正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)位置.
1. 已知集合,,則
A. B. C. D.
2. 2024年巴黎奧運(yùn)會中國代表隊(duì)獲得金牌榜第一,獎牌榜第二的優(yōu)異成績.首金是中國組合黃雨婷和盛李豪在10米氣步槍混合團(tuán)體賽中獲得,兩人在決賽中14次射擊環(huán)數(shù)如右圖,則
A.盛李豪的平均射擊環(huán)數(shù)超過10.6
B.黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的第80百分位數(shù)為10.65
C.盛李豪射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差
D.黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差小于盛李豪射擊環(huán)數(shù)的極差
3.已知,,,則,,的大小關(guān)系為
A. B. C. D.
4.已知實(shí)數(shù),,滿足，且，則下列說法正確的是
A. B. C. D.
5.“函數(shù)的值域?yàn)镽”的一個充分不必要條件是
A. B. C． D．
6. 核燃料是重要的能量來源之一，在使用核燃料時，為了冷卻熔化的核燃料，可以不斷向反應(yīng)堆注入水，但會產(chǎn)生大量放射性核元素污染的冷卻水，稱為核廢水.核廢水中含有一種放射性同位素氚，它有可能用輻射損傷細(xì)胞和組織，影響生物的繁殖和生態(tài)平衡. 已知氚的半衰期約為12年，則氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過( )年.（）
A. 155 B.159 C. 162 D. 166
7.若函數(shù)的圖象如圖1所示，則如圖2對應(yīng)的函數(shù)可能是
A. B.
C. D.
8. 已知函數(shù),則方程的所有根之和為
A．0 B．3 C．6 D．9
二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分, 部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則
A． B． C．fx是奇函數(shù) D．fx在上單調(diào)遞增
10．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)分別為，則下列命題為真命題的是
A． B．
C．若，則 D．若，則
11.設(shè)函數(shù),則下面說法正確的是
A. 當(dāng)時，函數(shù)在定義域上僅有一個零點(diǎn)
B. 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增
C.若函數(shù)存在極值點(diǎn),則 D.若,則的最小值為
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____．
13.若是定義在R上的奇函數(shù)，，，則__ __________．
14. 若過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，則的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)，且在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16.（15分）已知三棱錐D-ABC，D在平面ABC上的射影為△ABC的重心O，，.
（1）證明：BC⊥AD；
（2）E為AD上靠近A的三等分點(diǎn)，若三棱錐D-ABC的體積為，求二面角的余弦值．
17. （15分）某小區(qū)有3000名居民，想通過驗(yàn)血的方法篩選乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占.為減輕工作量，隨機(jī)地按人一組分組，然后將各組個人的血樣混合在一起化驗(yàn).若混合血樣呈陰性，說明這個人全部陰性；若混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗(yàn)一次。
（1）若試估算該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù)；
（2）若，且每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元，人混合化驗(yàn)一次花費(fèi)元，求當(dāng)為何值時，每個居民化驗(yàn)的平均費(fèi)用最少.
注：假設(shè)每位居民的化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨(dú)立.當(dāng)時，.
18. （17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動點(diǎn)P滿足，且.設(shè)動點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，試判斷是否存在直線，使得A，B，M，N四點(diǎn)共圓.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
19. （17分）在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的泰勒展開式.當(dāng)時泰勒展開式也稱為麥克勞林公式.比如在處的麥克勞林公式為：，
由此當(dāng)時，可以非常容易得到不等式
請利用上述公式和所學(xué)知識完成下列問題：
(1)寫出在處的泰勒展開式;
(2)若，恒成立，求a的范圍;（參考數(shù)據(jù)）
(3)估計(jì)的近似值.（精確到）
2024-2025學(xué)年四川省成都市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷
選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是
符合題目要求的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)位置.
1. 已知集合,,則
A. B. C. D.
【正確答案】B
，故，故選B.
2. 2024年巴黎奧運(yùn)會中國代表隊(duì)獲得金牌榜第一,獎牌榜第二的優(yōu)異成績.首金是中國組合黃雨婷和盛李豪在10米氣步槍混合團(tuán)體賽中獲得,兩人在決賽中14次射擊環(huán)數(shù)如右圖,則
A.盛李豪的平均射擊環(huán)數(shù)超過10.6
B.黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的第80百分位數(shù)為10.65
C.盛李豪射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差
D.黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差小于盛李豪射擊環(huán)數(shù)的極差
【正確答案】C
盛李豪的射擊環(huán)數(shù)只有兩次是10.8環(huán)，5次10.6環(huán)，其余都是10.6環(huán)以下，所以盛李豪平均射擊環(huán)數(shù)低于10.6，故A錯誤；由于，故第80百分位數(shù)是從小到大排列的第12個數(shù)10.7，故B錯誤；由于黃雨婷的射擊環(huán)數(shù)更分散，故標(biāo)準(zhǔn)差更大，故C正確；黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差為10.8-9.7=1.1，盛李豪的射擊環(huán)數(shù)極差為10.8-10.3=0.5，故D錯誤.故選C.
