1.分式方程的定義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;③驗根(求出未知數(shù)的值后必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根).：使最簡公分母為零的整式方程的根不是原方程的根（是增根），使最簡公分母不為零的整式方程的根是原方程的根。（簡稱：一化二解三檢驗）
【題型探究】
題型一：分式方程的定義
1．（2021·河南信陽·河南省淮濱縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）下列方程：①；②；③；④（為已知數(shù)），其中分式方程有（ ）
A．個B．個C．個D．個
2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是分式方程B．方程＝1無解
C．方程的根為x＝0D．解分式方程時，一定會出現(xiàn)增根
3．（2021·四川成都·四川省成都市七中育才學(xué)校?？家荒＃┫铝姓f法：①解分式方程一定會產(chǎn)生增根；②方程的根為2；③方程的最簡公分母為；④是分式方程．其中正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
題型二：解分式方程
4．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）方程的解為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山東濱州·統(tǒng)考二模）在如圖解分式方程：的4個步驟中，根據(jù)等式基本性質(zhì)的是（ ）
A．①③B．①②C．②③D．①④
6．（2022·江蘇連云港·?？既＃┙夥质椒匠蹋?br>題型三：分式方程解的問題
7．（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校?？寄M預(yù)測）關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，且關(guān)于的不等式組恰有4個整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)值之和為（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）已知的不等式組有且只有4個整數(shù)解，并且使得關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
9．（2022·重慶·重慶八中?？寄M預(yù)測）從，，，0，1，3這六個數(shù)中，隨機(jī)抽一個數(shù)，記為m，若數(shù)m使關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的m的值的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
題型四：分式方程無解問題
10．（2022·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）已知關(guān)于x的分式方程無解，則m的值是（ ）
A．1或B．1或3C．D．1
11．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為（ ）
A．3B．7C．D．3或7
12．（2022·四川瀘州·?？家荒＃┮阎P(guān)于x的方程無解，則實數(shù)m的取值是（ ）
A．B．C．D．
題型五：列分式方程
13．（2022·浙江麗水·模擬預(yù)測）為響應(yīng)承辦“綠色奧運”的號召，某校計劃組織七年級部分同學(xué)參加義務(wù)植樹棵．由于同學(xué)們參與的積極性很高，實際參加植樹活動的人數(shù)比原計劃增加了，結(jié)果每人比原計劃少栽了棵．若設(shè)原計劃有人參加這次植樹活動，則根據(jù)題意可列出方程為（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考一模）同學(xué)聚餐預(yù)定的酒席價格為2400元，但有兩位同學(xué)因時間沖突缺席，若總費用由實際參加的人平均分?jǐn)偅瑒t每人比原來多支付40元，設(shè)原來有x人參加聚餐，由題意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）為扎實推進(jìn)“五育”并舉工作，加強勞動教育，某校投入2萬元購進(jìn)了一批勞動工具．開展課后服務(wù)后，學(xué)生的勞動實踐需求明顯增強，需再次采購一批相同的勞動工具，已知采購數(shù)量與第一次相同，但采購單價比第一次降低10元，總費用降低了15%．設(shè)第二次采購單價為x元，則下列方程中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
題型六：分式方程的實際應(yīng)用問題
16．（2022·廣東廣州·校考二模）荔枝是嶺州四大佳果之一，北宋詩人蘇軾為之寫下“日啖荔枝三百顆，不辭長作嶺南人”的絕句．某水果超市用4000元購進(jìn)一批荔枝，面市后供不應(yīng)求．超市又用1萬元購進(jìn)第二批這種荔枝，所購數(shù)量是第一批的2倍，因每斤進(jìn)價貴了2元．
(1)第一批荔枝每斤進(jìn)價為多少元？
