1．幾種氣體的液化溫度（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）如下表：
其中液化溫度最低的氣體是（ ）
A．氦氣B．氮?dú)釩．氫氣D．氧氣
2．如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∠DAB＝50°，則∠EAC的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
3．如圖所示的幾何體，其俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
4．下列計(jì)算正確的是（ ）
A．3a2+4a2＝7a4B．?＝1
C．﹣18+12÷（﹣）＝4D．﹣a﹣1＝
5．已知關(guān)于x的不等式組無(wú)實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≥﹣B．a(chǎn)≥﹣2C．a(chǎn)＞﹣D．a(chǎn)＞﹣2
6．某學(xué)校初一年級(jí)學(xué)生來(lái)自農(nóng)村，牧區(qū)，城鎮(zhèn)三類地區(qū)，下面是根據(jù)其人數(shù)比例繪制的扇形統(tǒng)計(jì)圖，由圖中的信息，得出以下3個(gè)判斷，錯(cuò)誤的有（ ）
①該校初一學(xué)生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3：2：7．
②若已知該校來(lái)自牧區(qū)的初一學(xué)生為140人，則初一學(xué)生總?cè)藬?shù)為1080人．
③若從該校初一學(xué)生中抽取120人作為樣本，調(diào)查初一學(xué)生父母的文化程度，則從農(nóng)村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)學(xué)生中分別隨機(jī)抽取30、20、70人，樣本更具有代表性．
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，0），B（0，4）．以AB為一邊在第一象限作正方形ABCD，則對(duì)角線BD所在直線的解析式為（ ）
A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4
8．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)模擬家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長(zhǎng)近似代替其外接圓周長(zhǎng)，便可估計(jì)π的值，下面d及π的值都正確的是（ ）
A．d＝，π≈8sin22.5°
B．d＝，π≈4sin22.5°
C．d＝，π≈8sin22.5°
D．d＝，π≈4sin22.5°
9．以下四個(gè)命題：
①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分；
②A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，若A，B，C，D，E分別賽了5，4，3，2，1場(chǎng)，則由此可知，還沒(méi)有與B隊(duì)比賽的球隊(duì)可能是D隊(duì)；
③兩個(gè)正六邊形一定位似；
④有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．
其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
10．已知二次項(xiàng)系數(shù)等于1的一個(gè)二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點(diǎn)（m，0），（n，0），且過(guò)A（0，b），B（3，a）兩點(diǎn)（b，a是實(shí)數(shù)），若0＜m＜n＜2，則ab的取值范圍是（ ）
A．0＜ab＜B．0＜ab＜C．0＜ab＜D．0＜ab＜
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答過(guò)程）
11．因式分解：x3y﹣4xy＝ ．
12．正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣2），則k1+k2＝ ．
13．已知圓錐的母線長(zhǎng)為10，高為8，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長(zhǎng)為 ．（用含π的代數(shù)式表示），圓心角為 度．
14．動(dòng)物學(xué)家通過(guò)大量的調(diào)查，估計(jì)某種動(dòng)物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，據(jù)此若設(shè)剛出生的這種動(dòng)物共有a只，則20年后存活的有 只，現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率是 ．
15．已知菱形ABCD的面積為2，點(diǎn)E是一邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)．連接AE，若AE平分∠BAC，則線段PE與PC的和的最小值為 ，最大值為 ．
16．若把第n個(gè)位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個(gè)有序放置的數(shù)為一個(gè)數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個(gè)數(shù)列中第n個(gè)位置上的數(shù)，n＝1，2，…，k且yn＝并規(guī)定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數(shù)列A只有四個(gè)數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是 ．
三、解答題（本大題共8小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17．（10分）計(jì)算求解：
（1）計(jì)算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；
（2）解方程組．
18．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE∥DF且分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當(dāng)四邊形ABCD分別是矩形和菱形時(shí)，請(qǐng)分別說(shuō)出四邊形BEDF的形狀．（無(wú)需說(shuō)明理由）
19．（10分）某大學(xué)為了解大學(xué)生對(duì)中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)的學(xué)習(xí)情況，在大學(xué)一年級(jí)和二年級(jí)舉行有關(guān)黨史知識(shí)測(cè)試活動(dòng)．現(xiàn)從一、二兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)（滿分50分，30分及30分以上為合格；40分及40分以上為優(yōu)秀）進(jìn)行整理、描述和分析，給出了下面的部分信息．
