注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.
5.本卷主要考查內(nèi)容：集合與常用邏輯用語(yǔ)，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，解三角形.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，若，則所有整數(shù)a的取值構(gòu)成的集合為（ ）
A. {1，2}B. {1}C. {0，1，2}D. N
【正確答案】C
【分析】對(duì)集合分空集和非空集類討論，計(jì)算即可.
【詳解】，故中至多一個(gè)元素，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
故選：C．
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】
利用誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】解：，
.
故選：B.
3. 下列函數(shù)中，存在極值的函數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)極值的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】A：因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以函數(shù)沒(méi)有極值；
B：因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以函數(shù)沒(méi)有極值；
C：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(0,+∞)、上是減函數(shù)，所以函數(shù)沒(méi)有極值；
D：因?yàn)?，所以該函?shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因此是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意，
故選：D
4. 若f(x)=1?aex1+exsinx偶函數(shù)，則（ ）
A. 1B. 0C. D. 2
【正確答案】A
【分析】由已知為偶函數(shù)，可得，列方程求解即可.
【詳解】由f(x)=1?aex1+exsinx，
得f(?x)=1?ae?x1+e?xsin(?x)，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
即1?ae?x1+e?xsin(?x)=1?aex1+exsinx，
所以，解得
故選.
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)指示函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性讓其和0，1比較大小，即可得解.
【詳解】根據(jù)題意知單調(diào)遞增，所以，
單調(diào)遞增，所以，
單調(diào)遞減，所以，
即可解得.
故選：C
6. 在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．若，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】D
【分析】將已知等式利用余弦定理統(tǒng)一成邊的形式，化簡(jiǎn)變形可求得結(jié)果.
【詳解】，
，
，．
，即．
，，即．
故選：D
7. 若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】
由題意得，令，求的取值范圍可得答案.
【詳解】由，則，
令，
則，
當(dāng)?shù)?，單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)?，單調(diào)遞減，
所以，，
當(dāng)趨向于正無(wú)窮大時(shí)，也趨向于正無(wú)窮大，
所以函數(shù)存在零點(diǎn)，則.
故選：D
方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題．解題方法是把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖象觀察所需條件求得結(jié)論．考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．
8. 設(shè)為函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和誘導(dǎo)公式，可得再由二倍角公式和同角基本關(guān)系式求解.
【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，所?br>則，
因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：B．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，則使得“”成立的一個(gè)充分條件可以是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】AD
【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷AD；取特值可判斷B；可化為結(jié)合的單調(diào)性可判斷C.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，故故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，取，此時(shí)滿足，但，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，可得：，
則，因?yàn)?，?br>所以，因?yàn)楹瘮?shù)在不單調(diào)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由可知，，因?yàn)椋?br>所以，故D選項(xiàng)正確，
故選：AD．
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為
B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為
C. 存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增
D. 若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【正確答案】AD
【分析】由函數(shù)極值的求解以及極值點(diǎn)的辨析即可判斷AB，由在上恒成立即可判斷C，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求得其最小值，即可判斷D.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，其中，
當(dāng)時(shí)，則，令，可得，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，故A正確；
當(dāng)時(shí)，則，令，可得，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，則為極小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
則在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?br>所以函數(shù)無(wú)最小值，
故不存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
若恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，則，令，則，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，所以，故D正確；
故選：AD
11. 定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. 函數(shù)為奇函數(shù)
C. D. 4為函數(shù)的一個(gè)周期
【正確答案】ACD
【分析】對(duì)于A，令可求出，對(duì)于B，令，再結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷即可，對(duì)于C，分別令，分析求解，對(duì)于D，令，再結(jié)合周期的定義分析判斷
【詳解】對(duì)于A，令，可得，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，令，有，
從而有，可知為偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，令，有；
令，有，可得，
從而有，有，
當(dāng)時(shí)，，可得，與矛盾，
可知，可求得，，有，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，令，有，有，
從而有，可知4是函數(shù)的一個(gè)周期，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則的最小值為_(kāi)_________.
【正確答案】##4.5
【分析】先根據(jù)，將函數(shù)解析式構(gòu)造為；再利用基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，則.
因?yàn)?，則，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
的最小值為.
故答案為.
13. 在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里的一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．函數(shù)有______個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．
【正確答案】1
【分析】由題意可知即求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)可得的單調(diào)性和值域，即可求出的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】令，即，
由題意可知即求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
令，，因?yàn)?，解得：?br>令，，因?yàn)椋獾茫海?br>所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
故在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．
故1.
14. 若直線為曲線的一條切線，則的最大值為_(kāi)_________.
【正確答案】##
【分析】設(shè)，切點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再結(jié)合題意求出的關(guān)系，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.
【詳解】設(shè)，則，
設(shè)切點(diǎn)，則，
則切線方程為，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以的最大值為.
故
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)直線為曲線的一條切線，求出的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.
15. 已知為銳角，且滿足.
（1）求的值；
（2）求的值.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用平方關(guān)系求出，再根據(jù)結(jié)合兩角和的正弦公式即可得解；
（2）利用倍角公式先求出，再根據(jù)結(jié)合兩角差的余弦公式即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)闉殇J角，所以，
所以，所以，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知，
，
所以
.
16. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積為．
（1）求；
（2）若，且的周長(zhǎng)為5，設(shè)為邊BC中點(diǎn)，求AD.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；
（2）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理求出，再向量化即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
依題意，，
因?yàn)?，解得?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以．
17. 已知函數(shù)且.
（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；
（2）若在上的最大值大于，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由對(duì)數(shù)真數(shù)大于零可求得定義域，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可整理得到，結(jié)合可求得的值域；
（2）由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到，令，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可求得的值域，分別在和的情況下，由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定最大值，由最大值大于可構(gòu)造不等式求得的范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由得：，則的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，則的值域?yàn)?
【小問(wèn)2詳解】
；
令，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，，解得：（舍）；
當(dāng)時(shí)，，，解得：；
綜上所述：實(shí)數(shù)取值范圍為.
18. 已知是函數(shù)的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心的點(diǎn)的橫坐標(biāo).
（1）求圖象的對(duì)稱軸方程；
（2）若對(duì)任意，都有，求的取值范圍；
（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根，求的取值范圍.
【正確答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)，根據(jù)周期為求出，得到解析式，由解析式求對(duì)稱軸方程即可；
（2）不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求在給定區(qū)間上的最大值，利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可；
（3）化簡(jiǎn)方程，求出自變量變化時(shí)的范圍，在作出正弦函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
，
因?yàn)槭呛瘮?shù)相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心，所以，解得，
，
令，可得的對(duì)稱軸方程為.
【小問(wèn)2詳解】
若對(duì)任意，都有，只需
由可得，故，
所以，
因此，即，因此；
【小問(wèn)3詳解】
關(guān)于的方程，化簡(jiǎn)后得
，，，
作出圖象，如圖，
由圖可知，當(dāng)，即時(shí)，有兩根.
19. 已知函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，證明.
【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先求得，然后對(duì)進(jìn)行分類討論來(lái)求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）由極值點(diǎn)的知識(shí)求得的關(guān)系式，由此將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)證得不等式成立.
【小問(wèn)1詳解】
，
，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
【小問(wèn)2詳解】
分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，
，且對(duì)于有，
且對(duì)稱軸，所以，
，
所以，
綜上，要證，
只需證，
因?yàn)椋?br>即證：，
設(shè).
所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以.
所以成立.
求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間.如果導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，則需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論要做到不重不漏.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，首先考慮將要證明的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為可構(gòu)造函數(shù)并能利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明的結(jié)構(gòu)，從而來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.

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