(2)超市銷售兩批荔枝售價相同，兩批全部售完后要求獲利不少于4000元，則每斤售價至少為多少元？
17．（2022·浙江溫州·溫州市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）某商店決定購進(jìn)，兩種“冰墩墩”紀(jì)念品進(jìn)行銷售．已知每件種紀(jì)念品比每件種紀(jì)念品的進(jìn)價高30元．用1000元購進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量相同．
(1)求，兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價分別是多少元？
(2)該商場通過市場調(diào)查，整理出型紀(jì)念品的售價與數(shù)量的關(guān)系如下表，
①當(dāng)為何值時，售出紀(jì)念品所獲利潤最大，最大利潤為多少？
②該商場購進(jìn)，型紀(jì)念品共200件，其中型紀(jì)念品的件數(shù)小于型紀(jì)念品的件數(shù)，但不小于50件．若型紀(jì)念品的售價為元/件時，商場將，型紀(jì)念品均全部售出后獲得的最大利潤為2800元，求的值．
18．（2022·山東泰安·?？级＃氨斩铡焙汀把┤萑凇弊鳛楸本┒瑠W會和殘奧會的吉祥物深受大家喜愛，某旗艦店銷售“冰墩墩”毛絨玩具總額為24000元，銷售“雪容融”毛絨玩具總額為8000元，其中“冰墩墩”的銷售單價比“雪容融”的銷售單價多40元，并且銷售“冰墩墩”的數(shù)量是“雪容融”數(shù)量的2倍．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價分別是多少元？
(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分別為100元/個和60元/個，進(jìn)入2022年1月后，這兩款毛絨玩具持續(xù)熱銷，于是該旗艦店再購進(jìn)了這兩款毛絨玩具共800個，其中“雪容融”的數(shù)量不超過“冰墩墩”數(shù)量的3倍，且這兩款毛絨玩具購進(jìn)總價不超過57600元．為回饋新老客戶，該旗艦店決定對“冰墩墩”降價10%后再銷售，若1月份購進(jìn)的這兩款毛絨玩具全部售出，則“冰墩墩”購進(jìn)多少個時該旗艦店當(dāng)月銷售利潤最大，并求出最大利潤．
【必刷基礎(chǔ)】
一、單選題
19．（2022·湖南株洲·校考二模）分式方程的解為，則a的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
20．（2023·重慶黔江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于x的方程的解為負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的不等式組無解．則所有滿足條件的整數(shù)a的值之積是（ ）
A．0B．1C．2D．3
21．（2022·甘肅平?jīng)觥ば？既＃┠瓯本┒瑠W會的比賽場館分為個賽區(qū)，分別是北京賽區(qū)、延慶賽區(qū)、張家口賽區(qū)，個賽區(qū)之間均有高速鐵路和高速公路相通，北京賽區(qū)清河高鐵站與張家口賽區(qū)太子城高鐵站之間的高速鐵路里程為，高速公路里程為，已知從清河高鐵站到太子城高鐵站乘“復(fù)興號”列車比乘汽車少用，“復(fù)興號”列車的平均速度是汽車平均速度的倍，求“復(fù)興號”列車和汽車的平均速度．設(shè)汽車的平均速度是，則可列方程為（ ）
A．B．C．D．
22．（2022·重慶·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的m的所有值的和是（ ）
A．6B．8C．11D．14
23．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）小明和小亮在解答“解分式方程：”的過程如框，對他們的解答過程（每一步只對上一步負(fù)責(zé)）有以下判斷，判斷錯誤的是（ ）
A．小明的步驟①錯誤，漏乘B．小明的步驟②、③、④都正確
C．小明的步驟⑤錯誤D．小亮的解答完全正確
24．（2022·廣東佛山·佛山市華英學(xué)校?？既＃?，兩地相距千米，一輛大汽車從地開出小時后，又從地開出另一輛小汽車，已知小汽車的速度是大汽車速度的倍，結(jié)果小汽車比大汽車早分鐘到達(dá)地，求兩種汽車每小時各走多少千米．設(shè)大汽車的速度為，則下面所列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，且使關(guān)于y的不等式組至少有3個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．0D．2
26．（2022·浙江衢州·模擬預(yù)測）某項工程，甲工程隊先做天后，由于另有任務(wù)不做，由乙工程隊接替，結(jié)果乙隊再做天就恰好完成任務(wù)．已知乙隊單獨完成任務(wù)的時間是甲隊的倍．請問：
(1)甲隊單獨做需要多少天才能完成任務(wù)？
(2)若甲工程隊先做天后，由乙工程隊接替，結(jié)果乙隊再做天就恰好完成任務(wù)．其中，都是正整數(shù)，且甲隊做的時間不到天，乙隊做的時間不到天，那么兩隊實際各做了多少天？
27．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）若關(guān)于的方程有增根，則的值為（ ）