大學(xué)一年級(jí)20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?br>39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．
大學(xué)二年級(jí)20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示；兩個(gè)年級(jí)抽取的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、優(yōu)秀率如下表所示：
請(qǐng)你根據(jù)上面提供的所有信息，解答下列問(wèn)題：
（1）上表中a＝ ，b＝ ，c＝ ，m＝ ，n ；
根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該大學(xué)一、二年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生掌握黨史知識(shí)較好？并說(shuō)明理由（寫出一條理由即可）；
（2）已知該大學(xué)一、二年級(jí)共1240名學(xué)生參加了此次測(cè)試活動(dòng)，通過(guò)計(jì)算，估計(jì)參加此次測(cè)試活動(dòng)成績(jī)合格的學(xué)生人數(shù)能否超過(guò)1000人；
（3）從樣本中測(cè)試成績(jī)?yōu)闈M分的一、二年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，用列舉法求兩人在同一年級(jí)的概率．
20．（8分）如圖，線段EF與MN表示某一段河的兩岸，EF∥MN．綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們需要在河岸MN上測(cè)量這段河的寬度（EF與MN之間的距離），已知河對(duì)岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同學(xué)們首先在河岸MN上選取點(diǎn)A處，用測(cè)角儀測(cè)得C建筑物位于A北偏東45°方向，再沿河岸走20米到達(dá)B處，測(cè)得D建筑物位于B北偏東55°方向，請(qǐng)你根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可）
21．（7分）下面圖片是七年級(jí)教科書中“實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程”的探究3．
探究3
電話計(jì)費(fèi)問(wèn)題
下表中有兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式．
考慮下列問(wèn)題：
（1）設(shè)一個(gè)月內(nèi)用移動(dòng)電話主叫為tmin（t是正整數(shù)）．根據(jù)上表，列表說(shuō)明：當(dāng)t在不同時(shí)間范圍內(nèi)取值時(shí)，按方式一和方式二如何計(jì)費(fèi)．
（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時(shí)間選擇省錢的計(jì)費(fèi)方式嗎？通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證你的看法．
小明升入初三再看這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)兩種計(jì)費(fèi)方式，每一種都是因主叫時(shí)間的變化而引起計(jì)費(fèi)的變化，他把主叫時(shí)間視為在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化，決定用函數(shù)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題．
（1）根據(jù)函數(shù)的概念，小明首先將問(wèn)題中的兩個(gè)變量分別設(shè)為自變量x和自變量的函數(shù)y，請(qǐng)你幫小明寫出：
x表示問(wèn)題中的 ，y表示問(wèn)題中的 ．
并寫出計(jì)費(fèi)方式一和二分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）在給出的正方形網(wǎng)格紙上畫出（1）中兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，并依據(jù)圖象直接寫出如何根據(jù)主叫時(shí)間選擇省錢的計(jì)費(fèi)方式．（注：坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度可根據(jù)需要自己確定）
22．（7分）為了促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉，某中學(xué)從去年開始，每周除體育課外，又開展了“足球俱樂(lè)部1小時(shí)”活動(dòng)．去年學(xué)校通過(guò)采購(gòu)平臺(tái)在某體育用品店購(gòu)買A品牌足球共花費(fèi)2880元，B品牌足球共花費(fèi)2400元，且購(gòu)買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個(gè)足球的售價(jià)，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂(lè)部人數(shù)增加，需要從該店再購(gòu)買A、B兩種足球共50個(gè)，已知該店對(duì)每個(gè)足球的售價(jià)，今年進(jìn)行了調(diào)整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購(gòu)買A、B兩種足球的總費(fèi)用不超過(guò)去年總費(fèi)用的一半，那么學(xué)校最多可購(gòu)買多少個(gè)B品牌足球？
23．（10分）已知AB是⊙O的任意一條直徑．
（1）用圖1，求證：⊙O是以直徑AB所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；
（2）已知⊙O的面積為4π，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CD，垂足為D，如圖2．
求證：①BC2＝2BD；
②改變圖2中切點(diǎn)C的位置，使得線段OD⊥BC時(shí)，OD＝2．
24．（12分）已知拋物線y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通過(guò)配方可以將其化成頂點(diǎn)式為 ，根據(jù)該拋物線在對(duì)稱軸兩側(cè)從左到右圖象的特征，可以判斷，當(dāng)頂點(diǎn)在x軸 （填上方或下方），即4ah﹣k2 0（填大于或小于）時(shí)，該拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若拋物線上存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x軸的兩側(cè)，則拋物線頂點(diǎn)必在x軸下方，請(qǐng)你結(jié)合A、B兩點(diǎn)在拋物線上的可能位置，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)這個(gè)結(jié)論的正確性給以說(shuō)明；（為了便于說(shuō)明，不妨設(shè)x1＜x2且都不等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；另如果需要借助圖象輔助說(shuō)明，可自己畫出簡(jiǎn)單示意圖）
