【開學(xué)摸底考】2024-2025學(xué)年春季期高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷（新高考通用）1-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設(shè)集合,則中元素的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】
【解析】兩個集合均為點集,交集即是函數(shù)與的交點構(gòu)成的集合,
故中的元素個數(shù)即是方程的解的個數(shù),
即函數(shù)的零點個數(shù),
由函數(shù)單調(diào)遞增且,可知函數(shù)有一個零點,故中元素個數(shù)為1.
2.在復(fù)平面內(nèi),把與復(fù)數(shù)相對應(yīng)的向量繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90度,所得的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為( )
A.B.C.D.
【答案】
【解析】現(xiàn)將復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量表示為,向量旋轉(zhuǎn)模長不變,故可在半徑為2的圓上利用三角
函數(shù)的定義將其坐標表示為三角形式,順時針旋轉(zhuǎn),即可得到向量
3.在的展開式中,常數(shù)項為75,則( )
A.1B.C.D.
【答案】
【解析】常數(shù)項為,解得.
4.已知,則( )
A.B.C.D.
【答案】
【解析】,所以
所以.
5.已知三點均在圓上,為弦的兩個三等分點,若,且.,則圓的半徑為( )
A.B.C.D.
【答案】
【解析】設(shè)弦中點為,利用中線的向量特點:
兩式相減即得:
此即是所謂的極化恒等式.同樣的道理我們可以得到:
兩個式子結(jié)合一下就可以得到,另外,,則顯然有
,則
,
由正弦定理可知,,
答案為項.
6.已知的定義域為的單調(diào)函數(shù),且,則( )
A.-1B.0C.1D.2
【答案】
【解析】由題得單調(diào),那么和一一對應(yīng),那么為大于0的常數(shù),
7.已知圓臺的上、下底面半徑分別為母線與底面所成角為為下底面的一條直徑,點為側(cè)面上的一個動點,若,則的軌跡長度為( )
A.B.C.D.
【答案】
【解析】【法一】:圓臺的母線記為,,容易得到,如圖所示建系較為方便,設(shè)點,且,則
,
如圖,母線,則,且,點為側(cè)面上的一點,且,
則由勾股定理得:故點的軌跡是半徑為的圓,其軌跡長度為.
【法二】:三角形中,利用中線長的性質(zhì)
可得,以下同法一.
8.已知拋物線的焦點為,過點的直線與拋物線交于兩點,直線過點且與垂直,直線過點且與垂直,直線與相交于點,則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
【答案】
【解析】易知,設(shè),設(shè),不妨令,
將與拋物線的方程聯(lián)立,則,可得,
所以,即,
易知為的直徑,所以,
又,
所以,
因為,所以,
所以,即.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9.已知圓經(jīng)過點(3,0)和(0,1),且圓被軸,軸截得的弦長相等,則圓的方程可以是( )
A.B.
C.D.
【答案】
【解析】設(shè)圓心為(a,b),則,且,解得
則,即圓方程為
10.已知函數(shù)的定義域為,則( )
A.B.C.是奇函數(shù)D.
【答案】
【解析】抽象函數(shù),賦值分析,
①令,則,故選項正確;
②令,則,
令,則,故選項正確;
③令,則,即:
,故為偶函數(shù),故選項不正確;
事實上,函數(shù)定義在上,且,故必不是奇函數(shù),
④令,則周期為4,
顯然:,
故:,故選項不正確.
11.記數(shù)列的前項和為,若,則( )
A.的最大值為
B.的最小值為
C.存在數(shù)列,使得
D.存在數(shù)列,使得,且
【答案】
【解析】先來分析一下數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點,,則可以想到要么為正要么為負,
若連續(xù)兩項為正,如:,
若連續(xù)兩項一正一負,如:,
為了使最大,則連續(xù)兩項必一正一負,正負擺動,
不妨令,則
故:,故選項正確;
由上述分析知:的最小值為1,顯然成立,故選項正確;
對于選項,因為只有兩個結(jié)果,即或者,
首先我們嘗試數(shù)列前項均為1,那么后面的項均滿足,則7976,這個方程沒有整數(shù)解,當時,,
故而只要令
則,故選項正確；
顯然選項不正確；
答案為項.
第二部分（非選擇題共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。.
12.已知雙曲線的左、右焦點為,點是其右支上的動點.若存在,使得,,依次成等比數(shù)列,則的取值范圍為_____.
【答案】
【解析】由題意可知,,且,
設(shè),則,
所以在上有解,所以,解得.
13.如圖,在直角三角形中,,垂足為.設(shè),矩形與矩形的面積之和為,其中,則的最大值為_____.
【答案】
【解析】易知,所以
于是
令,解得;令,解得,
所以在處取得最大值,所以.
14.一個球被平面截下的一部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面,垂直于截面的直徑被截后,剩下的線段長叫做球缺的高.若球缺的高為,球的半徑為,則球缺的體積.已知一個圓柱的軸截面是邊長為8的正方形,且正方形的中心為.球的半徑為5,則球與圓柱重合部分的體積為_____.
【答案】
【解析】【方法一】如圖實際就是兩個球缺加一個:
那么那么我們先把球缺的體積算了。先畫平面圖先算球缺的上下底,
先算上底.
下底,再算高,即所以我們剩下的
(DBFE)是大球缺小球缺
所以兩個球缺的體積為:.
再算圓柱的體積.
