1．考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在試卷和答題卡的規(guī)定位置．
2．考生要將答案寫在答題卡上，在試卷上答題一律無效．考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回．
3．考試時(shí)間120分鐘．
一、選擇題（本大題共10小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A. B. 1C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先把減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照有理數(shù)的加法法則運(yùn)算即可．
【詳解】解：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查的是有理數(shù)的減法，掌握有理數(shù)的減法法則進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
2. 據(jù)2024年5月26日央視新聞報(bào)道，今年我國農(nóng)發(fā)行安排夏糧收購準(zhǔn)備金1100億元．?dāng)?shù)據(jù)“1100億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：1100億＝110000000000＝，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
3. 不透明袋中裝有除顏色外完全相同的個(gè)白球、個(gè)紅球，則任意摸出一個(gè)球是紅球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)概率公式直接求解即可．
【詳解】共有個(gè)球，其中紅球b個(gè)
從中任意摸出一球，摸出紅球的概率是．
故選A ．
【點(diǎn)睛】本題考查了簡單概率公式的計(jì)算，熟悉概率公式是解題的關(guān)鍵．
4. 圖中幾何體的三視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖示確定幾何體的三視圖即可得到答案．
【詳解】由幾何體可知，該幾何體的三視圖為
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，掌握三視圖的視圖方位及畫法是解題的關(guān)鍵，注意實(shí)際存在又沒有被其他棱所擋，在所在方向看不到的棱應(yīng)用虛線表示．
5. 學(xué)校開展“書香校園，師生共讀”活動(dòng)，某學(xué)習(xí)小組五名同學(xué)一周的課外閱讀時(shí)間（單位：），分別為：4，5，5，6，10．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差是（ ）
A. 6，4.4B. 5，6C. 6，4.2D. 6，5
【答案】A
【解析】
【分析】分別利用求平均數(shù)和方差的公式計(jì)算，即可求解．
【詳解】解：平均數(shù)；
方差為．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求平均數(shù)和方差，熟練掌握求平均數(shù)和方差的方法是解題的關(guān)鍵．
6. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別根據(jù)二次根式乘法法則，完全平方公式，異分母分式加減法法則以及分式除法法則計(jì)算出各項(xiàng)結(jié)果后，再進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A. ，故此計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B. ，故此計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C. ，故此計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D. ，計(jì)算正確，符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式乘法，完全平方公式，異分母分式加減法以及分式除法，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
7. 如圖，中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，、交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（用含的代數(shù)式表示）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，則∠B=∠BDC，利用三角形內(nèi)角和可求得∠B，進(jìn)而可求得∠E，則可求得答案．
【詳解】解：∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
8. 已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是（ ）
A. 4045B. 4044C. 2022D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【詳解】解：解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，四邊形是菱形，，點(diǎn)是中點(diǎn)，是對角線上一點(diǎn)，且，則的值是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取AC的中點(diǎn)M，連接EM設(shè)由中位線性質(zhì)可得再根據(jù)，可得出從而得到FC的長，即可得到的結(jié)果．
【詳解】解：如圖所示：取AC的中點(diǎn)M，連接EM，DM ，設(shè)
∵點(diǎn)是中點(diǎn)，
∴EM是的中位線，
四邊形是菱形，
，∠AMD=90°，
，
∴DM=，
∴AM=
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
10. 以下命題：①面包店某種面包售價(jià)元/個(gè)，因原材料漲價(jià)，面包價(jià)格上漲10%，會(huì)員優(yōu)惠從打八五折調(diào)整為打九折，則會(huì)員購買一個(gè)面包比漲價(jià)前多花了元；②等邊三角形中，是邊上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，若，則；③兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④一列自然數(shù)0，1，2，3，55，依次將該列數(shù)中的每一個(gè)數(shù)平方后除以100，得到一列新數(shù)，則原數(shù)與對應(yīng)新數(shù)的差，隨著原數(shù)的增大而增大．其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可，