A．－5B．0C．1D．2
28．（2022·吉林長春·?？寄M預(yù)測）2022年北京冬奧會是我國又一次舉辦的大型國際奧林匹克運動盛會．為了增加學(xué)生相關(guān)知識，某校開展“冬奧會知識競賽”活動并計劃購買大小兩種型號的吉祥物玩偶作為獎品．已知大型號的單價比小型號的單價多元，且學(xué)校用元購買小型號的數(shù)量是用元購買大型號數(shù)量的三倍．
(1)求兩種型號玩偶的單價；
(2)為了讓更多同學(xué)參與競賽活動，學(xué)校決定購進(jìn)這兩種型號吉祥物玩偶共個，但總費用不超過元求最多可購買大型號吉祥物玩偶的個數(shù)．
29．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）為了響應(yīng)學(xué)校提出的“節(jié)能減排，低碳生活”的倡議，班會課上小明建議每位同學(xué)都踐行“雙面打印，節(jié)約用紙”他舉了一個實際例子：打印一份資料，如果用厚型紙單面打印，總質(zhì)量為克，將其全部改成雙面打印，用紙將減少一半；如果用薄型紙雙面打印，總質(zhì)量為克．已知每頁薄型紙比厚型紙輕克，求例子中的厚型紙每頁的質(zhì)量．墨的質(zhì)量忽略不計提示：總質(zhì)量每頁紙的質(zhì)量紙張數(shù)．
【必刷培優(yōu)】
一、單選題
30．（2022·重慶·統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的不等式組有且只有兩個奇數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程有解，則所有滿足條件的整數(shù)m的和是（ ）
A．7B．10C．13D．21
31．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的分式方程：的解為正數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A．B．且
C．D．且
32．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？家荒＃┮阎P(guān)于x的分式方程的解為整數(shù)，且關(guān)于y的不等式，有解且至多有2個整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m的和為（ ）
A．B．C．D．
33．（2022·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程的解是整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．4B．2C．0D．
二、填空題
34．（2022·遼寧丹東·校考二模）若關(guān)于的方程有增根，則的值是______．
35．（2022·海南?？凇ず？谑械诰胖袑W(xué)?？寄M預(yù)測）如果分式的值為，則的值為___________．
36．（2022·山東濟(jì)寧·三模）分式方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍為___________
37．（2022·寧夏吳忠·?？既＃┮涣辛熊囎?004年全國鐵路第5次大提速后，速度提高了26千米/時，現(xiàn)在該列車從甲站到乙站所用的時間比原來減少了1小時，已知甲、乙兩站的路程是312千米，若設(shè)列車提速前的速度是x千米，則根據(jù)題意所列方程正確的是___________________．
38．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的方程的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是__________．
39．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）一個不透明的口袋中裝有5個紅球和個黃球，這些球除顏色外都相同，某同學(xué)進(jìn)行了如下試驗：從袋中隨機(jī)摸出1個球記下它的顏色后，放回?fù)u勻，為一次摸球試驗．根據(jù)記錄在下表中的摸球試驗數(shù)據(jù)，可以估計出的值為_________．
40．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）某加工廠接到一筆訂單，甲、乙車間同時加工，已知乙車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天．設(shè)甲車間每天加工件產(chǎn)品，根據(jù)題意可列方程為_________．
三、解答題
41．（2022·寧夏銀川·?？既＃┠沉闶凵痰甑谝淮斡?000元購進(jìn)一批雪絨絨掛件若干個，第二次用1800購進(jìn)冰墩墩掛件是購進(jìn)雪絨絨掛件數(shù)量的，而冰墩墩掛件的進(jìn)貨單價比雪絨絨掛件的進(jìn)貨單價多1元．
(1)求該商店購進(jìn)的雪絨絨和冰墩墩數(shù)量各多少個？
(2)該商店兩種掛件的零售價都是10元/個，雪絨絨掛件中有10個因為損壞不能售出，其余都已售出，則冰墩墩掛件要至少售出多少個，才能使這兩次的總利潤不低于2020元？