【方法二】如圖,
球與圓柱重合部分可以看成上下兩部分加中間一個圓柱,上部分和下部分形狀相同,可以看成一個缺挖掉一個小球缺.
那么我們先算上部分體積,再算圓柱體積,則,即可得到結(jié)果.
,
所以
故.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15.(本題滿分13分)如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,平面,且分別是的中點,平面與分別交于點.
(1)證明:;
(2)若平面平面,求平面與平面所成銳二面角的正弦值.
【解析】(1)因為分別是的中點,所以,
在正方形中,,所以,
因為平面平面,
所以平面,
又平面,平面平面,
所以,所以.
(2)易知兩兩垂直,故建立空間直角坐標系如圖所示,
則,
所以.
設(shè)平面的法向量,則
取,則,所以.
設(shè)平面的法向量,則
取,則,所以.
設(shè)平面的法向量,則,
因為平面平面,所以,
取,則,所以.
設(shè)平面與平面所成銳二面角為,則.
16.(本題滿分15分)
某乒乓球運動員練習(xí)接發(fā)球,陪練教練每次發(fā)球有的概率發(fā)左旋球,有的概率發(fā)右旋球,且該運動員可以通過陪練教練的發(fā)球動作,準確地判斷發(fā)出的是左旋球還是右旋球.根據(jù)以往訓(xùn)練數(shù)據(jù),該乒乓球運動員能成功接左旋球的概率是,能成功接右旋球的概率是.在某次訓(xùn)練的連續(xù)兩次接發(fā)球中,設(shè)該運動員成功接到左旋球的次數(shù)為隨機變量,成功接到右旋球的次數(shù)為隨機變量.
(1)若,求該運動員兩次接發(fā)球均成功的概率；
(2)若,求的取值范圍.
【解析】(1)設(shè)該運動員兩次接發(fā)球均成功為事件,則
(2)易知,則
,
且,
所以,
因為,所以,所以,即的取值范圍為.
17.(本題滿分15分)
已知函數(shù)有三個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)證明:中任意兩個之積的絕對值不小于1.
【解析】(1)有三個解.
令,顯然為奇函數(shù),
當時,.單調(diào)遞增
單調(diào)遞減,則,且,
則容易得到:時,單調(diào)遞增且,
時,單調(diào)遞增且時,單調(diào)遞減且.
而當時,時,單調(diào)遞減且,
時,單調(diào)遞增且,
時,單調(diào)遞增且,
則當或時,僅有一個解
當或或時,僅有兩個解
當或時,有三個解
綜上:函數(shù)有三個零點,則或.
(2)想證明函數(shù)的三個零點中任意兩個之積的絕對值不小于1,只需要證明
時的情況即可.
當時,的三個零點滿足,只需要證明即可,
即證明,因為函數(shù)時,單調(diào)遞增,則只要證明
這顯然成立.
18.(本題滿分17分)已知橢圓和橢圓,直線與橢圓相切于第一象限內(nèi)一點,且與橢圓交于兩點.直線與橢圓交于兩點.
(1)當為橢圓的右頂點時,求;
(2)求四邊形MANB面積的取值范圍.
【解析】如圖
設(shè)
且滿足后面我們消元可以直接消掉.
（1）當為橢圓的右頂點時即直線過右頂點時.
（2）我們先算長度
先算判別式
接下來我們再算高即可此時我們直接算點坐標即可.
為為
算距離
而絕對值里面異號,因為在直線兩邊我們直接算面積就行了.
所以
找一下和的關(guān)系現(xiàn)在顯然了,單變量舒服的.而且我們猜測取等為豎直的時候,這樣好看,于是我們不能留著,那么我們留著即可,變形
為了好看,我們設(shè)
顯然解決完畢.
19.(本題滿分17分)
在平面直角坐標系中,將橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點.
（1）對任意,設(shè)格點滿足.證明:,并分別指出的單調(diào)性(不必說明理由);
（2）證明:對于任意給定的正整數(shù),都存在橫坐標大于的格點,滿足到直線的距離
小于;
(3)設(shè)雙曲線,證明:對于任意給定的正整數(shù),都存在格點和上一點,滿
足,并當時,寫出一個的坐標.
【解析】(1)依題,,則
且容易得到:
故
數(shù)列單調(diào)性作差比較即可:
所以數(shù)列單調(diào)遞增,數(shù)列單調(diào)遞減
(2)設(shè)點到直線的距離為
對任意事先給定的正整數(shù),若,則,取,
則
很明顯需要將的分子處理一下,很容易看到
則
只要即可,考慮到
當時,顯然成立,命題得證.
(3)雙曲線的漸近線方程為,對于給定的正整數(shù),存在格點,記到直線的距離為,由(2)可知,必能找到格點使得,我們?nèi)「顸c
因為,故格點在直線下方.
現(xiàn)在我們需要找到雙曲線上一點,只要充分大,格點將無限接近直線,這時我們通過格點作垂直于漸近線的直線交雙曲線于點,判斷一下關(guān)于直線的對稱點與雙曲線的位置關(guān)系,就可以得到與的大小關(guān)系,方便接下來的說理,為此,我們轉(zhuǎn)換一下視角,只要判斷點與雙曲線的共軛雙曲線的位置關(guān)系即可,即判斷與2的大小關(guān)系.
因為
由前面分析知:
則
故,則可知點在雙曲線內(nèi),故而.
當時,我們?nèi)?那么容易知道

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