（3）利用二次函數(shù)（1）（2）結(jié)論，求證：當(dāng)a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0時(shí)，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
2021年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)模擬試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．幾種氣體的液化溫度（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）如下表：
其中液化溫度最低的氣體是（ ）
A．氦氣B．氮?dú)釩．氫氣D．氧氣
【分析】根據(jù)有理數(shù)大小比較的方法進(jìn)行比較即可求解．
【解答】解：∵﹣268＜﹣253＜﹣195.8＜﹣183，
∴其中液化溫度最低的氣體是氦氣．
故選：A．
2．如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∠DAB＝50°，則∠EAC的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根據(jù)三角新內(nèi)角和可以先求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，可知∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，從而可以求得∠EAC的度數(shù)．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵∠DAB＝50°，∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠DAB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故選：D．
3．如圖所示的幾何體，其俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)視圖的意義，從上面看該幾何體，所得到的圖形進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：從上面看該幾何體，所看到的圖形如下：
故選：B．
4．下列計(jì)算正確的是（ ）
A．3a2+4a2＝7a4B．?＝1
C．﹣18+12÷（﹣）＝4D．﹣a﹣1＝
【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的式子可以計(jì)算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題．
【解答】解：3a2+4a2＝7a2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
當(dāng)a＞0時(shí)，＝a＝1，當(dāng)a＜0時(shí)，＝﹣a＝﹣1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
﹣18+12÷（﹣）＝﹣18﹣18＝﹣36，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
﹣a﹣1＝﹣（a+1）＝＝＝，故選項(xiàng)D正確；
故選：D．
5．已知關(guān)于x的不等式組無(wú)實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≥﹣B．a(chǎn)≥﹣2C．a(chǎn)＞﹣D．a(chǎn)＞﹣2
【分析】分別解兩個(gè)不等式，根據(jù)不等式組無(wú)實(shí)數(shù)解，得到關(guān)于a的不等式，解之即可．
【解答】解：解不等式﹣2x﹣3≥1得：x≤﹣2，
解不等式﹣1≥得：x≥2a+2，
∵關(guān)于x的不等式組無(wú)實(shí)數(shù)解，
∴不等式的解集為2a+2＞﹣2，
解得：a＞﹣2，
故選：D．
6．某學(xué)校初一年級(jí)學(xué)生來(lái)自農(nóng)村，牧區(qū)，城鎮(zhèn)三類地區(qū)，下面是根據(jù)其人數(shù)比例繪制的扇形統(tǒng)計(jì)圖，由圖中的信息，得出以下3個(gè)判斷，錯(cuò)誤的有（ ）
①該校初一學(xué)生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3：2：7．
②若已知該校來(lái)自牧區(qū)的初一學(xué)生為140人，則初一學(xué)生總?cè)藬?shù)為1080人．
③若從該校初一學(xué)生中抽取120人作為樣本，調(diào)查初一學(xué)生父母的文化程度，則從農(nóng)村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)學(xué)生中分別隨機(jī)抽取30、20、70人，樣本更具有代表性．
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖分別求出各組人數(shù)所占比例，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：該校來(lái)自城鎮(zhèn)的初一學(xué)生的扇形的圓心角為：360°﹣90°﹣60°＝210°，
∴該校初一學(xué)生在這三類不同地區(qū)的分布情況為90：60：210＝3：2：7，故①正確，不符合題意；
若已知該校來(lái)自牧區(qū)的初一學(xué)生為140人，則初一學(xué)生總?cè)藬?shù)為140÷＝840（人），故②錯(cuò)誤，符合題意；
120×＝30（人），
120×＝20（人），
120×＝70（人），
故③正確，不符合題意；
故選：C．
7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，0），B（0，4）．以AB為一邊在第一象限作正方形ABCD，則對(duì)角線BD所在直線的解析式為（ ）
A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4
【分析】過(guò)D點(diǎn)作DH⊥x軸于H，如圖，證明△ABO≌△DAH得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，則D（7，3），然后利用待定系數(shù)法求直線BD的解析式．
【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DH⊥x軸于H，如圖，
∵點(diǎn)A（3，0），B（0，4）．
∴OA＝3，OB＝4，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠ABO+∠DAH＝90°，
∴∠ABO＝∠DAH，
在△ABO和△DAH中，
，
∴△ABO≌△DAH（AAS），
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，
∴D（7，3），
設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，
把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，
∴直線BD的解析式為y＝﹣x+4．