42．（2022·重慶·重慶八中?？寄M預(yù)測）小明的爸爸出差回家后，小明發(fā)現(xiàn)爸爸的通信大數(shù)據(jù)行程卡上顯示1天內(nèi)爸爸去過A、B、C三地．已知A到B的路程為160公里，比B到C的路程少200公里，小明爸爸駕車從A到B的平均車速和B到C的平均車速比為8：9，從A到B的時間比從B到C的時間少2小時．
(1)求A到B的平均車速；
(2)從B到C時，若小明的爸爸至少要提前40分鐘到達(dá)，則平均車速應(yīng)滿足什么條件？
43．（2022·寧夏吳忠·?？家荒＃┒宋绻?jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃粽子的習(xí)俗．某商場在端午節(jié)來臨之際，用3000元購進(jìn)兩種粽子1100個，購買A種粽子與購買B種粽子的費用相同，已知A種粽子單價是B種粽子單價的1.2倍．
(1)求兩種粽子單價各多少？
(2)商場準(zhǔn)備再次購進(jìn)兩種粽子共2600個，要求B種粽子數(shù)量不超過A種粽子數(shù)量的3倍，那么要購進(jìn)多少個A種粽子最省錢？（已知兩種粽子進(jìn)價不變）
44．（2022·寧夏銀川·?？级＃┠承榱斯膭顚W(xué)生增加書籍閱讀量，計劃從書店購進(jìn)A，B兩種圖書各若干本免費贈閱．每本A圖書的價格比每本B圖書的價格多10元，若在書店購買時每1本A圖書和1本B圖書可以組成一個套裝，每個套裝購買時可以享受八折優(yōu)惠．
(1)若學(xué)校購買每個套裝的費用不超過120元，那么B圖書的最高售價不能超過多少元？
(2)若用1040元購買的套裝中B圖書的數(shù)量與用600元單獨購買B圖書的數(shù)量相同，那么B圖書的售價是多少？
45．（2022·江蘇鹽城·校考三模）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩和雪容融在一開售時，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進(jìn)一批冰墩墩和雪容融，已知一個冰墩墩的進(jìn)價比一個雪容融的進(jìn)價多40元，用480元購買冰墩墩和用320元購買雪容融的數(shù)量相同．
(1)今年2月第一周每個冰墩墩和雪容融的進(jìn)價分別是多少元？
(2)今年2月第一周，供應(yīng)商將雪容融按每個100元的價格售出140個，將冰墩墩按每個150元的價格售出120個．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價格，每個雪容融的售價在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，每個冰墩墩的價格不變，由于冬奧賽事的火熱進(jìn)行，第二周雪容融的銷量比第一周增加了m個，而冰墩墩的銷量比第一周增加了個，最終商家獲利5160元，求m．
售價（元/件）
銷售量（件）
100
小明的解法：
解：去分母得：①
去括號得：②
移項得：③
合并同類項得：④
系數(shù)化為得：⑤
是原分式方程的解⑥
小亮的解法：
解：去分母得：①
去括號得：②
移項得：③
合并同類項得：④
系數(shù)化為得：⑤
摸球的總次數(shù)
100
500
1000
2000
…
摸出紅球的次數(shù)
19
101
199
400
…
摸出紅球的頻率
0.190
0.202
0.199
0.200
…
參考答案：
1．B
【分析】等號兩邊至少有一個分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；
【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程．
故選：B．
【點睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵．
2．B
【分析】根據(jù)分式方程的定義和分式方程的增根的意義即可判斷．
【詳解】解：A．原方程中分母不含未知數(shù)，不是分式方程，
所以A選項不符合題意；
B．解方程，得x＝﹣2，
經(jīng)檢驗x＝﹣2是原方程的增根，
所以原方程無解，
所以B選項符合題意；
C．解方程，得x＝0，
經(jīng)檢驗x＝0是原方程的增根，
所以原方程無解，
所以C選項不符合題意；
D．解分式方程時，不一定會出現(xiàn)增根，
只有使分式方程分母的值為0的根是增根，
所以D選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查了分式方程的增根、分式方程的定義，解決本題的關(guān)鍵是掌握分式方程的相關(guān)知識．
3．B
【分析】根據(jù)分式方程的定義、解分式方程、增根的概念及最簡公分母的定義解答．
【詳解】解：分式方程不一定會產(chǎn)生增根，故①錯誤；
方程的根為x=2，故②正確；
方程的最簡公分母為2x(x-2)，故③錯誤；
是分式方程，故④正確；
故選：B．
【點睛】此題考查分式方程的定義、解分式方程、增根的概念及最簡公分母的定義，熟記各定義及正確解方程是解題的關(guān)鍵．
4．D
【分析】直接利用解分式方程的一般步驟解分式方程即可求解．
【詳解】
解：去分母，得，
∴，
解得，
檢驗：當(dāng)時，，
∴是原分式方程的解，
故選：D
【點睛】本題考查了分式方程的解法，注意：解分式方程時，一定不能漏掉檢驗．
5．A
【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，等式的性質(zhì)即可求解．
