例1．（2023?金牛區(qū)模擬）已知矩形ABCD，點E、F分別在AD、DC邊上運動，連接BF、CE，記BF、CE交于點P．
（1）如圖1，若，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180°，求線段DE的長度；
（2）如圖2，若∠EBF＝∠DEC，，求；
（3）如圖3，連接AP，若∠EBF＝∠DEC，AP＝AB＝2，BC＝3，求PB的長度．
例2．（2023?浠水縣二模）四邊形ABCD是正方形，E是直線BC上一點，連接AE，在AE右側，過點E作射線EP⊥AE，F(xiàn)為EP上一點．
（1）如圖1，若點E是BC邊的中點，且EF＝AE，連接CF，則∠DCF＝ °；
（2）如圖2，若點E是BC邊上一點（不與B，C重合）．∠DCF＝45°，判斷線段EF與AE的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）若正方形邊長為1，且EF＝AE，當AF+BF取最小值時，求△BCF的面積．
例3．（2023?新鄭市模擬）“矩形的折疊”活動課上引導學生對矩形紙片進行折疊．
如圖，將矩形紙片ABCD折疊，點A與點D重合，點C與點B重合，將紙片展開，折痕為EF，在AD邊上找一點P，沿CP將△PCD折疊，得到△PCQ，點D的對應點為點Q．
問題提出：
（1）若點Q落在EF上，CD＝2，連接BQ．
①△CQB是 三角形；
②若△CQB是等邊三角形，則AD的長為 ．
深入探究：
（2）在（1）的條件下，當AD＝2時，判斷△CQB的形狀并證明；
拓展延伸；
（3）若AB＝6，AD＝8，其他條件不變，當點Q落在矩形ABFE內部（包括邊）時，連接AQ，直接寫出AQ的取值范圍．
例4．（2023?萊西市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，AD＝10cm，點P、Q分別是線段CD和AD上的動點．點P以2cm/s的速度從點D向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從點A向點D運動，當其中一點到達終點時，兩點停止運動，將PQ沿AD翻折得到QP'，連接PP'交直線AD于點E，連接AC、BQ．設運動時間為t（s），回答下列問題：
（1）當t為何值時，PQ∥AC？
（2）求四邊形BCPQ的面積S（cm2）關于時間t（s）的函數(shù)關系式；
（3）是否存在某時刻t，使點Q在∠PP'D平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
1．（2023?南關區(qū)校級模擬）實踐與探究
操作一：如圖①，將矩形ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合，折痕為EF．展平后，將矩形ABCD沿過點B的直線折疊，折痕為BG，點G在AD邊上，使點A的對應點A′
落在EF上，連接A′C．若點G、A′、C共線，求證：△BA′C≌△GDC；
操作二：如圖②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，若矩形ABCD沿過點B的直線折疊，點G在AD邊上，折痕為BG，點A的對應點A′落在矩形ABCD的內部．
（1）連接A′D，A′D的最小值為 ；
（2）如圖③，將矩形ABCD再沿過點B的直線折疊，使點C在直線A′B邊上．折痕為BH，點C的對應點為點C′，將矩形沿過點H的直線繼續(xù)折疊，點R在AD上，折痕為HR，點D的對應點為點D′．我們發(fā)現(xiàn)，點R的位置不同，點D′的位置也不同，當點D′恰好與點C′重合時，線段RD的長為 ．
2．（2023?范縣一模）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師與同學們以“特殊的三角形”為主題開展數(shù)學活動．
（1）操作判斷 如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點E在AC上（且不與點A、C重合）在△ABC的外部作△CED，使∠CED＝90°，ED＝EC，連接AD，過點B作BF∥AD，過點D作DF∥AB，BF交DF于點F，連接AF．
根據(jù)以上操作，判斷：四邊形ABFD的形狀是 ；三角形△AEF的形狀是 ；
?
（2）遷移探究明明同學所在的“認真?堅持”學習小組“異想天開”，將△CED繞點C逆時針旋轉，如圖2，當點E落在線段BC上時，請你：
①求證：四邊形ABFD的是矩形；
②連接AE、AF，若AE＝3，求AF的長；
（3）拓展應用亮亮同學所在的“感恩?責任”學習小組受此啟發(fā)，將△CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉，能使四邊形ABFD為菱形，若AB＝6，CE＝2，請你直接寫出線段AF的長．
3．（2023?息縣模擬）某數(shù)學興趣小組在數(shù)學實踐課上開展了“菱形折疊”研究活動．
第一步：每人制作內角不同，邊長都為2的菱形若干個，四個頂點為A，B，C，D（為保持一致，活動中，小組內制作圖形各點名稱命名規(guī)則相同）；
第二步：對折找到一條對角線BD并展開；
第三步：將邊AB折疊到對角線BD所在直線上，頂點A的落點為F，所得折痕與邊AD交于點E；
第四步：測量∠A，∠FDE，∠FED的度數(shù)．
（1）小組長在研究大家測得的數(shù)據(jù)后仔細分析，發(fā)現(xiàn)可以通過∠A的度數(shù)，計算得到∠FED和∠FDE的度數(shù)．如圖，若一位同學制作的菱形中∠A＝30°，請你給出此時∠FDE和∠FED的度數(shù)：∠FDE＝ °，∠FED＝ °．
（2）若∠A＜60°，請?zhí)骄俊螦的度數(shù)為多少時，△DEF為等腰三角形，并說明理由；
（3）請直接寫出△DEF為直角三角形時DF的長．?
