一、選擇題
1．橢圓的焦點坐標為( )
A.B.C.D.
2．某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數(shù)表示,則該物體在s時的瞬時速度為( )
A.0m/sB.1m/sC.2m/sD.3m/s
3．從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為( )
A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3
4．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為( )
A.B.C.D.
5．如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象,下列結(jié)論正確的是( )
A.在處取得極大值B.是函數(shù)的極值點
C.是函數(shù)極小值點D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
6．如圖,已知四面體的棱長都是2,點M為棱的中點,則的值為( )
A.1B.-1C.-2D.2
7．已知圓和兩點,,若圓C上存在點P,使得,則a的最小值為( )
A.6B.5C.4D.3
8．設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù),,當時,,則不等式的解集為( )
A.B.
C.D.
二、多項選擇題
9．下列求導運算正確的是( )
A.B.
C.D.
10．已知數(shù)列中,,,數(shù)列的前n項和為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.是等比數(shù)列B.
C.D.
11．已知雙曲線的左,右焦點分別是,,其中,過右焦點的直線l與雙曲線的右支交與A,B兩點,則下列說法中正確的是( )
A.弦AB的最小值為
B.若,則三角形的周長
C.若AB的中點為M,且AB的斜率為k,則
D.若直線AB的斜率為,則雙曲線的離心率
12．已知函數(shù),,則下列說法正確的是( )
A.函數(shù)與函數(shù)有相同的極小值
B.若方程有唯一實根,則a的取值范圍為
C.若方程有兩個不同的實根,,則
D.當時,若,則成立
三、填空題
13．曲線在點處的切線方程為__________．
14．已知某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同,且在兩次罰球中至多命中一次的概率為,則該隊員每次罰球的命中率為_________.
15．函數(shù)在R上是減函數(shù),則a的取值范圍為_________.
16．若函數(shù)與的圖像在實數(shù)集R上有且只有3個交點,則實數(shù)a的取值范圍為_____________．
四、解答題
17．已知是函數(shù)的一個極值點.
（1）求實數(shù)a的值;
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
18．已知等差數(shù)列的前n項和為,,．在正項等比數(shù)列中,,．
（1）求與的通項公式;
（2）求數(shù)列的前n項和．
19．已知函數(shù),.
（1）若,求證：當時,恒成立;
（2）若方程有兩個不同的根,求實數(shù)a的取值范圍.
20．如圖,在四棱錐中,底面是矩形且,M為的中點,,.
（1）證明：平面;
（2）若,求二面角的余弦值.
21．已知拋物線的焦點為F,為C上一點,且.
（1）求C的方程;
（2）過點且斜率存在的直線l與C交于不同的兩點A,B,且點B關于x軸的對稱點為D,直線與x軸交于點Q.
（i）求點Q的坐標;
（ii）求與的面積之和的最小值.
22．已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性;
（2）設,若對任意的,都有恒成立,求a的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：橢圓的焦點在x軸上,
,,,
所以焦點坐標為.
故選：A.
2．答案：D
解析：該物體在時間段上的平均速度為,
當無限趨近于0時,無限趨近于3,即該物體在s時的瞬時速度為3m/s．
故選：D.
3．答案：D
解析：設2名男同學為，，3名女同學為，，
從以上5名同學中任選2人總共有，，，，，，，，，共10種可能，
選中的2人都是女同學的情況共有，，共三種可能
則選中的2人都是女同學的概率為，
故選D.
4．答案：C
解析：由題知，定義域為，
所以，
令，解得，
所以的單調(diào)增區(qū)間為：.
故選：C
5．答案：C
解析：由圖象可知：當時,單調(diào)遞減,當時,,單調(diào)遞增,
故是函數(shù)的極小值點,無極大值.
故選：C.
6．答案：B
解析：因為點M為棱的中點,
所以,
因為四面體的棱長都是2,
所以,
故選：B.
7．答案：C
解析：由,故點P在圓上,又點P在圓C上,所以兩圓有交點,
因為圓的圓心為原點O,半徑為a,圓C的圓心為,半徑為1,
所以,又,故有,
解得,所以a的最小值為4.
故選：C.
8．答案：B
解析：設,則,當時,,
當時,,即在上單調(diào)遞減.
由于是奇函數(shù),所以,是偶函數(shù),
所以在上單調(diào)遞增.
又,
當或時,;
當或時,,
所以當或時,.
即不等式的解集為.
故選：B.
9．答案：BD
解析：對于A,,A錯誤;
對于B,,B正確;
對于C,,C錯誤;
對于D,,D正確,
故選：BD.