【詳解】解：①項(xiàng)，會(huì)員原來購買一個(gè)面包需要0.85a元，現(xiàn)在需要a×(1+10%)×0.9=0.99a，則會(huì)員購買一個(gè)面包比漲價(jià)前多花了0.99a-0.85a=0.14a元，故①項(xiàng)正確；
②項(xiàng)，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠C+∠EDC=∠AED，
又∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC=∠C+∠EDC+∠EDC，
∴∠BAD=∠EDC+∠EDC=2∠EDC，故②項(xiàng)錯(cuò)誤；
③項(xiàng)，如圖，△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，AM是△ABC的BC邊上的中線，DN是△DEF的邊EF上的中線，AM=DN，即有△ABC≌△DEF，理由如下：
延長AM至G點(diǎn)，使得AM=GM，連接GC，延長DN至H點(diǎn)，使得DN=NH，連接HF，
∵AM是中線，
∴BM=MC，
∵AM=MG，∠AMB=∠GMC，
∴△AMB≌△GMC，
∴AB=GC，
同理可證DE=HF，
∵AM=DN，
∴AG=2AM=2DN=DH，
∵AB=DE，
∴GC=HF，
∴結(jié)合AC=DF可得△ACG≌△DFH，
∴∠GAC=∠HDF，
同理可證∠GAB=∠HDE，
∴∠BAC=∠GAB+∠GAC=∠HDF+∠HDE=∠EDF，
∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF，故③正確；
④設(shè)原數(shù)為x，則新數(shù)為，設(shè)原數(shù)與新數(shù)之差為y，
即，變形為：，
將x等于0、1、2、3、55分別代入可知，y隨著x的增大而增大，
故④正確；
即正確的有三個(gè)，
故選：C，
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答過程）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法和公式法即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握提公因式法和平方差公式是解題的關(guān)鍵．
12. 點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，若，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】反比例函數(shù)中k＞0，則同一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，由于，得到，從而得到的取值范圍．
【詳解】解：∵在反比例函數(shù)y=中，k＞0，
∴在同一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
∵，
∴這兩個(gè)點(diǎn)在同一象限，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉反比例函數(shù)的增減性，當(dāng)k＞0，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小；當(dāng)k＜0，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
13. 如圖，從一個(gè)邊長是的正五邊形紙片上剪出一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的面積為_______（用含的代數(shù)式表示）；如果將剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的底面圓直徑為_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先求出扇形的半徑與圓心角，再利用扇形弧長與所圍成的圓錐的底面周長的關(guān)系求出圓錐的底面半徑，則可得出答案．
【詳解】解：∵五邊形為正五邊形，
，
∵，這個(gè)扇形的面積為：，
設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則直徑為：，則:，
解得，
∴．
故答案為： ， ．
【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形內(nèi)角和定理，扇形、圓錐的相關(guān)計(jì)算，掌握扇形所圍的圓錐與扇形之間的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
14. 某超市糯米的價(jià)格為5元/千克，端午節(jié)推出促銷活動(dòng)：一次購買的數(shù)量不超過2千克時(shí)，按原價(jià)售出，超過2千克時(shí)，超過的部分打8折．若某人付款14元，則他購買了_______千克糯米；設(shè)某人的付款金額為元，購買量為千克，則購買量關(guān)于付款金額的函數(shù)解析式為______．
【答案】 ①. 3 ②. ##
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出一元一次方程，函數(shù)解析式即可求解．
【詳解】解：，
超過2千克，
設(shè)購買了千克，則，
解得，
設(shè)某人的付款金額為元，購買量為千克，則購買量關(guān)于付款金額的函數(shù)解析式為：
，
故答案為：3，．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，列函數(shù)解析式，根據(jù)題意列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
15. 已知為⊙的直徑且，點(diǎn)是⊙上一點(diǎn)（不與、重合），點(diǎn)在半徑上，且，與過點(diǎn)的⊙的切線垂直，垂足為．若，則_____，_______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)題意作出圖形，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，等邊對等角，平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)，可得,可得,進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可求解．
【詳解】如圖，連接，
是⊙的切線，，，
,
，
,
,
,
,
,
,
,
,
,
設(shè)，則