4．（2023?南湖區(qū)校級二模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝25． ，點O是AD邊的中點．連結BD．點P是折線AB﹣BD上一點，連結OP．點A關于OP的對稱點為A′．
（1）對 角線BD的長為 ；
（2）當點A′落在△ABD的邊上（點A′不與點A、D重合）時，求AP的長；
（3）連結A′C，求線段A′C的長的最小值；
（4）當OA′所在的直線垂直于AB時，直接寫出線段BP的長．
5．（2023?天山區(qū)一模）某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：
（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰Rt△APQ，且∠PAQ＝90°，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關系是 ；
（2）變式探究：如圖2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰Rt△CPQ，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）問題解決；如圖3，正方形ABCD的邊長為10，點P是邊AB上一點，以DP為對角線作正方形DEPQ，連接AQ．若設正方形DEPQ的面積為y，AQ＝x．求y與x的函數(shù)關系式．
6．（2023?泰山區(qū)一模）問題：如圖，在?ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分線AE，BF分別與直線CD交于點E，F(xiàn)．
（1）求EF的長．
探究：
（2）把“問題”中的條件“AB＝9”去掉，其余條件不變．當點E與點C重合時，求EF的長．
（3）把“問題”中的條件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余條件不變，當點C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等時，求的值．
7．（2023?靖江市模擬）如圖，在矩形ABCD中，．點E、F分別在AD、BC上，四邊形BEDF為菱形．
（1）利用尺規(guī)作圖在圖1中作出菱形BEDF（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）如圖2，動點M從點E出發(fā)沿射線ED方向運動，同時，動點N從點F出發(fā)沿射線DF方向運動，且M、N兩點運動速度相同，BM、EN相交于點P．
①求∠EPM的度數(shù)．
②連接CP，線段CP長度的最小值為 ．
8．（2023?城陽區(qū)一模）已知：如圖①，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC＝12cm，BD＝16cm．點P從點A出發(fā)，沿AB方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點E，Q，F(xiàn)；當直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PC、PE，設運動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，點A在線段PE的垂直平分線上？
（2）設四邊形PCFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關系式；
（3）如圖②，連接PO、EO，是否存在某一時刻t，使∠POE＝90°？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
9．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）問題情?境
如圖，在四邊形ABCD中，連接BD，∠ABD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，∠BDC＝45°，AB＝2，點E為AD的中點，連接CE．以點D為中心，順時針旋轉△DEC，得到△DGF，點E，C的對應點分別為點G，F(xiàn)．
問題探究
（1）如圖①，則CE的長為 ；
（2）如圖②，在△DFG旋轉過程中，當B，F(xiàn)，G三點共線時，求△ABF的面積；
（3）如圖③，在△DFG旋轉過程中，連接AF，AG，直接寫出△AFG面積的最大值．
10．（2023?張店區(qū)一模）如圖1，邊長為2的正方形ABCD中，點P為邊BC上一個動點，連接AP，作MN⊥AP于點E，交邊AB于M，交邊CD于N．
（1）求證：MN＝AP；
（2）如圖2，連接BD，線段MN交BD于點F，點E為AP的中點．
①當BP＝1時，求EF的長；
②線段EF是否存在最小值和最大值，若存在，請直接寫出線段EF的最小值和最大值，若不存在，請說明理由．
11．（2023?包河區(qū)校級一模）如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．DE∥AB交AC于點F，CE∥AM，連接AE．如圖1，當點D與M重合時，四邊形ABDE是平行四邊形．
（1）如圖2，當點D不與M重合時，判斷四邊形ABDE的形狀，并說明理由．
（2）如圖3，延長BD交AC于點H，若BH⊥AC，且BH＝AM．
①求∠CAM的度數(shù)；
②當，DM＝4時，求DH的長．
12．（2023?內黃縣二模）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師與同學們以“特殊的三角形”為主題開展數(shù)學活動．
（1）操作判斷如圖1，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P是直線AC上一動點．
操作一：連接BP，將線段BP繞點P逆時針旋轉 90° 得到PD，連接DC，如圖2．
根據(jù)以上操作，判斷：如圖3，當點P與點A重合時，則四邊形ABCD的形狀是 ；
（2）遷移探究
①如圖4，當點P與點C重合時，連接DB，判斷四邊形ABDC的形狀，并說明理由；