【詳解】①兩邊同時乘以，，
②去括號，
③移項，兩邊同時加，，
④合并同類項得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
故①，③根據(jù)等式的基本性質(zhì)，
故選A
【點睛】本題考查了解分式方程，等式的性質(zhì)，掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．
6．
【分析】將分式方程去分母，化為整式方程求解，再檢驗即可．
【詳解】解：，
等號兩邊同時乘，得：，
去括號，得：，
移項、合并同類項，得：，
系數(shù)化為1，得：，
經(jīng)檢驗是原分式方程的解，
∴該方程的解為．
【點睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵，注意驗算．
7．D
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解為正整數(shù)確定出的值，表示出不等式組的解集，由不等式組恰好有7個整數(shù)解，得到的值相加即可．
【詳解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程解為正整數(shù)，且，得到
，
，
解得：，
不等式組整理得：，
解得：，
由不等式組有解且恰有4個整數(shù)解，得到整數(shù)解為4，3，2，1，
，
，
則滿足題意的值只能為，
故選：D．
【點睛】此題考查了分式方程的解，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．
8．B
【分析】利用不等式組的整數(shù)解和分式方程的整數(shù)解確定m的值即可．
【詳解】解：不等式組的解為：．
∵關(guān)于x的不等式組有且只有四個整數(shù)解，
∴，
∴，
∴整數(shù)m的值為：．
關(guān)于y的分式方程的解為：．
∵分式方程有可能產(chǎn)生增根3，
∴．
∴．
∵關(guān)于y的分式方程的解為整數(shù)，
∴或．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了分式方程的解，一元一次不等式組的整數(shù)解，考慮分式方程可能產(chǎn)生增根的情況是解題要注意之處．
9．B
【分析】根據(jù)不等式組的解集為，求得，根據(jù)分式方程有非負(fù)整數(shù)解，求得取值范圍，即可求解．
【詳解】解：解不等式組可得
∵不等式組的解集為，
∴，
由可得：，
解得
由題意可得，，且
可得：，且
此時的取值為，，
又∵為整數(shù)，
∴的取值為，，個數(shù)為2
故選：B
【點睛】此題考查了分式方程的解、解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
10．A
【分析】根據(jù)分式方程無解，需要對化簡之后的整式進(jìn)行討論，可能是整式方程無解，也可能是整式方程的解是原分式方程的增根，即可求解．
【詳解】解：去分母得，，
去括號得，，
移項得，，
合并同類項得，，
∵分式方程無解，
∴1-3m=0或x=2，
∴，
將x=2代入，得，
解得m=1，
綜上，m的值是1或．
故選A．
【點睛】本題主要考查的是利用分式方程無解求參數(shù)的值，理解分式方程無解的解題方法是解題關(guān)鍵．
11．D
【分析】將分式方程化為整式方程，一次項系數(shù)為0時整式方程無解則分式方程無解，整式方程的解使分式方程的分母為0時分式方程也無解；
【詳解】解：去分母得：7-mx=-3（x-1）
去括號得：7-mx=-3x+3
移項合并得：（3-m）x=-4
當(dāng)m=3時，0x=4，整式方程無解，分式方程也無解，
當(dāng)x=1時，m=7，分式的分母為0，分式方程無解，
∴m=3或m=7時，分式方程無解，
故選：D．
【點睛】本題考查了根據(jù)分式方程無解確定字母參數(shù)，掌握分式方程無解的情況是解題關(guān)鍵．
12．D
【分析】分式方程無解的情況有兩種：一是去分母之后得到的整式方程無解；二是去分母后得到的整式方程有解，但這個解又使分式方程的最簡公分母為0，此時分式方程也無解．根據(jù)這兩種情況分析解答即可．
【詳解】解：原方程兩邊同乘以，得：，
整理得：，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，這個整式方程無解，即當(dāng)時，原分式方程無解，
當(dāng)時，2是原分式方程的增根，原方程無解，此時無解，
當(dāng)時，是原分式方程的增根，原方程無解，此時的解為：，
∴當(dāng)或時，原分式方程無解，
故選：D．
【點睛】本題考查分式方程無解的條件，解題的關(guān)鍵是正確理解分式方程無解的情況有兩種：一是去分母之后得到的整式方程無解；二是去分母后得到的整式方程有解，但這個解又使分式方程的最簡公分母為0，此時分式方程也無解．
13．C
【分析】關(guān)鍵描述語為：“結(jié)果每人比原計劃少栽了棵”，等量關(guān)系為：原計劃每人植樹的數(shù)量實際每人植樹的數(shù)量．
【詳解】解：若設(shè)原計劃有人參加這次植樹活動，那么原計劃每人植樹的數(shù)量為：，實際每人植樹的數(shù)量為：
方程應(yīng)該表示為：
故選：C．
【點睛】本題考查了列分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．本題用到的等量關(guān)系為：工作時間工作總量工作效率．