解得（舍去）
即
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)結(jié)合圖形求解是解題的關(guān)鍵．
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是______．
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線求出對稱軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線CD的表達(dá)式，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用拋物線的性質(zhì)可知，當(dāng)越大，則拋物線的開口越小，即可求解．
【詳解】解：拋物線的對稱軸為：，當(dāng)時(shí)，，故拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線CD的表達(dá)式，
當(dāng)時(shí)，且拋物線過點(diǎn)時(shí)，
，解得（舍去），
當(dāng)，拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，
即頂點(diǎn)在直線CD上，則，解得，
當(dāng)時(shí)，且拋物線過點(diǎn)時(shí)，
，解得，
由拋物線的性質(zhì)可知，當(dāng)越大，則拋物線的開口越小，且拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴，且，
解得，
綜上所述，的取值范圍為或，
故答案為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，理解對稱軸的含義，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，巧妙運(yùn)用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 計(jì)算求解：
（1）計(jì)算
（2）解方程組
【答案】（1）5
（2）
【解析】
分析】（1）先去絕對值，算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，將特殊角三角函數(shù)值代入，再計(jì)算即可；
（2）直接解二元一次方程組即可．
【小問1詳解】
原式＝2+3
5；
【小問2詳解】
整理方程組得：，
由①得：y＝5-4x③，
將③代入②得：-5x＝5，
解得：x＝-1，
將x＝-1代入③得：y＝9，
則方程組得解為：．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算和解二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是掌握各知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)算法則．
18. “一去紫臺(tái)連朔漠，獨(dú)留青冢向黃昏”，美麗的昭君博物院作為著名景區(qū)現(xiàn)已成為外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如圖，為測量景區(qū)中一座雕像的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在處用測角儀測得雕像頂部的仰角為，測得底部的俯角為．已知測角儀與水平地面垂直且高度為1米，求雕像的高．（用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可）
【答案】米
【解析】
【分析】過點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，則，在與中，分別表示出，根據(jù)即可求解．
【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，
，
中，，
，
中，，
，
米
答：雕像的高為米
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
19. 某商場服裝部為了調(diào)動(dòng)營業(yè)員的積極性，決定實(shí)行目標(biāo)管理，根據(jù)目標(biāo)完成的情況對營業(yè)員進(jìn)行適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì)．為了確定一個(gè)適當(dāng)?shù)脑落N售目標(biāo)，商場服裝部統(tǒng)計(jì)了每位營業(yè)員在某月的銷售額（單位：萬元），數(shù)據(jù)如下：17 18 16 13 24 15 27 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 15 16 28 15 32 23 17 14 15 27 27 16 19，對這30個(gè)數(shù)據(jù)按組距3進(jìn)行分組，并整理和分析如下：
頻數(shù)分布表：
數(shù)據(jù)分析表：
請根據(jù)以上信息解答下列問題：
（1）上表中 ， ， ， ；
（2）若想讓一半左右的營業(yè)員都能達(dá)到銷售目標(biāo)，你認(rèn)為月銷售額定為多少合適？說明理由；
（3）若從第六組和第七組內(nèi)隨機(jī)選取兩名營業(yè)員在表彰會(huì)上作為代表發(fā)言，請你直接寫出這兩名營業(yè)員在同一組內(nèi)的概率．
【答案】（1）4,2,16,18
（2）18，理由見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)找出在，的頻數(shù)即可求解，根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義即可求得的值；
（2）根據(jù)中位數(shù)的意義求解．
（3）根據(jù)列表法求概率求解．
【小問1詳解】
解：將30個(gè)數(shù)據(jù)，從小到大排列如下，
13，14，15，15，15，15，16，16，16，16，16，17，17，17，18，18，19，19，19，22，23，24，26，27，27，27，28，30，32，32，
在的數(shù)據(jù)為26，27，27，27，4個(gè)，故，
在的數(shù)據(jù)為28，30，共2個(gè)，故，
其中出現(xiàn)了5次，次數(shù)最多，故，
第15和第16個(gè)數(shù)據(jù)為18，故，
故答案為：4，2，16，18．
【小問2詳解】
18萬元
理由：根據(jù)中位數(shù)為18萬元，想讓一半左右的營業(yè)員都能達(dá)到銷售目標(biāo)，你認(rèn)為月銷售額定為18萬元合適，
【小問3詳解】
設(shè)第六組兩名營業(yè)員為和第七組的兩名營業(yè)員，列表如下，
共有12種等可能結(jié)果，兩名營業(yè)員在同一組內(nèi)的情形有4種可能，
