課程基本信息
課例編號(hào)
2020QJ10SXRA026
學(xué)科
數(shù)學(xué)
年級(jí)
高一
學(xué)期
第一學(xué)期
課題
指數(shù)冪運(yùn)算
教科書
書名:普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)A版
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019 年 6 月
教學(xué)人員
姓名
單位
授課教師
劉鵬
北京市第一六六中學(xué)
指導(dǎo)教師
李穎
北京市東城區(qū)教師研修中心
教學(xué)目標(biāo)
教學(xué)目標(biāo)：
1. 熟練完成有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，了解指數(shù)冪的拓展過程與原理，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；
2. 類比用有理數(shù)逼近無理數(shù)體會(huì)從“數(shù)”與“形”的兩個(gè)角度，理解由有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的原理，滲透逼近思想和極限思想；
3. 在信息技術(shù)的幫助下加深對(duì)無理數(shù)指數(shù)冪的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。
教學(xué)重點(diǎn)：
實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算及其性質(zhì)；
教學(xué)難點(diǎn)：
用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪以及對(duì)無理數(shù)指數(shù)冪的理解.
教學(xué)過程
時(shí)間
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要師生活動(dòng)
2
5
15
2
引入
指數(shù)運(yùn)算例題
無理數(shù)指數(shù)冪
總結(jié)
同學(xué)們，大家好，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了根式，并且將根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，即：
amn=nam，a>0,m,n∈N*,n>1
a-mn=1nam，a>0,m,n∈N*,n>1
這樣，我們就把冪ax的形式中指數(shù)x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù)，所以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也叫作有理數(shù)指數(shù)冪！在推廣的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)指數(shù)冪并沒有改變冪的運(yùn)算性質(zhì)，即對(duì)于任意的正數(shù)a,b，都有：
（1）ar?as=ar+s，r,s∈Q 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；
（2）ars=ars，r,s∈Q 冪ar的s次方等于底數(shù)a的r乘s次方；
（3）abr=ar?br，r∈Q a,b乘積的r次冪等于a,b各自r次冪的乘積.
拓展一下，常用的變形形式有 aras=ar?a-s=ar-s 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減.
學(xué)生活動(dòng)一：
今天，我們來繼續(xù)學(xué)習(xí)指數(shù)這一節(jié). 首先我們來看幾道例題.
例1. 求值：
（1）2536-1.5 ；
解：提示，將2536化為冪ax形式，將-1.5化為分?jǐn)?shù)形式.
公式：ars=ars.
2536-1.5=562-32=56-3=216125.
（2）23×331.5×612 .
解：提示，將各因子化為冪ax形式. 23×331.5×612=2×312×3×3213×1216.
回憶冪的運(yùn)算性質(zhì)，我們應(yīng)該尋找相同的底數(shù)！
312，3213=313×2-13，1216=3×2216=316×213
公式：amn=nam，ar?as=ar+s，aras=ar-s.
所以，23×331.5×612=2×312×3×3213×1216=2×312×3×313×2-13×316×213
=21-13+13×312+1+13+16=2×32=18.
總結(jié)：
盡量用指數(shù)冪的形式來表示根式，這樣往往會(huì)簡(jiǎn)化根式運(yùn)算.
指數(shù)冪的運(yùn)算盡量化為同底數(shù)，即便不能化為同底，也要盡可能地減少不同底數(shù)的數(shù)量，同底才能運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì).
例如：23×331.5×612=2×312×3×3213×1216
=2×312×3×313×2-13×316×213
學(xué)生活動(dòng)二：
進(jìn)一步引深，同學(xué)們有沒有想過一個(gè)大膽的問題，指數(shù)有沒有可能是無理數(shù)？也就是無理數(shù)指數(shù)冪！
首先我們復(fù)習(xí)一下無理數(shù)的知識(shí). 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，分?jǐn)?shù)又可寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)又叫做無限不循環(huán)小數(shù)，例如2，3，π都是無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).
通過初中的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，每一個(gè)無理數(shù)都是一個(gè)定值，能夠用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示. 那么，如果不用計(jì)算器，我們?nèi)绾蝸砉浪?的值呢？同學(xué)們可能會(huì)想到下面這種方式：
因?yàn)?2=1

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