全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.
5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第二冊第五章.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知函數(shù)在處的導數(shù)為3，則（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)在導數(shù)的定義即可求解.
【詳解】因為函數(shù)在處的導數(shù)為3，
所以，
所以．
故選：B.
2. 已知函數(shù)，則的值為（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題可通過求導得出，然后代入即可得出結果.
【詳解】因為，
所以，
則，
故選：D.
3. 設點P是函數(shù)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求導，得到，從而得到，結合傾斜角的范圍，求出α的取值范圍.
【詳解】，
∵點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，
∴．
∵，
∴．
故選：C．
4. 已知函數(shù)有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】原函數(shù)有極值等價于導函數(shù)有變號零點，對于二次函數(shù)即判別式，由此計算a的取值范圍即可.
【詳解】由，
得，
根據(jù)題意得，
解得或，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
故選：D．
5. 已知函數(shù)，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，可得出關于實數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】因為，則，其中，
令，解得，令，解得.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為，，所以，，
因為在上恒成立，所以，，解得.
故選：B
6. 若函數(shù)存在零點，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意得，令，求的取值范圍可得答案.
詳解】由，則，
令，
則，
當?shù)茫瑔握{(diào)遞增，當?shù)茫瑔握{(diào)遞減，
所以，，
當趨向于正無窮大時，也趨向于正無窮大，
所以函數(shù)存在零點，則.
故選：D.
【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)零點問題．解題方法是把零點個數(shù)轉化為方程解的個數(shù)，再轉化為函數(shù)圖象交點個數(shù)，由圖象觀察所需條件求得結論．考查了分析問題、解決問題的能力．
7. 已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由、關于軸對稱，問題轉化為與在上有交點，構造，則在有解，利用導數(shù)研究單調(diào)性并求最值，即可求的取值范圍.
【詳解】由題意，、關于軸對稱，
∴與在上有交點，則在有解，
令，則，，
∴在上遞增，而，
∴在上，遞減；在上，遞增；
∴，故只需即可，得.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：由、關于軸對稱，將問題轉化為與在上有交點，再構造函數(shù)并利用導數(shù)求極值，進而求參數(shù)范圍.
8. 已知定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函數(shù)滿足，構造函數(shù)，得出的單調(diào)性，解不等式即可.
【詳解】令，則，所以在R上單調(diào)遞增，
由，得，即，
又在R上單調(diào)遞增，所以，解得，
即不等式的解集為.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 如圖是導函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 函數(shù)在處取得極大值D. 函數(shù)在處取得極小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象，結合函數(shù)的單調(diào)性與極值與導數(shù)的關系逐項判斷即可.
【詳解】對于A．因為在區(qū)間上成立，所以區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間，故A正確；
對于B．因為當時，，當時，，所以在上不單調(diào)，故B錯誤；
對于C．因為當時，，當時，，函數(shù)在處取得極大值，故C正確；
對于D．因為當時，，當時，，所以函數(shù)在處取得極小值，故D正確.
故選：ACD．
10. 已知函數(shù)圖象上的一條切線與的圖象交于點M，與直線交于點N，則下列結論不正確的有（ ）
A. 函數(shù)的最小值為
B. 函數(shù)的值域為
C. 的最小值為
D. 函數(shù)圖象上任一點的切線傾斜角的所在范圍為
【答案】ABD
【解析】
【分析】討論與結合均值不等式可判斷A、B；利用導數(shù)求出函數(shù)的切線方程，從而求得點與，即可判斷C；根據(jù)導數(shù)的取值范圍可判斷D．
【詳解】已知，當時，，當時，，故選項A、B不正確；
設直線l與函數(shù)的圖象相切于點，函數(shù)的導函數(shù)為，則直線l的方程為，
即，直線l與的交點為，與的交點為，
所以，當且僅當時取等號，
故選項C正確;
，可知切線斜率可為負值，即傾斜角可以為鈍角，故選項D不正確．
故選：ABD
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 當時，函數(shù)的減區(qū)間為
B. 當時，函數(shù)的圖象是中心對稱圖形
C. 若是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)a的取值范圍為
D. 若過原點可作三條直線與曲線相切，則實數(shù)a的取值范圍為
【答案】AB
【解析】
【分析】對函數(shù)求導根據(jù)可判斷A正確，由中心對稱圖形定義可判斷B正確，利用極值點定義與導函數(shù)零點之間的關系即可判斷C錯誤，將切線條數(shù)轉化成方程根的個數(shù)，再構造函數(shù)求得函數(shù)圖象交點個數(shù)可判斷D錯誤.
【詳解】由，
對于A選項，當時，，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故A選項正確；
對于B選項，當時，，
又由，
可得函數(shù)的圖象關于點對稱，是中心對稱圖形，故B選項正確；
對于C選項，由A選項可知，當時，是函數(shù)的極小值點；
當時，令，可得或，
若是函數(shù)的極大值點，必有，可得，故C選項錯誤；
對于D選項，設切點為（其中），
由切線過原點，有，整理為，
令，有，
可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
又由時，；時，；及，
可知當時，關于m的方程有且僅有3個根，
可得過原點可作三條直線與曲線相切，故D選項錯誤，
故選：AB．
【點睛】關鍵點點睛：在求解D選項切線條數(shù)時，關鍵是將切線條數(shù)轉化成方程根的個數(shù)，再構造函數(shù)求得函數(shù)圖象交點個數(shù)即可得出結果.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)的導函數(shù)滿足關系式，則_____________．
【答案】
【解析】
【分析】對函數(shù)兩邊求導，然后賦值，解得代入即可求解.