故兩名營業(yè)員在同一組內(nèi)概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布表，中位數(shù)，眾數(shù)，列表法求概率，掌握數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的方法以及求概率的方法是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，在中，，以為直徑的⊙交于點(diǎn)，交線段的延長線于點(diǎn)，連接．
（1）求證：；
（2）若，，求．
【答案】（1）證明見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）連接AD，由AB為直徑可得AD⊥BC，再根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可證明結(jié)論．
（2）由（1）可得CD=4，BC=8，根據(jù)即可求得，進(jìn)而利用勾股定理即可求得AC，由為⊙的直徑，得∠BEC=∠ADC=90°，∠C為公共角，可得，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求得CE，進(jìn)而可求解．
【小問1詳解】
證明：連接AD，如圖所示：
∵為⊙的直徑，
∴AD⊥BC，
又∵，
∴三角形ABC為等腰三角形，
∴AD為BC的垂直平分線，
∴BD=CD．
【小問2詳解】
由（1）可得BD=CD=4，
，BC=2BD=8，
，
在Rt△ACD中，
，
又∵為⊙的直徑，
∴∠BEC=∠ADC=90°，且∠C=∠C，
∴，
，即，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形與圓的綜合問題，考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)及三角形相似對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)作軸，于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，請直接寫出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)及點(diǎn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求得CD的長和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求得AC的長，利用勾股定理即可求得AD，進(jìn)而點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)解析式．
（2）變形不等式為，即，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，找出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方的部分即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴，且，
，
在中，
，
，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，
，解得，
反比例函數(shù)的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，解得，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
將和代入一次函數(shù)得，
，解得，
∴一次函數(shù)的解析式為：．
【小問2詳解】
由題意得，
，即，即，
只需反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方即可，
由圖可得當(dāng)或時(shí)，，
∴不等式的解集為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)圖象及性質(zhì)解決問題、求不等式的解集，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，巧妙借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
22. 今年我市某公司分兩次采購了一批土豆，第一次花費(fèi)30萬元，第二次花費(fèi)50萬元，已知第一次采購時(shí)每噸土豆的價(jià)格比去年的平均價(jià)格上漲了200元，第二次采購時(shí)每噸土豆的價(jià)格比去年的平均價(jià)格下降了200元，第二次的采購數(shù)量是第一次采購數(shù)量的2倍．
（1）問去年每噸土豆的平均價(jià)格是多少元？
（2）該公司可將土豆加工成薯片或淀粉，因設(shè)備原因，兩種產(chǎn)品不能同時(shí)加工，若單獨(dú)加工成薯片，每天可加工5噸土豆，每噸土豆獲利700元；若單獨(dú)加工成淀粉，每天可加工8噸土豆，每噸土豆獲利400元．由于出口需要，所有采購的土豆必須全部加工完且用時(shí)不超過60天，其中加工成薯片的土豆數(shù)量不少于加工成淀粉的土豆數(shù)量的，為獲得最大利潤，應(yīng)將多少噸土豆加工成薯片？最大利潤是多少？
【答案】（1）去年每噸土豆的平均價(jià)格是2200元
（2）應(yīng)將175噸土豆加工成薯片，最大利潤202500元
【解析】
【分析】（1）設(shè)去年每噸土豆的平均價(jià)格是x元，則第一次采購的平均價(jià)格為（x+200）元，第二次采購的平均價(jià)格為（x-200）元，根據(jù)第二次的采購數(shù)量是第一次采購數(shù)量的兩倍，據(jù)此列方程求解；
（2）先求出今年所采購的土豆棗數(shù)，根據(jù)所有采購的土豆必須全部加工完且用時(shí)不超過60天，其中加工成薯片的土豆數(shù)量不少于加工成淀粉的土豆數(shù)量的，據(jù)此列不等式組求解，然后求出最大利潤．
【小問1詳解】
設(shè)去年每噸土豆的平均價(jià)格是x元，
由題意得， ，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，且符合題意，
答：去年每噸土豆的平均價(jià)格是2200元；
【小問2詳解】
由（1）得，今年的土豆數(shù)為：(噸)，
設(shè)應(yīng)將m噸土豆加工成薯片，則應(yīng)將（375－m）噸加工成淀粉，
由題意得，，
解得：，
總利潤為：，
當(dāng)時(shí)，利潤最大，最大利潤為：（元）．
答：應(yīng)將175噸土豆加工成薯片，最大利潤為202500元．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．
23. 下面圖片是八年級(jí)教科書中一道題：如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，且交正方形外角的平分線于點(diǎn)．求證．（提示：取的中點(diǎn)，連接．）
