖如圖，
當時，函數(shù)與有兩個交點，
即函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸有2個交點，
所以，即.
【點睛】方法點睛：新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；
（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.

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