（廣東專用）中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分項(xiàng)匯編專題05 三角形（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，是求作線段AB中點(diǎn)的作圖痕跡，則下列結(jié)論不一定成立的是（）
A．∠B＝45°B．AE＝EBC．AC＝BCD．AB⊥CD
【答案】A
【分析】根據(jù)中點(diǎn)的作圖，可知CD垂直平分AB，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行作答即可．
【詳解】由題意得，CD垂直平分AB，
，
則B、C、D選項(xiàng)均成立，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)作圖及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰中，，垂直平分，則的度數(shù)等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出，利用線段垂直平分線的性質(zhì)求出，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵．
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟記垂直平分線的定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，AB∥CE，∠A＝40°，CE=DE，則∠C的度數(shù)是（）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠A=∠AEC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠C=∠D，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠AEC=2∠C，然后求解即可．
【詳解】解：∵AB∥CE，
∴∠AEC=∠A=40°，
∵CE=DE，
∴∠C=∠D，
∴∠AEC=∠C+∠D=2∠C，
∴∠C=∠AEC=×40°=20°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，若，，則的長度為（）
A．6B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】先根據(jù)作圖痕跡得到平分，再根據(jù)等腰三角形的三線合一證得，，再根據(jù)勾股定理求得即可．
【詳解】解：由作圖痕跡得到平分，
∵，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了基本尺規(guī)作圖-作角平分線、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟悉基本作圖，掌握等腰三角形的三線合一性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
二、填空題
5．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則∠DCE的度數(shù)為________________．
【答案】65°
【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，可求得，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知平分，即可求解．
【詳解】∵∠A＝50°，∠B＝80°，且是的外角，
∴ ，
觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，得：平分，
∴ ,
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，和三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖的作法，和三角形的外角性質(zhì)（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和）．
6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）若直角三角形斜邊上的高是3，斜邊上的中線是6，則這個(gè)直角三角形的面積是 _____．
【答案】18
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得斜邊長為12，再利用三角形的面積公式求解即可．
【詳解】解：∵直角三角形斜邊上的中線是6，
∴斜邊長為12，
∵斜邊上的高是3，
∴這個(gè)直角三角形的面積是，
故答案為：18．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)，熟知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解答的關(guān)鍵．
7．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，直角中，，根據(jù)作圖痕跡，若，，則________cm．
【答案】
【分析】先解直角三角形ABC求出BC的長，從而求出AB的長，再由作圖方法可知DE是線段AB的垂直平分線，即可得到BE的長，再解直角△BED即可得到答案．
【詳解】解：∵∠C=90°，AC=3cm，，
∴，
∴BC=4cm，
∴，
由作圖方法可知DE是線段AB的垂直平分線，
∴DE⊥AB，
，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，正確理解DE是線段AB的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，為等腰三角形，，是的平分線，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，若，則的長為______．
【答案】6
【分析】先證明，再利用三角形中位線定理即可得答案．
【詳解】解：∵，是的平分線，
∴，
又∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴，，
∴．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練的運(yùn)用三角形中位線定理是解本題的關(guān)鍵．
9．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，中，，點(diǎn)在上，且，為上任意一點(diǎn)，若將繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值為______．
【答案】
【分析】在上截取，連接，證明，推出，當(dāng)時(shí)，的值最小，即線段有最小值，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖，在上截取，連接，
∵將繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵D點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)時(shí)，的值最小，即線段有最小值，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
∴線段有最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E，…，按此方法繼續(xù)下去，第2021個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是______．
【答案】（） 2020×80°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1C的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第2021個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)．
【詳解】解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，
∴∠BA1C==80°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×80°；
同理可得∠EA3A2=（）2×80°，∠FA4A3=（）3×80°，
∴第n個(gè)三角形中以An-1為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（） n-1×80°．
∴第2021個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是（）2020×80°，
故答案為（） 2020×80°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
11．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖所示，等邊的邊長為4，點(diǎn)F在內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程始終保持，則線段的最小值為______；
【答案】##
【分析】根據(jù)運(yùn)動(dòng)過程始終保持，可知點(diǎn)F在以為直徑的圓上，該圓記作圓O，連接，交圓O于點(diǎn)F，此時(shí)滿足最短．據(jù)此利用勾股定理即可作答．
【詳解】∵運(yùn)動(dòng)過程始終保持，
∴點(diǎn)F在以為直徑的圓上，該圓記作圓O，
連接，交圓O于點(diǎn)F，此時(shí)滿足最短．
如圖，
∵等邊的邊長為4，
∴，，
∵點(diǎn)O為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴最短為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，判斷出點(diǎn)F在以為直徑的圓上，是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2023·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)G是內(nèi)的一點(diǎn)，且，是等邊三角形，若，則的最大值為______．
【答案】
【分析】如圖，作的外接圓，連接，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)．說明，，，四點(diǎn)共圓，求出，利用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，作的外接圓，連接，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴點(diǎn)在的外接圓上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓的有關(guān)知識(shí)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題，屬于中考常考題型．
三、解答題
13．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點(diǎn)O．求證：．
【答案】見解析
【分析】由即可證明．
【詳解】證明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，，
求證：
(1) ；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）證明，，即可證得，由此得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)直接得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：
在和中，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，是直角三角形，是直角，，．
(1)過點(diǎn)作垂直于，垂足為；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
(2)求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用尺規(guī)過點(diǎn)作于即可．
（2）利用勾股定理求出，再利用面積法求出，利用勾股定理求出，即可解決問題．
【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求．
（2），，，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖基本作圖，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
16．（2023·廣東汕頭·一模）如圖，直角梯形中，，，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】（1）首先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)得，然后利用AAS即可證明結(jié)論；
（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理可得，進(jìn)而可得，然后再利用勾股定理計(jì)算出長即可．
【詳解】（1）證明：如圖，∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴（AAS）；
（2）∵，
∴，
在直角中：，
∴ ，
在直角中：．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，難度不大，熟練掌握上述知識(shí)是解題關(guān)鍵．
17．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD,等邊△ABE.已知∠BAC=30°,EE⊥AB,垂足為F,連接DF；
求證:(1)AC=EF；
(2)四邊形ADFE是平行四邊形；
(3)AC⊥DF；
【答案】見解析
【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因?yàn)椤鰽BE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC=EF；
（2）根據(jù)（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形；
（3）先求∠EAC=90°，由?ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD=90°，則AC⊥DF．
【詳解】證明：(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF，AB=AE，
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵ ，
∴△AFE≌△BCA(HL)，
∴AC=EF；
(2)∵△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形；
(3)∵∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90°
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴AE∥FD，
∴∠EAC=∠AGD=90°，
∴AC⊥DF.
【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義，靈活運(yùn)用各定理.
18．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知，如圖，在中，，，，過作，點(diǎn)在射線上、連接，交邊于點(diǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的長；
(2)當(dāng)時(shí)，求的長；
(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可進(jìn)行解答；
（2）根據(jù)題意可得，，通過證明得出，即可求解；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，通過證明，即可求解；②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，通過證明即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴在中，根據(jù)勾股定理可得：，
即，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
∴．
由于，所以不存在的情形；
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，正確畫出圖形，證明三角形相似．

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