14．D
【分析】設(shè)原來有x人參加聚餐，則實際有（x﹣2）人參加聚餐，根據(jù)“總費用由實際參加的人平均分?jǐn)?，則每人比原來多支付40元”列出方程，此題得解．
【詳解】解：設(shè)原來有x人參加聚餐，則實際有（x﹣2）人參加聚餐，
根據(jù)題意，得．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
15．D
【分析】設(shè)第二次采購單價為x元，則第一次采購單價為(x+10)元，根據(jù)單價=總價÷數(shù)量，結(jié)合總費用降低了15%，采購數(shù)量與第一次相同，即可得出關(guān)于x的分式方程．
【詳解】解：設(shè)第二次采購單價為x元，則第一次采購單價為(x+10)元，
依題意得：，
故選：D．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
16．(1)第一批荔枝每斤進(jìn)價為8元
(2)每斤售價至少為12元
【分析】（1 ）設(shè)第一批荔枝每斤進(jìn)價為x元，則第二批荔枝每斤進(jìn)價為元，根據(jù)“所購數(shù)量是第一批的2倍”，列出分式方程，解方程即可求解．
（2 ）設(shè)售價為y元，再根據(jù)盈利＝銷售價﹣成本價，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【詳解】（1）設(shè)第一批荔枝每斤進(jìn)價為x元，則第二批荔枝每斤進(jìn)價為元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是方程的解，且符合題意，
答：第一批荔枝每斤進(jìn)價為8元．
（2）設(shè)每斤售價為y元，
依題意可得：，
解得：，
答：每斤售價至少為12元．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（ 1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（ 2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
17．(1)，兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價分別是元和元
(2)①當(dāng)時，售出紀(jì)念品所獲利潤最大，最大利潤為元；②
【分析】（1）設(shè)紀(jì)念品每件的進(jìn)價是元，則紀(jì)念品每件的進(jìn)價是元，根據(jù)用1000元購進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購進(jìn)種紀(jì)念品的數(shù)量相同，列出分式方程，進(jìn)行求解即可；
（2）①設(shè)利潤為，根據(jù)圖表，利用總利潤等于單件利潤乘以銷售數(shù)量，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，求出最值即可；②設(shè)該商場購進(jìn)型紀(jì)念品件，則購進(jìn)型紀(jì)念品件，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍，進(jìn)而得到型紀(jì)念品的最大利潤，設(shè)總利潤為，求出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，求出當(dāng)時，的值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)紀(jì)念品每件的進(jìn)價是元，則紀(jì)念品每件的進(jìn)價是元，由題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的解；
當(dāng)時：；
∴，兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價分別是元和元；
（2）解：①設(shè)利潤為，由表格，得：
當(dāng)時，，
∵，
∴隨著的增大而增大，
∴當(dāng)售價為：元時，利潤最大為：元；
當(dāng)，，
∵，
∴當(dāng)時，利潤最大為：元；
綜上：當(dāng)時，售出紀(jì)念品所獲利潤最大，最大利潤為元．
②設(shè)該商場購進(jìn)型紀(jì)念品件，則購進(jìn)型紀(jì)念品件，由題意，得：，
解得：，
由①可知：當(dāng)型紀(jì)念品的售價為元時，售出型紀(jì)念品的利潤最大；
設(shè)，型紀(jì)念品均全部售出后獲得的總利潤為：，
則：，
整理，得：，
∵，
∴，
∴隨的增大而減小，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為：，
∴．
【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)題意，正確的列出分式方程和函數(shù)表示式，利用函數(shù)的性質(zhì)，求最值，是解題的關(guān)鍵．
18．(1)冰墩墩”的銷售單價是120元，“雪容融”的銷售單價是80元
(2)冰墩墩”購進(jìn)200個時，該旗艦店當(dāng)月銷售利潤最大，最大利潤為13600元