10．答案：BD
解析：由得,
又,
所以是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列,
則,即,
,,,顯然,
所以不是等比數(shù)列,故A錯;
,故B對;
,故C錯;
,故D對
故選：BD.
11．答案：ABC
解析：對于A,

弦AB的最小值為通徑,故A正確;
對于B,
由雙曲線的定義得,,
所以,,
,
則三角形的周長,故B正確;
對于C,
設,則,
兩式相減得
即,即得,
故C正確;
對于D,
若直線AB的斜率為,所以,所以,所以,
所以,故D錯誤.
故選：ABC.
12．答案：ACD
解析：對于A,定義域,,
當時,,單調(diào)遞減,
當時,,單調(diào)遞增,
所以,
定義域,,
當時,,單調(diào)遞減,
當時,,單調(diào)遞增,
所以,故A正確;
對于B,若方程有唯一實根,
由于當時,,且,
結(jié)合已求的單調(diào)性和最值可知,或,故B錯誤;
對于C,因為方程有兩個不同的實根,假設,則,
則,即,兩式相減得,
即,由對數(shù)均值不等式,
則,即得證,故C正確;
對于D,當時,若,則,
即,顯然,則,
則成立,故D正確.
故選：ACD.
下面補證C選項對數(shù)均值不等式：
要證,即證,
設,即證,即證,
令,,
則在單調(diào)遞增,當時,得證.
13．答案：
解析：由得,
所以,
所以在點處的切線方程為,
即
故答案為：.
14．答案：或0.75
解析：設該隊員每次罰球的命中率為p,則有,故.
故答案為：.
15．答案：
解析：因為,所以,
因為函數(shù)在R上是減函數(shù),
所以,恒成立,
則,恒成立,
令,則,
所以,
所以a的取值范圍為,
故答案為：
16．答案：
解析：依題意,僅有3個解,顯然不是該方程解,則,即僅有3個解,
設,,定義域關于原點對稱,且滿足,即為奇函數(shù),
考慮時的情況,,,
當時,,即在上單調(diào)遞減,
當時,,即在上單調(diào)遞增,
則函數(shù)極大值為,且當時,;當時,;
作出函數(shù)的大致圖像如圖所示：
由于僅有3個解,故與函數(shù)的圖像僅有3個交點,
結(jié)合圖像可得或,解得或．
故答案為：．
17．答案：（1）3
（2）,
解析：（1）
,
是的一個極值點,.
,,
此時,
令,解劇或,
令,解得,
故為的極值點,故.
（2）由（1）可得在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),
.
又,,
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）設等差數(shù)列的公差為d,由條件得,,解得,
所以;
設正項等比數(shù)列的公比為q,由條件得,所以,
解得或（負值舍去）,所以．
（2）,
所以,
所以,
相減得,
,
所以．
19．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）當時,,則,
函數(shù)在單調(diào)遞增,,
當時,恒成立;
（2）由題意有兩個不同的零點,
即,即函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點,
設,令,
當時,,當時,,
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
,
又,當時,,函數(shù)的圖象如下,
要使函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點,則.
20．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）因為在和中,,,
所以,
因為,,以,
又因為,,,平面,所以平面,
又因為平面,所以,
又因為,,,平面,
所以平面.
（2）因為,所以
由（1）知平面,底面是矩形,
以,,分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示：
則,,,
所以,,
由（1）知平面的一個法向量為,
設平面的一個法向量為,
則有,即,
取得,
所以,
又二面角是銳二面角,
所以二面角的余弦值為.
21．答案：（1）
（2）（i）;
（ii）
解析：（1）由題意可得,解得,
所以C的方程為：;
（2）（i）由已知可得直線l的斜率不為0,且過點,
故可設的直線l的方程為,
代入拋物線的方程,
可得,
方程的判別式,
設,,
不妨設,則,,
所以直線AD的方程為：,即
即,令,可得,
所以,所以
所以;
（ii）如圖所示,可得,
,
所以與的面積之和
當且僅當時,即時,等號成立,
所以與的面積之和的最小值為.
22．答案：（1）答案見解析
（2）
解析：（1）因為,則.
若,對任意的,,此時函數(shù)的減區(qū)間為;
若,由可得,由可得.
此時函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.
綜上所述,當時,函數(shù)的減區(qū)間為;
當時,函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.
（2）當時,由,
由可得,
令,其中,,
令,其中,則,
所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
因為,,
故存在唯一的,使得,即,
當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,
當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,
由可得,
令,其中,則,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,
由可得,
因為,則,所以,,即,
所以,,.

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