1．（3分）《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負數(shù)，若氣溫為零上10℃記作+10℃，則﹣3℃表示氣溫為（ ）
A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃
2．（3分）如圖所示的幾何體是由4個大小相同的小立方體組成，其俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）總投資647億元的西成高鐵預計2017年11月竣工，屆時成都到西安只需3小時，上午游武侯區(qū)，晚上看大雁塔將成為現(xiàn)實，用科學記數(shù)法表示647億元為（ ）
A．647×108B．6.47×109C．6.47×1010D．6.47×1011
4．（3分）二次根式中，x的取值范圍是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1
5．（3分）下列圖標中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)5+a5=a10B．a(chǎn)7÷a=a6C．a(chǎn)3?a2=a6D．（﹣a3）2=﹣a6
7．（3分）學習全等三角形時，數(shù)學興趣小組設計并組織了“生活中的全等”的比賽，全班同學的比賽結(jié)果統(tǒng)計如下表：
則得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（ ）
A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分
8．（3分）如圖，四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′=2：3，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比為（ ）
A．4：9B．2：5C．2：3D．：
9．（3分）已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么實數(shù)k的值為（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
10．（3分）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)bc＜0，b2﹣4ac＞0B．a(chǎn)bc＞0，b2﹣4ac＞0
C．a(chǎn)bc＜0，b2﹣4ac＜0D．a(chǎn)bc＞0，b2﹣4ac＜0

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
11．（4分）（﹣1）0= ．
12．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，則∠A的度數(shù)為 ．
13．（4分）如圖，正比例函數(shù)y1=k1x和一次函數(shù)y2=k2x+b的圖象相交于點A（2，1），當x＜2時，y1 y2．（填“＞”或“＜”）．
14．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，按以下步驟作圖：①以A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB，AD于點M，N；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作AP射線，交邊CD于點Q，若DQ=2QC，BC=3，則平行四邊形ABCD周長為 ．

三、解答題（本大題共6小題，共54分）
15．（12分）（1）計算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；
（2）解不等式組：．
16．（6分）化簡求值：÷（1﹣），其中x=﹣1．
17．（8分）隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展，環(huán)境問題越來越受到人們的關注，某校學生會為了解節(jié)能減排、垃圾分類知識的普及情況，隨機調(diào)查了部分學生，調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類，并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩個統(tǒng)計圖．
（1）本次調(diào)查的學生共有 人，估計該校1200名學生中“不了解”的人數(shù)是 人；
（2）“非常了解”的4人有A1，A2兩名男生，B1，B2兩名女生，若從中隨機抽取兩人向全校做環(huán)保交流，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
18．（8分）科技改變生活，手機導航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西60°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東45°方向行駛一段距離到達古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離．
19．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A（a，﹣2），B兩點．
（1）求反比例函數(shù)的表達式和點B的坐標；
（2）P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點，過點P作y軸的平行線，交直線AB于點C，連接PO，若△POC的面積為3，求點P的坐標．
20．（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC于點H，連接DE交線段OA于點F．
（1）求證：DH是圓O的切線；
（2）若A為EH的中點，求的值；
（3）若EA=EF=1，求圓O的半徑．

四、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）
21．（4分）如圖，數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是 ．
22．（4分）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的兩個實數(shù)根，且x12﹣x22=10，則a= ．
23．（4分）已知⊙O的兩條直徑AC，BD互相垂直，分別以AB，BC，CD，DA為直徑向外作半圓得到如圖所示的圖形，現(xiàn)隨機地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，記針尖落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為P1，針尖落在⊙O內(nèi)的概率為P2，則= ．
24．（4分）在平面直角坐標系xOy中，對于不在坐標軸上的任意一點P（x，y），我們把點P′（，）稱為點P的“倒影點”，直線y=﹣x+1上有兩點A，B，它們的倒影點A′，B′均在反比例函數(shù)y=的圖象上．若AB=2，則k= ．
25．（4分）如圖1，把一張正方形紙片對折得到長方形ABCD，再沿∠ADC的平分線DE折疊，如圖2，點C落在點C′處，最后按圖3所示方式折疊，使點A落在DE的中點A′處，折痕是FG，若原正方形紙片的邊長為6cm，則FG= cm．