故選：A．
8．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)模擬家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長(zhǎng)近似代替其外接圓周長(zhǎng)，便可估計(jì)π的值，下面d及π的值都正確的是（ ）
A．d＝，π≈8sin22.5°
B．d＝，π≈4sin22.5°
C．d＝，π≈8sin22.5°
D．d＝，π≈4sin22.5°
【分析】根據(jù)外接圓的性質(zhì)可知，圓心各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，過(guò)圓心向邊作垂線，解直角三角形，再根據(jù)圓周長(zhǎng)公式可求得．
【解答】解：如圖，連接AD，BC交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥BC于點(diǎn)P，
則CP＝PD，且∠COP＝22.5°，
設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為a，則a+2×a＝4，
解得a＝4（﹣1），
在Rt△OCP中，OC＝＝，
∴d＝2OC＝，
由πd≈8CD，
則π≈32（﹣1），
∴π≈8sin22.5°．
故選：C．
9．以下四個(gè)命題：
①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分；
②A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，若A，B，C，D，E分別賽了5，4，3，2，1場(chǎng)，則由此可知，還沒(méi)有與B隊(duì)比賽的球隊(duì)可能是D隊(duì)；
③兩個(gè)正六邊形一定位似；
④有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．
其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】利用三角形的中位線的性質(zhì)、相似多邊形的定義及平均數(shù)的知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分，正確，是真命題，符合題意；
②由每個(gè)隊(duì)分別與其它隊(duì)比賽一場(chǎng)，最多賽5場(chǎng)，A隊(duì)已經(jīng)賽完5場(chǎng)，則每個(gè)隊(duì)均與A隊(duì)賽過(guò)，E隊(duì)僅賽一場(chǎng)（即與A隊(duì)賽過(guò)），所以E隊(duì)還沒(méi)有與B隊(duì)賽過(guò)，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意．
③兩個(gè)正六邊形一定相似但不一定位似，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
④有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少，正確，是真命題，符合題意，
正確的有2個(gè)，
故選：B．
10．已知二次項(xiàng)系數(shù)等于1的一個(gè)二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點(diǎn)（m，0），（n，0），且過(guò)A（0，b），B（3，a）兩點(diǎn)（b，a是實(shí)數(shù)），若0＜m＜n＜2，則ab的取值范圍是（ ）
A．0＜ab＜B．0＜ab＜C．0＜ab＜D．0＜ab＜
【分析】方法1、由二次項(xiàng)系數(shù)為1的拋物線判斷出拋物線的開口向上，開口大小一定，進(jìn)而判斷出ab＞0，再根據(jù)完全平方公式判斷出a＝b，且拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，是ab的最大值的分界點(diǎn)，進(jìn)而求出m＝n＝，進(jìn)而求出a＝b＝，即可得出結(jié)論．
方法2、先表示出b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），進(jìn)而得出ab＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]，再判斷出0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，即可得出結(jié)論．
【解答】解法1、∵函數(shù)是一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)，
∴此函數(shù)的開口向上，開口大小一定，
∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0（a＝b時(shí)取等號(hào)），
即a2+b2≥2ab（當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)），
∴當(dāng)a＝b時(shí)，ab才有可能最大，
∵二次函數(shù)過(guò)A（0，b），B（3，a）兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，即拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1.5，
∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，
∴拋物線的頂點(diǎn)越接近x軸，ab的值越大，
即當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，是ab最大值的分界點(diǎn)，
當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)m＝n＝，
∴拋物線的解析式為y＝（x﹣）2＝x2﹣3x+，
∴a＝b＝，
∴ab＜（）2＝，
∴0＜ab＜，
故選：C．
解法2、∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（0，b）和（3，a）兩點(diǎn)，
∴b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），
∴ab＝mn（3﹣m）（3﹣n）＝（3m﹣m2）（3n﹣n2）＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]
∵0＜m＜n＜3，
∴0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，
∵m＜n，
∴ab不能取，
∴0＜mn＜，
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答過(guò)程）
11．因式分解：x3y﹣4xy＝ xy（x+2）（x﹣2） ．
【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式對(duì)因式x2﹣4進(jìn)行分解．
【解答】解：x3y﹣4xy，
＝xy（x2﹣4），
＝xy（x+2）（x﹣2）．
12．正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣2），則k1+k2＝ ﹣8 ．
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得k1、k2，即可求得k1+k2的值．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣2），