②當點P與點A，點C都不重合時，試猜想DC與BC的位置關系，并利用圖2證明你的猜想；
（3）拓展應用當點P與點A，點C都不重合時，若AB＝3，AP＝2，請直接寫出CD的長．
13．（2023?東莞市校級模擬）如圖（1），在Rt△ABC中，．點D是BC邊上任意一點（不與B，C重合），連接AD，過點D作DE⊥AB于點E，連接CE，點F為AD中點，連接CF，EF．
（1）當BD＝2CD時，判斷四邊形CDEF的形狀，并證明．
（2）點D在線段BC上的什么位置時，△DEF的面積最大？請說明理由．
（3）如圖（1）中的△BDE繞點B旋轉到如圖（2）所示位置，得到△BD′E′，使得點A在直線D′E′上，連接CE′，點F′為AD′中點，AD′與BC交于點G，其他條件不變．求證：AE′﹣D′E′＝2CF′．
14．（2023?利辛縣模擬）綜合與實踐
問題解決：
（1）已知四邊形ABCD是正方形，以B為頂點作等腰直角三角形BEF，BE＝BF，連接AE．如圖1，當點E在BC上時，請判斷AE和CF的關系，并說明理由．
問題探究：
（2）如圖2，點H是AE延長線與直線CF的交點，連接BH，將△BEF繞點B旋轉，當點F在直線BC右側時，求證：；
問題拓展：
（3）將△BEF繞點B旋轉一周，當∠CFB＝45°時，若AB＝3，BE＝1，請直接寫出線段CH的長．
15．（2023?臨安區(qū)一模）如圖，正方形ABCD，對角線AC與BD交于點O，E是線段OC上一點，以BE為邊在BD的右下方作等邊三角形BEF，連結DE，DF．
（1）求證：△ABE≌△ADE．
（2）∠BDF的度數(shù)改變嗎？若不變，請求出這個角的值．
（3）若，求FD的最小值．
16．（2023?南明區(qū)校級模擬）利用“平行+垂直”作延長線或借助“平行+角平分線”構造等腰三角形是我們解決幾何問題的常用方法．
（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，AB∥CD，CB平分∠ACD，求證：△ABC是等腰三角形．
（2）探究：如圖2，AD∥BC，BD平分∠ABC，BD⊥CD于D，若BC＝6，求AB．
（3）應用：如圖3，在?ABCD中，點E在AD上，且BE平分∠ABC，過點E作EF⊥BE交BC的延長線于點F，交 CD于點M，若AD＝7，CF＝3，tan∠EBF＝3，求BD的長．
?
17．（2023?虎林市校級一模）已知四邊形ABCD是菱形，點E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，DE＝DF，．
（1）如圖1，當∠ABC＝120°時，易證：（不需證明）；
（2）當∠ABC＝60°時，如圖2；當∠ABC＝30°，如圖3，線段AE，CF，EF之間有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想，并對圖3加以證明．
18．（2023?市南區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．點E從A出發(fā)，沿AB方向向B勻速運動，速度是1cm/s；同時，點F從B出發(fā)，沿BC方向向C勻速運動，速度是2cm/s．將△AEF沿AF折疊，E的對稱點為G．設運動時間為t（s）（0＜t＜4），請回答下列問題：
（1）t為何值時，BE＝BF；
（2）設四邊形ABFG的面積為S（cm2），求S關于t的函數(shù)關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使得點G落在線段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）是否存在某一時刻t，使得四邊形AEFG為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
19．（2023?嶗山區(qū)一模）已知：如圖1，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝DC＝8cm，BC＝6cm，連接BD，點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為2cm/s，連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．
（1）當t為何值時，點D在線段PQ的垂直平分線上？
（2）延長PQ交BC于點E（如圖2），若四邊形APEB是平行四邊形．求t的值；
（3）設△DPQ的面積為ycm2，求y與t的函數(shù)關系式，并求y的最大值；
（4）是否存在某一時刻t，使得PQ與BD的夾角為45°？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
20．（2023?市南區(qū)一模）在數(shù)學興趣社團課上，同學們對平行四邊形進行了深入探究．
探究一：如圖1，在矩形ABCD中，AC2＝AB2+BC2，BD2＝AC2＝CD2+AD2，則AC2+BD2＝AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出結論：矩形兩條對角線的平方和等于其四邊的平方和．
探究二：對于一般的平行四邊形，是否仍有上面的結論呢？
證明：如圖2，在?ABCD中，過A作AM⊥BC于M，過D作DN⊥BC，交BC延長線于N．設AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y(tǒng)，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCN，
又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，∴△ABM≌△DCN．
∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y(tǒng)．
請你接著完成上面的證明過程．
結論應用：若一平行四邊形的周長為20，兩條對角線長分別為8，2，求該平行四邊形的四條邊長．

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