五、解答題（本大題共3小題，共30分）
26．（8分）隨著地鐵和共享單車的發(fā)展，“地鐵+單車”已成為很多市民出行的選擇，李華從文化宮站出發(fā)，先乘坐地鐵，準備在離家較近的A，B，C，D，E中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家，設他出地鐵的站點與文化宮距離為x（單位：千米），乘坐地鐵的時間y1（單位：分鐘）是關于x的一次函數(shù)，其關系如下表：
（1）求y1關于x的函數(shù)表達式；
（2）李華騎單車的時間（單位：分鐘）也受x的影響，其關系可以用y2=x2﹣11x+78來描述，請問：李華應選擇在那一站出地鐵，才能使他從文化宮回到家所需的時間最短？并求出最短時間．
27．（10分）問題背景：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于點D，則D為BC的中點，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；
遷移應用：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三點在同一條直線上，連接BD．
①求證：△ADB≌△AEC；
②請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關系式；
拓展延伸：如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點C關于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF．
①證明△CEF是等邊三角形；
②若AE=5，CE=2，求BF的長．
28．（10分）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y=ax2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，頂點為D（0，4），AB=4，設點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C′．
（1）求拋物線C的函數(shù)表達式；
（2）若拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，求m的取值范圍．
（3）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C′上的對應點P′，設M是C上的動點，N是C′上的動點，試探究四邊形PMP′N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

2024年四川省成都市中考數(shù)學模擬試卷
參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負數(shù)，若氣溫為零上10℃記作+10℃，則﹣3℃表示氣溫為（ ）
A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃
【解答】解：若氣溫為零上10℃記作+10℃，則﹣3℃表示氣溫為零下3℃．
故選：B．

2．（3分）如圖所示的幾何體是由4個大小相同的小立方體組成，其俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：從上邊看一層三個小正方形，
故選：C．

3．（3分）總投資647億元的西成高鐵預計2017年11月竣工，屆時成都到西安只需3小時，上午游武侯區(qū)，晚上看大雁塔將成為現(xiàn)實，用科學記數(shù)法表示647億元為（ ）
A．647×108B．6.47×109C．6.47×1010D．6.47×1011
【解答】解：647億=647 0000 0000=6.47×1010，
故選：C．

4．（3分）二次根式中，x的取值范圍是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1
【解答】解：由題意可知：x﹣1≥0，
∴x≥1，
故選（A）

5．（3分）下列圖標中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項正確．
故選D．

6．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)5+a5=a10B．a(chǎn)7÷a=a6C．a(chǎn)3?a2=a6D．（﹣a3）2=﹣a6
【解答】解：A．a(chǎn)5+a5=2a5，所以此選項錯誤；
B．a(chǎn)7÷a=a6，所以此選項正確；
C．a(chǎn)3?a2=a5，所以此選項錯誤；
D．（﹣a3）2=a6，所以此選項錯誤；
故選B．

7．（3分）學習全等三角形時，數(shù)學興趣小組設計并組織了“生活中的全等”的比賽，全班同學的比賽結(jié)果統(tǒng)計如下表：
則得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（ ）
A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分
【解答】解：70分的有12人，人數(shù)最多，故眾數(shù)為70分；
處于中間位置的數(shù)為第20、21兩個數(shù)，都為80分，中位數(shù)為80分．
故選：C．

8．（3分）如圖，四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′=2：3，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比為（ ）
A．4：9B．2：5C．2：3D．：
【解答】解：∵四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點O為位似中心的位似圖形，OA：OA′=2：3，
∴DA：D′A′=OA：OA′=2：3，
∴四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比為：（）2=，
故選：A．

9．（3分）已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么實數(shù)k的值為（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解答】解：將x=3代入﹣=2，
∴
解得：k=2，
故選（D）