∴﹣2＝k1，﹣2＝，
∴k1＝﹣2，k2＝﹣6，
∴k1+k2＝﹣8，
故答案為﹣8．
13．已知圓錐的母線長(zhǎng)為10，高為8，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長(zhǎng)為 12π ．（用含π的代數(shù)式表示），圓心角為 216 度．
【分析】根據(jù)圓錐的展開圖為扇形，結(jié)合圓周長(zhǎng)公式的求解．
【解答】解：設(shè)底面圓的半徑為rcm，
由勾股定理得：r＝＝6，
∴2πr＝2π×6＝12π，
根據(jù)題意得2π×6＝，
解得n＝216，
即這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為216°．
故答案為：12π，216．
14．動(dòng)物學(xué)家通過(guò)大量的調(diào)查，估計(jì)某種動(dòng)物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，據(jù)此若設(shè)剛出生的這種動(dòng)物共有a只，則20年后存活的有 0.8a 只，現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率是 ．
【分析】用概率乘以動(dòng)物的總只數(shù)即可得出20年后存活的數(shù)量；先設(shè)出所有動(dòng)物的只數(shù)，根據(jù)動(dòng)物活到各年齡階段的概率求出相應(yīng)的只數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．
【解答】解：若設(shè)剛出生的這種動(dòng)物共有a只，則20年后存活的有0.8a只，
設(shè)共有這種動(dòng)物x只，則活到20歲的只數(shù)為0.8x，活到30歲的只數(shù)為0.5x，
故現(xiàn)年20歲到這種動(dòng)物活到25歲的概率為＝，
故答案為：0.8a，．
15．已知菱形ABCD的面積為2，點(diǎn)E是一邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)．連接AE，若AE平分∠BAC，則線段PE與PC的和的最小值為 ，最大值為 2+ ．
【分析】由點(diǎn)E是一邊BC上的中點(diǎn)及AE平分∠BAC，可得△ABC是等邊三角形，根據(jù)菱形ABCD的面積為2，可得菱形的邊長(zhǎng)為2；求PE+PC的最小值，點(diǎn)E和點(diǎn)C是定點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BD上動(dòng)點(diǎn)，由軸對(duì)稱最值問(wèn)題，可求出最小值；求和的最大值，觀察圖形可知，當(dāng)PE和PC的長(zhǎng)度最大時(shí)，和最大，即點(diǎn)P和點(diǎn)D重合時(shí)，PE+PC的值最大．
【解答】解：根據(jù)圖形可畫出圖形，如圖所示，
過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∴∠F＝∠CAE，∠EBF＝∠ACE，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴△ACE≌△FBE（AAS），
∴BF＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF＝AC，
在菱形ABCD中，AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等邊三角形；
∴∠ABC＝60°，
設(shè)AB＝a，則BD＝，
∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝2，即＝2，
∴a＝2，即AB＝BC＝CD＝2；
∵四邊形ABCD是菱形，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，
∴PE+PC＝AP+EP，
當(dāng)點(diǎn)A，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，AP+EP的和最小，此時(shí)AE＝；
點(diǎn)P和點(diǎn)D重合時(shí)，PE+PC的值最大，此時(shí)PC＝DC＝2，
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DE，
∵AB∥CD，∠ABC＝60°，
∴∠DCG＝60°，
∴CG＝1，DG＝，
∴EG＝2，
∴DE＝＝，
此時(shí)PE+PC＝2+；
即線段PE與PC的和的最小值為；最大值為2+．
故答案為：；2+．
16．若把第n個(gè)位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個(gè)有序放置的數(shù)為一個(gè)數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個(gè)數(shù)列中第n個(gè)位置上的數(shù)，n＝1，2，…，k且yn＝并規(guī)定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數(shù)列A只有四個(gè)數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是 0，1，0，1 ．
【分析】根據(jù)“伴生數(shù)列”的定義依次取n＝1，2，3，4，求出對(duì)應(yīng)的yn即可．
【解答】解：當(dāng)n＝1時(shí)，x0＝x4＝1＝x2，
∴y1＝0，
當(dāng)n＝2時(shí)，x1≠x3，
∴y2＝1，
當(dāng)n＝3時(shí)，x2＝x4，
∴y3＝0，
當(dāng)n＝4時(shí)，x3≠x5＝x1，
∴y4＝1，
∴“伴生數(shù)列”B是：0，1，0，1，
故答案為0，1，0，1．
三、解答題（本大題共8小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17．（10分）計(jì)算求解：
（1）計(jì)算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；
（2）解方程組．
【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式的除法法則和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算；
（2）先把原方程組化簡(jiǎn)，然后利用加減消元法解方程組．
【解答】解：（1）原式＝3﹣（﹣）+×
＝3﹣（4﹣2）+1
＝3﹣2+1
＝2；
（2）原方程整理為，
①×12﹣②得：13x＝3900，
解得x＝300，
把x＝300代入①得：y＝400，
∴方程組的解為．
18．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE∥DF且分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當(dāng)四邊形ABCD分別是矩形和菱形時(shí)，請(qǐng)分別說(shuō)出四邊形BEDF的形狀．（無(wú)需說(shuō)明理由）
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，再由BE∥DF，可得∠AEB＝∠CFD，進(jìn)而判斷△ABE≌△CDF；