【分析】（1）設(shè)“冰墩墩”的銷售單價是x元，可得，解方程并檢驗可得“冰墩墩”的銷售單價是120元，“雪容融”的銷售單價是80元；
（2）設(shè)“冰墩墩”購進(jìn)m個，一月份銷售利潤為w元，則，解得：，而，由一次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）解：設(shè)“冰墩墩”的銷售單價是x元，則“雪容融”的銷售單價是元，
根據(jù)題意得，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，也符合題意，
∴（元），
答：“冰墩墩”的銷售單價是120元，“雪容融”的銷售單價是80元；
（2）解：設(shè)1月份銷售利潤為w元，“冰墩墩”購進(jìn)m個，則“雪容融”玩具為個，
則，
解得：，
由題意得：，
∵，
∴隨m的增大而減小，
∴當(dāng)時，w最大值，
答：冰墩墩”購進(jìn)200個時，該旗艦店當(dāng)月銷售利潤最大，最大利潤為13600元．
【點睛】本題考查分式方程、一次函數(shù)及一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出方程、不等式及函數(shù)關(guān)系式．
19．A
【分析】把代入原方程，關(guān)于然后解a的方程即可．
【詳解】解：把代入原方程得：，解得．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了分式方程的解，掌握分式方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．
20．C
【分析】分別解分式方程和不等式組，從而得出a的范圍，從而得整數(shù)a的取值，進(jìn)而得所有滿足條件的整數(shù)a的值之積．
【詳解】解：將分式方程去分母得：
解得：
∵解為負(fù)數(shù)
∴
∴
∵當(dāng)時；時，，此時分式的分母為0，
∴，且；
將不等式組整理得：
∵不等式組無解
∴
∴a的取值范圍為：，且
∴滿足條件的整數(shù)a的值為：1，2
∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之積是2．
故選：C．
【點睛】本題考查了含參數(shù)分式方程和含參數(shù)一元一次不等式組的解的問題，注意分式方程取增根的情況及明確不等式組解集的取法，是解題的關(guān)鍵．
21．C
【分析】由“復(fù)興號”列車和汽車的平均速度之間的關(guān)系，可得出“復(fù)興號”列車的平均速度為，利用時間=路程÷速度，結(jié)合從清河高鐵站到太子城高鐵站乘“復(fù)興號”列車比乘汽車少用2h，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．
【詳解】“復(fù)興號”列車的平均速度是汽車平均速度的倍，汽車的平均速度為，
“復(fù)興號”列車的平均速度為．
依題意得：．
故選：．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
22．A
【分析】先解一元一次不等式組并根據(jù)不等式組的解集為，得到，再解關(guān)于x的分式方程得，根據(jù)分式方程有非負(fù)整數(shù)解，得到且，得到當(dāng)或1時，是非負(fù)整數(shù)，即可得到答案．
【詳解】解：解不等式組，
得到，
∵該不等式組的解集為，
∴，
解關(guān)于x的分式方程，
得．
∵該分式方程有非負(fù)整數(shù)解，
∴，且，
∴且．
∵當(dāng)或1時，是非負(fù)整數(shù)，
∴符合條件的m的所有值的和是6．
故選：A．
【點睛】此題考查了解分式方程和一元一次不等式組，熟練掌握運算法則求得m的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
23．D
【分析】觀察解方程的步驟，找出出錯的即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
小亮的解答沒有檢驗過程，出錯；
小明的步驟錯誤，漏乘，
小明的步驟、、都正確，
小明的步驟錯誤．
故選：．
【點睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．
24．C
【分析】設(shè)大汽車的速度為，則小汽車的速度為，根據(jù)題意可得，同樣走千米，小汽車比大汽車少用小時，據(jù)此列方程．
【詳解】解：設(shè)大汽車的速度為，則小汽車的速度為，
由題意得，．
故選C．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．
25．D
【分析】解不等式組，根據(jù)題意確定a的范圍；解出分式方程，根據(jù)題意確定a的范圍，根據(jù)題意計算即可．
【詳解】解：，
解不等式①得：y＞﹣8，
解不等式②得：y≤a，
∴原不等式組的解集為：﹣8＜y≤a，
∵不等式組至少有3個整數(shù)解，
∴a≥﹣5，
，
去分母得∶1﹣x﹣a＝x﹣3，
解得：x，
∵分式方程有非負(fù)整數(shù)解，
∴x≥0（x為整數(shù)）且x≠3，
∴為非負(fù)整數(shù)，且3，
∴a≤4且a≠﹣2，
∴符合條件的所有整數(shù)a的值為：﹣4，0，2，4，
∴符合條件的所有整數(shù)a的和是：2，
故選：D．