【詳解】由，函數(shù)兩邊求導得：，
令，則，所以
代入函數(shù)得：．
故答案為：
13. 已知函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為______________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用三角恒等變換公式以及導數(shù)的運算求解.
【詳解】由，
可知，
所以.
故答案為：.
14. 若關于x的不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的最小值是_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】將問題轉化為，構造函數(shù)，求的最大值，得a的最小值.
【詳解】由，可得，，可得，
令，可得，
令，有，
令，可得；令，可得；
可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
所以，故，即a的最小值為．
故答案為：．
【點睛】關鍵點睛：利用，將問題轉化為求函數(shù)的最大值問題.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. 已知函數(shù)在點處的切線斜率為，且在處取得極值．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）當時，求函數(shù)的最值．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義及點在曲線上，結合函數(shù)極值的定義即可求解；
（2）利用導數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解.
【小問1詳解】
因為，
所以，
由題意可知，，，，
所以，解得，，，
所以函數(shù)的解析式為，經(jīng)檢驗適合題意，
所以；
【小問2詳解】
由（1）知，
令，則，解得，或，
當時，； 當時，；
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當時，取的極大值為，
當時，取得極小值為，
又，，
所以，．
16. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
（1）求曲線在點A處的切線方程；
（2）求曲線經(jīng)過坐標原點的切線方程．
【答案】（1）；
（2）和．
【解析】
【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義即可;
（2）設切點坐標，然后利用導數(shù)的幾何意義即可.
【小問1詳解】
依題意可得，則，
∴，
∵，
∴，
∴曲線在點處的切線方程為，
即；
【小問2詳解】
設過原點的切線方程為，則切點為，
則消去k，整理得，
解得或，有或．
故所求方程為和．
17. 如圖，在半徑為4m的四分之一圓（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設矩形的邊長，圓柱的體積為V．
（1）求出體積V關于x的函數(shù)關系式，并指出定義域；
（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大？最大體積是多少？
【答案】（1），定義域為；
（2）當時，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理及圓的周長公式，結合圓柱的體積公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）結論及導數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解
【小問1詳解】
在中，
因為，所以，
設圓柱的底面半徑為r，則，即，
所以，定義域為
【小問2詳解】
由（1）得，，
，
令，則，解得，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當時，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是
18. 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）若直線為的切線，求a的值.
（3）已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個公共點，求a的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）求得導函數(shù)，并對分和討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設切點為，結合導數(shù)的幾何意義可得，令，轉化為僅一個零點，利用導數(shù)判斷求解；
（3）根據(jù)導數(shù)幾何意義即可求曲線在處的切線方程為，構造函數(shù)，由切線與有且只有一個公共點轉化為僅一個零點，并求得導函數(shù)，對分類討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，進而求得正數(shù)的取值范圍．
【小問1詳解】
由，，
當時，，在單調(diào)遞增，
當時，令，解得，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
綜上，當時，在單調(diào)遞增，無單調(diào)減區(qū)間；
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
設切點為，依題意，，所以，
又，代入可得，，
設，
則，所在單調(diào)遞增，
因為，所以，.
【小問3詳解】
，，
所以曲線在處的切線方程為，即，
設，，
，
①當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有且僅有一個零點，符合題意；
②當時，，在上單調(diào)遞減，有且僅有一個零點，符合題意；
③當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，，當，，所以有兩個零點，不符題意；
④當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，，當，，所以有兩個零點，不符題意；
綜上，a的取值范圍是.
【點睛】關鍵點點睛：本題第三問解題的關鍵是將切線與曲線有且只有一個公共點轉化為僅一個零點，利用導數(shù)求解.
19. 約瑟夫·路易斯·拉格朗日是聞名世界的數(shù)學家，拉格朗日中值定理就是他發(fā)現(xiàn)的.定理如下：若函數(shù)滿足如下條件：
①函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)（函數(shù)圖象沒有間斷）；
②函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導（導數(shù)存在）．則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得成立，其中稱為“拉格朗日中值點”．
（1）求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)；
（2）對于任意的實數(shù)，，證明：；
（3）已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的兩個條件，當時，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求，再根據(jù)“拉格朗日中值點” 的定義令，解方程即可求解；
（2）設，分和兩種情況討論，利用拉格朗日中值定理有，結合即可求證；
（3）對函數(shù)二次求導，利用拉格朗日中值定理，結合函數(shù)的單調(diào)性即可證明.
【小問1詳解】
因為，，
，，所以在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為.
【小問2詳解】
設，有，
易知函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的兩個條件，
當時，顯然有，
當時，不妨設，由拉格朗日中值定理可知，
存在，使得，
有，又由，有，
可得，
由上知，不等式成立.
【小問3詳解】
由，有，
又由，設，
有，
可得函數(shù)單調(diào)遞增，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
使得，
同理可知，存在，
使得，
又由和函數(shù)單調(diào)遞增，有，
有，
由化簡可得，
故不等式成立．
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于能夠將問題與拉格朗日中值定理聯(lián)系并結合導數(shù)解決問題.

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