（2）
【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
（2）連接ED，BF，BD，
由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
1°當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形BEDF是平行四邊形，
2°當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴四邊形BEDF是菱形．
19．（10分）某大學(xué)為了解大學(xué)生對(duì)中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)的學(xué)習(xí)情況，在大學(xué)一年級(jí)和二年級(jí)舉行有關(guān)黨史知識(shí)測(cè)試活動(dòng)．現(xiàn)從一、二兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)（滿分50分，30分及30分以上為合格；40分及40分以上為優(yōu)秀）進(jìn)行整理、描述和分析，給出了下面的部分信息．
大學(xué)一年級(jí)20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?br>39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．
大學(xué)二年級(jí)20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示；兩個(gè)年級(jí)抽取的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、優(yōu)秀率如下表所示：
請(qǐng)你根據(jù)上面提供的所有信息，解答下列問(wèn)題：
（1）上表中a＝ 41.1 ，b＝ 43 ，c＝ 42.5 ，m＝ 55% ，n ＝65% ；
根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該大學(xué)一、二年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生掌握黨史知識(shí)較好？并說(shuō)明理由（寫出一條理由即可）；
（2）已知該大學(xué)一、二年級(jí)共1240名學(xué)生參加了此次測(cè)試活動(dòng)，通過(guò)計(jì)算，估計(jì)參加此次測(cè)試活動(dòng)成績(jī)合格的學(xué)生人數(shù)能否超過(guò)1000人；
（3）從樣本中測(cè)試成績(jī)?yōu)闈M分的一、二年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，用列舉法求兩人在同一年級(jí)的概率．
【分析】（1）由平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可，再由兩個(gè)年級(jí)的優(yōu)秀率進(jìn)行說(shuō)明即可；
（2）先求出樣本合格率，再由參加此次測(cè)試活動(dòng)的總?cè)藬?shù)乘以合格率即可；
（3）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，兩人在同一年級(jí)的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）將一年級(jí)20名同學(xué)成績(jī)整理如下表：
'∴a＝（25×1+30×2+37×4+39×2+43×5+49×4+50×2）＝41.1，b＝43，
c＝＝42.5，m＝（5+4+2）÷20×100%＝55%，n＝（3+5+2+3）÷20×100%＝65%，
故答案為：41.1，43，42.5，55%，＝65%；
從表中優(yōu)秀率看，二年級(jí)樣本優(yōu)秀率達(dá)到65%高于一年級(jí)的55%，因此估計(jì)二年級(jí)學(xué)生的優(yōu)秀率高，
所以用優(yōu)秀率評(píng)價(jià)，估計(jì)二年級(jí)學(xué)生掌握黨史知識(shí)較好．
（2）∵樣本合格率為：＝92.5%，
∴估計(jì)總體的合格率大約為92.5%，
∴估計(jì)參加測(cè)試的兩個(gè)年級(jí)合格學(xué)生約為：1240×92.5＝1147（人），
∴估計(jì)參加此次測(cè)試活動(dòng)成績(jī)合格的學(xué)生人數(shù)能超過(guò)1000人；
（3）一年級(jí)滿分有2人，記為A，B，二年級(jí)滿分有3人，記為C，D，E，
畫樹狀圖如圖：
共有20種等可能的結(jié)果，兩人在同一年級(jí)的結(jié)果有8種，
∴兩人在同一年級(jí)的概率為＝．
20．（8分）如圖，線段EF與MN表示某一段河的兩岸，EF∥MN．綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們需要在河岸MN上測(cè)量這段河的寬度（EF與MN之間的距離），已知河對(duì)岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同學(xué)們首先在河岸MN上選取點(diǎn)A處，用測(cè)角儀測(cè)得C建筑物位于A北偏東45°方向，再沿河岸走20米到達(dá)B處，測(cè)得D建筑物位于B北偏東55°方向，請(qǐng)你根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可）
【分析】過(guò)C、D分別作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足為P、Q，設(shè)河寬為x米，根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)得出x，進(jìn)而解答即可．
【解答】解：如圖，
過(guò)C、D分別作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足為P、Q，設(shè)河寬為x米．
由題意知，△ACP為等腰直角三角形，
∴AP＝CP＝x（米），BP＝x﹣20（米），
在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，
∴，
∴tan55°?x＝x+40，
∴（tan55°﹣1）?x＝40，
∴，
所以河寬為米．
答：河寬為米．
21．（7分）下面圖片是七年級(jí)教科書中“實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程”的探究3．
探究3
電話計(jì)費(fèi)問(wèn)題
下表中有兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式．
考慮下列問(wèn)題：
（1）設(shè)一個(gè)月內(nèi)用移動(dòng)電話主叫為tmin（t是正整數(shù)）．根據(jù)上表，列表說(shuō)明：當(dāng)t在不同時(shí)間范圍內(nèi)取值時(shí)，按方式一和方式二如何計(jì)費(fèi)．
（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時(shí)間選擇省錢的計(jì)費(fèi)方式嗎？通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證你的看法．