3.已知,,,則,,的大小關(guān)系為
A. B. C. D.
【正確答案】A
由于在單調(diào)遞減，故，又因?yàn)椋?，故選A.
4.已知實(shí)數(shù),,滿足，且，則下列說法正確的是
A. B. C. D.
【正確答案】C
由題，，取，則，故A錯誤；，故B錯誤；，故D錯誤；因?yàn)?，所以，即，故C正確.故選C.
5. “函數(shù)的值域?yàn)镽”的一個充分不必要條件是
A. B. C． D．
【正確答案】D
因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以在方程中，，即，解得或，從而是“函數(shù)的值域?yàn)镽”的充分不必要條件.故選D.
6. 核燃料是重要的能量來源之一，在使用核燃料時，為了冷卻熔化的核燃料，可以不斷向反應(yīng)堆注入水，但會產(chǎn)生大量放射性核元素污染的冷卻水，稱為核廢水.核廢水中含有一種放射性同位素氚，它有可能用輻射損傷細(xì)胞和組織，影響生物的繁殖和生態(tài)平衡。已知氚的半衰期約為12年，則氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過( )年.（）
A. 155 B.159 C. 162 D. 166
【正確答案】B
設(shè)氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過t年，則，，即，故選B.
7.若函數(shù)的圖象如圖1所示，則如圖2對應(yīng)的函數(shù)可能是
A. B.
C. D.
【正確答案】A
由的定義域?yàn)橹?，中，不符合圖2，故排除B，D；對于C，當(dāng)時，，不滿足圖2，故C錯誤；將函數(shù)的圖關(guān)于軸對稱，得到的圖，向右平移1個單位得到的圖，最后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到函?shù)的圖可能為圖2，故選A.
8.已知函數(shù),則方程的所有根之和為
A．0 B．3 C．6 D．9
【正確答案】C
方程的根為函數(shù)
和的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
由函數(shù)得，
如下圖所示，兩函數(shù)圖象共有4個交點(diǎn)，且由于兩個函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故
方程的所有根之和為6，故選C.
二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分, 部分選對的得部分分,有選錯的得0分,。
9．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則
A． B．
C．fx是奇函數(shù) D．fx在上單調(diào)遞增
【正確答案】 AC
由知，當(dāng)時， ，即，故A正確；若，則滿足條件，但，且fx是在上單調(diào)遞減，故B,D錯誤；當(dāng)時，，即，故C正確，故選AC.
10．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)分別為，則下列命題為真命題的是
A． B．
C．若，則 D．若，則
【正確答案】ABD
設(shè)且，則，
，
所以，所以，故A正確；
，，故B正確；當(dāng)時，滿足，但不能得出，故C錯誤；，故，故D正確，故選ABD.
11.設(shè)函數(shù),則下面說法正確的是
A. 當(dāng)時，函數(shù)在定義域上僅有一個零點(diǎn)
B. 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增
C.若函數(shù)存在極值點(diǎn),則
D.若,則的最小值為
【正確答案】ABD
當(dāng)時， ，由得，，函數(shù)在定義域上僅有一個零點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時，函數(shù),當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確； ，當(dāng)時，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)存在零點(diǎn)，即函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞遞增，故此時函數(shù)存在極值點(diǎn)，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞遞增，故，故當(dāng)時，函數(shù)存在零點(diǎn)，函數(shù)存在極值點(diǎn),綜上，當(dāng)函數(shù)存在極值點(diǎn)時，或，故C錯誤；對于D，恒成立,當(dāng)時，或，當(dāng)且僅當(dāng)兩個零點(diǎn)重合時, 即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足, 則,當(dāng)時取“=”，故D正確，故選ABD.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____．
【正確答案】或
函數(shù)的對稱軸為，故當(dāng)或時，函數(shù)在上單調(diào)，即或，故答案為或.
13.若是定義在R上的奇函數(shù)，，，則________．
【正確答案】2
因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，故，又因?yàn)椋?br>所以,故，所以，，即的周期為4，
由于為定義在R上的奇函數(shù)，故，，，故，，故答案為2.
14. 若過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，則的取值范圍是 ．
【正確答案】
設(shè)切點(diǎn)為，，故切線方程為，將代入切線方程得，
令，則
，
故的單調(diào)減區(qū)間，增區(qū)間是.當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)與有且僅有兩個交點(diǎn)時，，故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)，且在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】(1) ;(2)
（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，1分
即，3分
所以，故，則，5分
當(dāng)時，顯然不成立;經(jīng)驗(yàn)證：符合題意；所以；6分
（2）由，，8分
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減. 9分
故.10分
因?yàn)樵趨^(qū)間上沒有零點(diǎn)，所以或12分
所以13分
16.（15分）已知三棱錐D-ABC，D在平面ABC上的射影為△ABC的重心O，，.