10．（3分）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)bc＜0，b2﹣4ac＞0B．a(chǎn)bc＞0，b2﹣4ac＞0
C．a(chǎn)bc＜0，b2﹣4ac＜0D．a(chǎn)bc＞0，b2﹣4ac＜0
【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象知：
拋物線開口向上，則a＞0；
拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則x=﹣＞0，即b＜0；
拋物線交y軸于負半軸，則c＜0；
∴abc＞0，
∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，
∴△=b2﹣4ac＞0，
故選B．

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
11．（4分）（﹣1）0= 1 ．
【解答】解：（﹣1）0=1．
故答案為：1．

12．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，則∠A的度數(shù)為 40° ．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴設∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴∠A的度數(shù)為：40°．
故答案為：40°．

13．（4分）如圖，正比例函數(shù)y1=k1x和一次函數(shù)y2=k2x+b的圖象相交于點A（2，1），當x＜2時，y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”）．
【解答】解：由圖象知，當x＜2時，y2的圖象在y1上右，
∴y1＜y2．
故答案為：＜．

14．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，按以下步驟作圖：①以A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB，AD于點M，N；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作AP射線，交邊CD于點Q，若DQ=2QC，BC=3，則平行四邊形ABCD周長為 15 ．
【解答】解：∵由題意可知，AQ是∠DAB的平分線，
∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DQA，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3．
∵DQ=2QC，
∴QC=DQ=，
∴CD=DQ+CQ=3+=，
∴平行四邊形ABCD周長=2（DC+AD）=2×（+3）=15．
故答案為：15．

三、解答題（本大題共6小題，共54分）
15．（12分）（1）計算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；
（2）解不等式組：．
【解答】解：（1）原式=﹣1﹣2+2×+4
=﹣1﹣2++4
=3；
（2），
①可化簡為2x﹣7＜3x﹣3，
﹣x＜4，
x＞﹣4，
②可化簡為2x≤1﹣3，則x≤﹣1．
不等式的解集是﹣4＜x≤﹣1．

16．（6分）化簡求值：÷（1﹣），其中x=﹣1．
【解答】解：÷（1﹣）=?=，
∵x=﹣1，
∴原式==．

17．（8分）隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展，環(huán)境問題越來越受到人們的關注，某校學生會為了解節(jié)能減排、垃圾分類知識的普及情況，隨機調(diào)查了部分學生，調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類，并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩個統(tǒng)計圖．
（1）本次調(diào)查的學生共有 50 人，估計該校1200名學生中“不了解”的人數(shù)是 360 人；
（2）“非常了解”的4人有A1，A2兩名男生，B1，B2兩名女生，若從中隨機抽取兩人向全校做環(huán)保交流，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）4÷8%=50（人），
1200×（1﹣40%﹣22%﹣8%）=360（人）；
故答案為：50，360；
（2）畫樹狀圖，共有12根可能的結(jié)果，恰好抽到一男一女的結(jié)果有8個，
∴P（恰好抽到一男一女的）==．

18．（8分）科技改變生活，手機導航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西60°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東45°方向行駛一段距離到達古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離．
【解答】解：過B作BD⊥AC于點D．
在Rt△ABD中，AD=AB?cs∠BAD=4cs60°=4×=2（千米），
BD=AB?sin∠BAD=4×=2（千米），
∵△BCD中，∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD=2（千米），
∴BC=BD=2（千米）．
答：B，C兩地的距離是2千米．

19．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A（a，﹣2），B兩點．
（1）求反比例函數(shù)的表達式和點B的坐標；
（2）P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點，過點P作y軸的平行線，交直線AB于點C，連接PO，若△POC的面積為3，求點P的坐標．
【解答】解：（1）把A（a，﹣2）代入y=x，可得a=﹣4，
∴A（﹣4，﹣2），
把A（﹣4，﹣2）代入y=，可得k=8，
∴反比例函數(shù)的表達式為y=，
∵點B與點A關于原點對稱，
∴B（4，2）；
（2）如圖所示，過P作PE⊥x軸于E，交AB于C，
設P（m，），則C（m，m），
∵△POC的面積為3，
∴m×|m﹣|=3，
解得m=2或2，
∴P（2，）或（2，4）．