小明升入初三再看這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)兩種計(jì)費(fèi)方式，每一種都是因主叫時(shí)間的變化而引起計(jì)費(fèi)的變化，他把主叫時(shí)間視為在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化，決定用函數(shù)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題．
（1）根據(jù)函數(shù)的概念，小明首先將問(wèn)題中的兩個(gè)變量分別設(shè)為自變量x和自變量的函數(shù)y，請(qǐng)你幫小明寫出：
x表示問(wèn)題中的 主叫時(shí)間 ，y表示問(wèn)題中的 計(jì)費(fèi) ．
并寫出計(jì)費(fèi)方式一和二分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）在給出的正方形網(wǎng)格紙上畫出（1）中兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，并依據(jù)圖象直接寫出如何根據(jù)主叫時(shí)間選擇省錢的計(jì)費(fèi)方式．（注：坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度可根據(jù)需要自己確定）
【分析】（1）由題意可知，x表示問(wèn)題中的主叫時(shí)間，y表示問(wèn)題中的計(jì)費(fèi)；再根據(jù)分段計(jì)費(fèi)的費(fèi)用就可以得出各個(gè)時(shí)段各種不同的付費(fèi)方法就可以得出結(jié)論；
（2）畫出圖象，再根據(jù)圖象解答即可．
【解答】解：（1）由題意，可得x表示問(wèn)題中的主叫時(shí)間，y表示問(wèn)題中的計(jì)費(fèi)；
方式一：y＝；
方式二：y＝；
故答案為：主叫時(shí)間，計(jì)費(fèi)；
（2）大致圖象如下：
由圖可知：當(dāng)主叫時(shí)間在270分鐘以內(nèi)選方式一，270分鐘時(shí)兩種方式相同，超過(guò)270分鐘選方式二．
22．（7分）為了促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉，某中學(xué)從去年開始，每周除體育課外，又開展了“足球俱樂(lè)部1小時(shí)”活動(dòng)．去年學(xué)校通過(guò)采購(gòu)平臺(tái)在某體育用品店購(gòu)買A品牌足球共花費(fèi)2880元，B品牌足球共花費(fèi)2400元，且購(gòu)買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個(gè)足球的售價(jià)，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂(lè)部人數(shù)增加，需要從該店再購(gòu)買A、B兩種足球共50個(gè)，已知該店對(duì)每個(gè)足球的售價(jià)，今年進(jìn)行了調(diào)整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購(gòu)買A、B兩種足球的總費(fèi)用不超過(guò)去年總費(fèi)用的一半，那么學(xué)校最多可購(gòu)買多少個(gè)B品牌足球？
【分析】設(shè)去年A足球售價(jià)為x元/個(gè)，則B足球售價(jià)為（x+12）元/個(gè)，根據(jù)“購(gòu)買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍”列出分式方程，通過(guò)解方程求得A足球售價(jià)為48元/個(gè)，B足球售價(jià)為60元/個(gè)；然后設(shè)今年購(gòu)進(jìn)B足球的個(gè)數(shù)為a個(gè)，再根據(jù)“今年購(gòu)買A、B兩種足球的總費(fèi)用不超過(guò)去年總費(fèi)用的一半”列出不等式并解答即可．
【解答】解：設(shè)去年A足球售價(jià)為x元/個(gè)，則B足球售價(jià)為（x+12）元/個(gè)．
由題意得：，即，
∴96（x+12）＝120x，
∴x＝48．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝48是原分式方程的解且符合題意．
∴A足球售價(jià)為48元/個(gè)，B足球售價(jià)為60元/個(gè)．
設(shè)今年購(gòu)進(jìn)B足球的個(gè)數(shù)為a個(gè)，則有：．
∴50.4×50﹣50.4a+54a≤26403．
∴6a≤120，
∴．
∴最多可購(gòu)進(jìn)33個(gè)B足球．
23．（10分）已知AB是⊙O的任意一條直徑．
（1）用圖1，求證：⊙O是以直徑AB所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；
（2）已知⊙O的面積為4π，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CD，垂足為D，如圖2．
求證：①BC2＝2BD；
②改變圖2中切點(diǎn)C的位置，使得線段OD⊥BC時(shí)，OD＝2．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PP′⊥AB，交⊙O于點(diǎn)P′，垂足為M，由垂徑定理得出△OPP'是等腰三角形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（2）①求出AB＝4，證明△ACB∽△CDB，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；
②證明四邊形BOCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，由正方形的性質(zhì)可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖，設(shè)P是⊙O上點(diǎn)A，B以外任意一點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)P作PP′⊥AB，交⊙O于點(diǎn)P′，垂足為M，
若M與圓心O不重合，
連接OP，OP′，
在△OPP'中，
∵OP＝OP′，
∴△OPP'是等腰三角形，
又PP′⊥AB，
∴PM＝MP′，
則AB是PP'的垂直平分線，
若M與圓心O重合，顯然AB是PP'的垂直平分線，
這就是說(shuō)，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P，在圓上都有關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，因此⊙O是以直徑AB所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；
（2）①證明：設(shè)⊙O半徑為r，
由πr2＝4π可得r＝2，
∴AB＝4，
連接AC，則∠BCA＝90°，
∵C是切點(diǎn)，連接OC，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBE＝∠OBC，
又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
∴BC2＝AB?BD＝4BD，
∴；
②證明：由①證明可知∠CBD＝∠OBC，與切點(diǎn)C的位置無(wú)關(guān)，