【點睛】本題考查的是分式方程的解法、一元一次不等式組的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式組的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
26．(1)甲隊單獨做需要40天才能完成任務(wù)；
(2)甲隊實際做了天，乙隊做了天．
【分析】（1）甲隊單獨做需要天才能完成任務(wù)，則乙隊單獨做需要天才能完成任務(wù)，總?cè)蝿?wù)量為1，根據(jù)題意列分式方程，求解即可得到答案；
（2）根據(jù)題意列分式方程，整理得到，再根據(jù)、的取值范圍得不等式，求整數(shù)解即可得到答案．
【詳解】（1）解：甲隊單獨做需要天才能完成任務(wù)，則乙隊單獨做需要天才能完成任務(wù)，由題意得：，
解得：，，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
答：甲隊單獨做需要40天才能完成任務(wù)；
（2）解：由題意得：，
整理得：，
，
，
，
且為整數(shù)，
或，
當(dāng)時，，不是整數(shù)，不符合題意，舍去，
當(dāng)時，，
答：甲隊實際做了天，乙隊做了天．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，不定方程求特殊解。讀懂題意，找出等量關(guān)系，列方程求解是解題關(guān)鍵．
27．A
【分析】根據(jù)題意可得x=2，然后把x的值代入整式方程中進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：，
去分母得，m+1+2x=0，
解得：，
∵方程有增根，
∴x=2，
把x=2代入，得，
,
解得．
故選A.
【點睛】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出x的值后代入整式方程中進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．
28．(1)小型號玩偶的單價為元，大型號玩偶的單價為元
(2)
【分析】（1）設(shè)小型號玩偶的單價為元，則大型號玩偶的單價為元，根據(jù)題意，列出分式方程，解方程即可求解；
（2）設(shè)最多購買大型號吉祥物玩偶個，根據(jù)題意列出一元一次不等式即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)小型號玩偶的單價為元，則大型號玩偶的單價為元，
根據(jù)題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的根，
∴小型號玩偶的單價為元，大型號玩偶的單價為元；
（2）設(shè)最多購買大型號吉祥物玩偶個，
根據(jù)題意，得，
解得，
∴最多可購買大型號吉祥物玩偶個．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，還要注意分式方程檢驗與取整問題．
29．例子中的厚型紙每頁的質(zhì)量為4克
【分析】設(shè)例子中的厚型紙每頁的質(zhì)量為x克，由題意得，，進(jìn)行計算即可得．
【詳解】解：設(shè)例子中的厚型紙每頁的質(zhì)量為x克，
由題意得，
方程兩邊同時乘，得
整理，得，
解得，，
檢驗：當(dāng)時，，
所以是原方程的解，
即例子中的厚型紙每頁的質(zhì)量為4克．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系列出方程．
30．C
【分析】先求解不等式組，根據(jù)不等式組有且只有兩個奇數(shù)解，求出m的一個取值范圍；再根據(jù)分式方程有解的條件，即分母不為零，求出m的第二個取值范圍，最后根據(jù)兩個取值范圍確定出正確的m值并求和．
【詳解】解不等式組：
由①得：
由②得：，，
∴不等式組的解集為
∵不等式組有且只有兩個奇數(shù)解
∴
解得：
∵分式方程有解，則分母不為零
∴
解分式方程：
，m≠5
解得：
∴滿足條件的m值為6，7
∴所有滿足條件的整數(shù)m的和是
故選C．
【點睛】本題考查求含參一元一次不等式組的解及根據(jù)條件求參數(shù)取值范圍，根據(jù)分式方程有解求含參分式方程參數(shù)取值范圍，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件求出正確的m的范圍．
31．B
【分析】先解方程，含有k的代數(shù)式表示x，在根據(jù)x的取值范圍確定k的取值范圍．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：，
∵解為正數(shù)，
∴，
∴，
∵分母不能為0，
∴，
∴，解得，
綜上所述：且，
故選：B．
【點睛】本題考查解分式方程，求不等式的解集，能夠熟練地解分式方程式解決本題的關(guān)鍵．
32．B
【分析】先解分式方程，再根據(jù)分式方程的解為整數(shù)求出m的范圍，然后解不等式組，最后根據(jù)不等式組至多有2個整數(shù)解確定m的值即可解答．
【詳解】解：∵，
，
∴，
∴，
∵分式方程的解為整數(shù)
∴為整數(shù)，且 ，
∴，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵有解且至多有2個整數(shù)解，
∴，
∴-9≤m

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