20．（12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC于點H，連接DE交線段OA于點F．
（1）求證：DH是圓O的切線；
（2）若A為EH的中點，求的值；
（3）若EA=EF=1，求圓O的半徑．
【解答】證明：（1）連接OD，如圖1，
∵OB=OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD=∠ODB①，
在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB②，
由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圓O的切線；
（2）如圖2，在⊙O中，∵∠E=∠B，
∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵DH⊥AC，且點A是EH中點，
設AE=x，EC=4x，則AC=3x，
連接AD，則在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵AB=AC，
∴D是BC的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，OD=AC=×3x=，
∵OD∥AC，
∴∠E=∠ODF，
在△AEF和△ODF中，
∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，
∴△AEF∽△ODF，
∴，
∴==，
∴=；
（3）如圖2，設⊙O的半徑為r，即OD=OB=r，
∵EF=EA，
∴∠EFA=∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD=∠EAF，
則∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，
∴DF=OD=r，
∴DE=DF+EF=r+1，
∴BD=CD=DE=r+1，
在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，
∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF=BD=r+1，
∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1，
在△BFD和△EFA中，
∵，
∴△BFD∽△EFA，
∴，
∴=，
解得：r1=，r2=（舍），
綜上所述，⊙O的半徑為．

四、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）
21．（4分）如圖，數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是 ﹣1 ．
【解答】解：由圖形可得：﹣1到A的距離為=，
則數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是：﹣1．
故答案為：﹣1．

22．（4分）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的兩個實數(shù)根，且x12﹣x22=10，則a= ．
【解答】解：由兩根關系，得根x1+x2=5，x1?x2=a，
由x12﹣x22=10得（x1+x2）（x1﹣x2）=10，
若x1+x2=5，即x1﹣x2=2，
∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1?x2=25﹣4a=4，
∴a=，
故答案為：．

23．（4分）已知⊙O的兩條直徑AC，BD互相垂直，分別以AB，BC，CD，DA為直徑向外作半圓得到如圖所示的圖形，現(xiàn)隨機地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，記針尖落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為P1，針尖落在⊙O內(nèi)的概率為P2，則= ．
【解答】解：設⊙O的半徑為1，則AD=，
故S圓O=π，
陰影部分面積為：π×2+×﹣π=2，
則P1=，P2=，
故=．
故答案為：．

24．（4分）在平面直角坐標系xOy中，對于不在坐標軸上的任意一點P（x，y），我們把點P′（，）稱為點P的“倒影點”，直線y=﹣x+1上有兩點A，B，它們的倒影點A′，B′均在反比例函數(shù)y=的圖象上．若AB=2，則k= ﹣ ．
【解答】解：設點A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），則A′（，），B′（，），
∵AB===（b﹣a）=2，
∴b﹣a=2，即b=a+2．
∵點A′，B′均在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴，
解得：k=﹣．
故答案為：﹣．

25．（4分）如圖1，把一張正方形紙片對折得到長方形ABCD，再沿∠ADC的平分線DE折疊，如圖2，點C落在點C′處，最后按圖3所示方式折疊，使點A落在DE的中點A′處，折痕是FG，若原正方形紙片的邊長為6cm，則FG= cm．
【解答】解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，
∵GF⊥AA′，
∴∠AFG+∠FAK=90°，∠MGF+∠MFG=90°，
∴∠MGF=∠KAC′，
∴△AKC′≌△GFM，
∴GF=AK，
∵AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，
∴=，
∴=，
∴C′K=1cm，
在Rt△AC′K中，AK==cm，
∴FG=AK=cm，
故答案為．