又OD⊥BC，
∴BD＝OB，
又∵△OCB是等腰三角形，
∴BC與OD互相垂直平分，
又∠BDC＝90°，
∴四邊形BOCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴．
24．（12分）已知拋物線y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通過(guò)配方可以將其化成頂點(diǎn)式為 ，根據(jù)該拋物線在對(duì)稱軸兩側(cè)從左到右圖象的特征，可以判斷，當(dāng)頂點(diǎn)在x軸 下方 （填上方或下方），即4ah﹣k2 ＜ 0（填大于或小于）時(shí)，該拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若拋物線上存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x軸的兩側(cè)，則拋物線頂點(diǎn)必在x軸下方，請(qǐng)你結(jié)合A、B兩點(diǎn)在拋物線上的可能位置，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)這個(gè)結(jié)論的正確性給以說(shuō)明；（為了便于說(shuō)明，不妨設(shè)x1＜x2且都不等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；另如果需要借助圖象輔助說(shuō)明，可自己畫出簡(jiǎn)單示意圖）
（3）利用二次函數(shù)（1）（2）結(jié)論，求證：當(dāng)a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0時(shí)，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
【分析】（1）先提公因式a，再利用配方法配成完全平方公式，即可得到答案；
（2）若設(shè)x1＜x2且不等于頂點(diǎn)橫坐標(biāo)則A，B兩點(diǎn)位置可能有以下三種情況：①當(dāng)A，B都在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，②當(dāng)A，B都在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，③當(dāng)A，B在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；
（3）令y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c），根據(jù)點(diǎn)的特殊性得，y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）上存在兩點(diǎn)（﹣1，2a+2c），（0，a+b+c）分別位于x軸兩側(cè)，然后根據(jù)（1）（2）可得答案．
【解答】解：（1）y＝ax2+kx+h＝a（x2+x）+h＝a[xx+（）2﹣（）2]+h＝a（x+）2﹣+h＝a（x+）2+，
∴頂點(diǎn)式為：，當(dāng)頂點(diǎn)在x軸下方時(shí)，即4ah﹣k2＜0（填大于或小于）時(shí)，該拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；
故答案為：，下方，＜；
（2）若設(shè)x1＜x2且不等于頂點(diǎn)橫坐標(biāo)則A，B兩點(diǎn)位置可能有以下三種情況：
①當(dāng)A，B都在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，由于在對(duì)稱軸左側(cè)，函數(shù)值隨x的增大而減小，所以點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方，頂點(diǎn)M在點(diǎn)B下方，所以拋物線頂點(diǎn)必在x軸下方．如圖所示：
②當(dāng)A，B都在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，由于在對(duì)稱軸右側(cè)，函數(shù)值隨x的增大而增大，所以點(diǎn)B在x軸上方，點(diǎn)A在x軸下方，頂點(diǎn)M在點(diǎn)A下方，所以拋物線頂點(diǎn)必在x軸下方．如圖所示：
③當(dāng)A，B在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，由于A，B分布在x軸兩側(cè)，所以不管A，B哪個(gè)點(diǎn)在x軸下方，都可以根據(jù)拋物線的對(duì)稱性將其中一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱到對(duì)稱軸另一側(cè)的拋物線上，同①或②，可以說(shuō)明拋物線頂點(diǎn)必在x軸下方．如圖所示：
（3）證明：令y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c），a＞0，
當(dāng)x1＝0時(shí)，y1＝a+b+c；
當(dāng)x2＝﹣1時(shí)，y2＝2（a+c）．
而（a+c）（a+b+c）＜0，
∴y1?y2＜0，
∴y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）上存在兩點(diǎn)（﹣1，2a+2c），（0，a+b+c）分別位于x軸兩側(cè)，
∴由（1）（2）可知，y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）頂點(diǎn)在x軸下方，
即，
又a＞0，
∴4a（a+b+c）﹣（b﹣c）2＜0，
即：（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
氣體
氧氣
氫氣
氮?dú)?br>氦氣
液化溫度℃
﹣183
﹣253
﹣195.8
﹣268
年級(jí)
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
優(yōu)秀率
大一
a
b
43
m
大二
39.5
44
c
n
月使用費(fèi)/元
主叫限定時(shí)間/min
主叫超時(shí)費(fèi)/（元/min）
被叫
方式一
58
150
0.25
免費(fèi)
方式二
88
350
0.19
免費(fèi)
月使用費(fèi)固定收：
主叫不超限定時(shí)間不再收費(fèi)，主叫超時(shí)部分加收超時(shí)費(fèi)，被叫免費(fèi)．
氣體
氧氣
氫氣
氮?dú)?br>氦氣
液化溫度℃
﹣183
﹣253
﹣195.8
﹣268
年級(jí)
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
優(yōu)秀率
大一
a
b
43
m
大二
39.5
44
c
n
成績(jī)
25
30
37
39
43
49
50
人數(shù)
1
2
4
2
5
4
2
月使用費(fèi)/元
主叫限定時(shí)間/min
主叫超時(shí)費(fèi)/（元/min）
被叫
方式一
58
150
0.25
免費(fèi)
方式二
88
350
0.19
免費(fèi)
月使用費(fèi)固定收：
主叫不超限定時(shí)間不再收費(fèi)，主叫超時(shí)部分加收超時(shí)費(fèi)，被叫免費(fèi)．

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