（1）請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件： ；
（2）如圖1，若點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)（不與、重合），其他條件不變．求證：；
（3）在（2）的條件下，連接，過點(diǎn)作，垂足為．設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形，并給予證明．
【答案】（1）AG=CE
（2）過程見解析 （3），證明過程見解析
【解析】
【分析】對于（1），根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得答案；
對于（2），取AG=EC，連接EG，說明△BGE是等腰直角三角形，再證明△GAE≌△CEF，可得答案；
對于（3），設(shè)BC=x，則BE=kx，則，，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示EP的長，利用平行四邊形的判定得只要EP=FC，即可解決問題．
【小問1詳解】
解：∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE．
∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，
∴BG=AG，
∴AG=CE．
故答案為：AG=CE；
【小問2詳解】
取AG=EC，連接EG．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°．
∵AG=CE，
∴BG=BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°．
∵CF是正方形ABCD外角的平分線，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△GAE≌△CEF，
∴AE=EF；
【小問3詳解】
當(dāng)時(shí)，四邊形PECF是平行四邊形．
如圖．
由（2）得，△GAE≌△CEF，
∴CF=EG．
設(shè)BC=x，則BE=kx，
∴，．
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC=45°，
∴∠PEC+∠ECF=180°，．
∴，
當(dāng)PE=CF時(shí)，四邊形PECF是平行四邊形，
∴，
解得．
【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于四邊形的綜合問題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定等知識(shí)．
24. 如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接、．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，分別交、軸于點(diǎn)、，當(dāng)中有某個(gè)角的度數(shù)等于度數(shù)的2倍時(shí)，請求出滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】（1）；A（-1，0）；
（2）存在E（0，3）或（0，-1），使得是以為斜邊的直角三角形；
（3）2或
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；
（2）先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E（0，m），再根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，，再由勾股定理，即可求解；
（3）先求出，再求出直線BC的解析式，然后設(shè)點(diǎn)，則，CF=a，可得，再分三種情況討論：若∠PCM=2∠OBC，過點(diǎn)C作CF∥x軸交PM于點(diǎn)F；若∠PMC=2∠OBC；若∠CPM=2∠OBC，過點(diǎn)P作PG平分∠CPM，則∠MPG=∠OBC，即可求解．
【小問1詳解】
解：把點(diǎn)和點(diǎn)代入，得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為，
令y=0，則，
解得：，
∴點(diǎn)A（-1，0）；
【小問2詳解】
解：存在，理由如下：
∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)E（0，m），
∴，
，
，
∵是以為斜邊的直角三角形，
∴，
整理得：，
解得：或-1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-1）；
【小問3詳解】
解：∵點(diǎn)B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴，
設(shè)直線BC的解析式為，
把點(diǎn)B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直線BC的解析式為，
設(shè)點(diǎn)，則，CF=a，
∴，
若∠PCM=2∠OBC，過點(diǎn)C作CF∥x軸交PM于點(diǎn)F，如圖甲所示，
∴∠FCM=∠OBC，即，
∴∠PCF=∠FCM，
∵軸，
∴CF⊥PQ，
∴PM=2FM，
∴，
∴，解得：解得：a=2或0（舍去），
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2；
若∠PMC=2∠OBC，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵∠OBC+∠BMN=90°，
∴∠OBC=30°，與相矛盾，不合題意，舍去；
若∠CPM=2∠OBC，如圖乙所示，過點(diǎn)P作PG平分∠CPM，則∠MPG=∠OBC，
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴，
解得：或0（舍去），
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或．

圖甲 圖乙
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合題，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．組別
一
二
三
四
五
六
七
銷售額/萬元
頻數(shù)
6
10
3
3
2
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
20.3
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC

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