五、解答題（本大題共3小題，共30分）
26．（8分）隨著地鐵和共享單車的發(fā)展，“地鐵+單車”已成為很多市民出行的選擇，李華從文化宮站出發(fā)，先乘坐地鐵，準備在離家較近的A，B，C，D，E中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家，設他出地鐵的站點與文化宮距離為x（單位：千米），乘坐地鐵的時間y1（單位：分鐘）是關于x的一次函數(shù)，其關系如下表：
（1）求y1關于x的函數(shù)表達式；
（2）李華騎單車的時間（單位：分鐘）也受x的影響，其關系可以用y2=x2﹣11x+78來描述，請問：李華應選擇在那一站出地鐵，才能使他從文化宮回到家所需的時間最短？并求出最短時間．
【解答】解：（1）設y1=kx+b，將（8，18），（9，20），代入得：
，
解得：，
故y1關于x的函數(shù)表達式為：y1=2x+2；
（2）設李華從文化宮回到家所需的時間為y，則
y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80，
∴當x=9時，y有最小值，ymin==39.5，
答：李華應選擇在B站出地鐵，才能使他從文化宮回到家所需的時間最短，最短時間為39.5分鐘．

27．（10分）問題背景：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于點D，則D為BC的中點，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；
遷移應用：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三點在同一條直線上，連接BD．
①求證：△ADB≌△AEC；
②請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關系式；
拓展延伸：如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點C關于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF．
①證明△CEF是等邊三角形；
②若AE=5，CE=2，求BF的長．
【解答】遷移應用：①證明：如圖②
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠DAB=∠CAE，
在△DAE和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC，
②解：結(jié)論：CD=AD+BD．
理由：如圖2﹣1中，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，
在Rt△ADH中，DH=AD?cs30°=AD，
∵AD=AE，AH⊥DE，
∴DH=HE，
∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD．
拓展延伸：①證明：如圖3中，作BH⊥AE于H，連接BE．
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴△ABD，△BDC是等邊三角形，
∴BA=BD=BC，
∵E、C關于BM對稱，
∴BC=BE=BD=BA，F(xiàn)E=FC，
∴A、D、E、C四點共圓，
∴∠ADC=∠AEC=120°，
∴∠FEC=60°，
∴△EFC是等邊三角形，
②解：∵AE=5，EC=EF=2，
∴AH=HE=2.5，F(xiàn)H=4.5，
在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，
∴=cs30°，
∴BF==3．

28．（10分）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y=ax2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，頂點為D（0，4），AB=4，設點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C′．
（1）求拋物線C的函數(shù)表達式；
（2）若拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，求m的取值范圍．
（3）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C′上的對應點P′，設M是C上的動點，N是C′上的動點，試探究四邊形PMP′N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．
【解答】解：（1）由題意拋物線的頂點C（0，4），A（﹣2，0），設拋物線的解析式為y=ax2+4，
把A（﹣2，0）代入可得a=﹣，
∴拋物線C的函數(shù)表達式為y=﹣x2+4．
（2）由題意拋物線C′的頂點坐標為（2m，﹣4），設拋物線C′的解析式為y=（x﹣2m）2﹣4，
由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，
由題意，拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，
則有，解得2＜m＜2，
∴滿足條件的m的取值范圍為2＜m＜2．
（3）結(jié)論：四邊形PMP′N能成為正方形．
理由：1情形1，如圖，作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．
由題意易知P（2，2），當△PFM是等腰直角三角形時，四邊形PMP′N是正方形，
∴PF=FM，∠PFM=90°，
易證△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，
∴M（m+2，m﹣2），
∵點M在y=﹣x2+4上，
∴m﹣2=﹣（m+2）2+4，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍棄），
∴m=﹣3時，四邊形PMP′N是正方形．
情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），
把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣x2+4中，2﹣m=﹣（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍棄），
∴m=6時，四邊形PMP′N是正方形．
綜上，四邊形PMP′N能成為正方形，m=﹣3或6． 得分（分）
60
70
80
90
100
人數(shù)（人）
7
12
10
8
3
地鐵站
A
B
C
D
E
x（千米）
8
9
10
11.5
13
y1（分鐘）
18
20
22
25
28
得分（分）
60
70
80
90
100
人數(shù)（人）
7
12
10
8
3
地鐵站
A
B
C
D
E
x（千米）
8
9
10
11.5
13
y1（分鐘）
18
20
22
25
28

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