(1)證明：BC⊥AD；
(2)E為AD上靠近A的三等分點(diǎn)，若三棱錐D-ABC的體積為，求二面角的余弦值．
【正確答案】（1）見解答；（2）
（1）如圖所示，連結(jié)并延長交于，因?yàn)镺為△ABC的重心，所以是的中點(diǎn)，1分
又因?yàn)?，所以由等腰三角形三線合一可得，2分
因?yàn)镈在平面ABC上的射影為O，所以平面ABC，3分
又平面ABC，所以，4分
又平面，所以平面，5分
又平面，所以，6分
（2）由（1）知，面ABC，過作軸平行于，則軸垂直于面ABC，
如圖以為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，7分
在中，，由（1）知，， 故，
，8分
所以三棱錐A-BCD的體積為 ，則
因?yàn)闉椤鰽BC的重心，故，9分
則，
因?yàn)镋為AD上靠近A的三等分點(diǎn)，所以，
故10分
設(shè)為平面的一個法向量，則，
取，則，故，12分
易得是平面的一個法向量，13分
設(shè)二面角的平面角為，則為鈍角，
所以，
所以二面角的余弦值為.15分
17. （15分）某小區(qū)有3000名居民，想通過驗(yàn)血的方法篩選乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占.為減輕工作量，隨機(jī)地按人一組分組，然后將各組個人的血樣混合在一起化驗(yàn).若混合血樣呈陰性，說明這個人全部陰性；若混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗(yàn)一次。
（1）若試估算該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù)；
（2）若，且每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元，人混合化驗(yàn)一次花費(fèi)元，求當(dāng)為何值時，每個居民化驗(yàn)的平均費(fèi)用最少.
注：假設(shè)每位居民的化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽性相互獨(dú)立.當(dāng)時，.
【正確答案】(1)270;(2)10
（1）設(shè)每組需要檢驗(yàn)的次數(shù)為X，若混合血樣為陰性，則X=1，若混合血樣呈陽性，則X=21，1分
所以，，3分
所以
5分
一共有組，故估計(jì)該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù)是.7分
（2）設(shè)每組n人總費(fèi)用為Y元，若混合血樣呈陰性，則Y=n+9；若混合血樣呈陽性，則Y=11n+9, 8分
故，10分
12分
每位居民的化驗(yàn)費(fèi)用為
=元14分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故n=10時，每個居民化驗(yàn)的平均費(fèi)用最少.15分
18. （17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動點(diǎn)P滿足，且.設(shè)動點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，試判斷是否存在直線，使得A，B，M，N四點(diǎn)共圓.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
【正確答案】（1）；（2）不存在
（1）設(shè)，則，，，1分
因?yàn)?，所以?分
所以，，所以，，3分
又因?yàn)?，整理得?分
所以曲線C的方程為；5分
（2）易知當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，直線l與曲線C沒有兩個交點(diǎn)，所以直線l的斜率存在，6分
設(shè)l：，將直線l與曲線C聯(lián)立，得，
消去y，整理得，7分
因?yàn)榍遥?br>所以且，8分
設(shè)，，則，，
所以MN的中點(diǎn)，且，9分
將，代入上式，
整理得，10分
當(dāng)時，線段MN的中垂線方程為：， 11分
令y＝0，解得，即與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，12分
當(dāng)k＝0時，線段MN的中垂線為y軸，與x軸交于原點(diǎn)，符合Q點(diǎn)坐標(biāo)，13分
因?yàn)锳B的中垂線為x軸，所以若A，B，M，N共圓，則圓心為，
所以，14分
所以，15分
整理得，即，16分
因?yàn)榍遥?br>所以上述方程無解，即不存在直線符合題意. 17分
19. （17分）在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的泰勒展開式.當(dāng)時泰勒展開式也稱為麥克勞林公式.比如在處的麥克勞林公式為：，
由此當(dāng)時，可以非常容易得到不等式
請利用上述公式和所學(xué)知識完成下列問題：
(1)寫出在處的泰勒展開式.
(2)若，恒成立，求a的范圍;（參考數(shù)據(jù)）
(3)估計(jì)的近似值（精確到）
【正確答案】（1）；（2）；（3）
(1)在處的泰勒展開式為：
，2分
（2）因?yàn)?br>由在處的泰勒展開式，先證，
令，3分
，易知，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，4分
所以在上單調(diào)遞增，所以，
再令，，易得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，6分
而，所以 恒成立，7分
當(dāng)時， ，所以成立，8分
當(dāng)時，令，，易求得，
所以必存在一個區(qū)間，使得在上單調(diào)遞減，
所以時，，不符合題意. 10分
綜上所述，.11分
（3）因?yàn)檗D(zhuǎn)化研究的結(jié)構(gòu)12分
13分
14分
兩式相減得15分
取得
所以估計(jì)的近似值為（精確到）. 17分

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