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1.(12分)(2024·湖南省師范大學附屬中學模擬)如圖所示,固定在水平地面開口向上的圓柱形導熱汽缸,用質量m=1 kg的活塞密封一定質量的理想氣體,活塞可以在汽缸內無摩擦移動?;钊貌豢缮扉L的輕繩跨過兩個定滑輪與地面上質量M=3 kg的物塊連接。初始時,活塞與缸底的距離h0=40 cm,缸內氣體溫度T1=300 K,輕繩恰好處于伸直狀態(tài),且無拉力。已知大氣壓強p0=0.99×105 Pa,活塞橫截面積S=100 cm2,忽略一切摩擦,重力加速度g=10 m/s2?,F(xiàn)使缸內氣體溫度緩慢下降,則:
(1)(6分)當物塊恰好對地面無壓力時,求缸內氣體的溫度T2;
(2)(6分)當缸內氣體溫度降至T3=261.9 K時,求物塊上升高度Δh;已知整個過程缸內氣體內能減小121.2 J,求其放出的熱量Q。
答案 (1)291 K (2)4 cm 160 J
解析 (1)初始時,對活塞p0S+mg=p1S,
解得p1=1×105 Pa,
當物塊恰好對地面無壓力時,對活塞有p0S+mg=p2S+Mg,
解得p2=0.97×105 Pa,
對氣體,由等容變化可得p1T1=p2T2,
解得T2=291 K
(2)從物塊恰好離地到缸內氣體降至261.9 K過程,對氣體,由等壓變化可得V2T2=V3T3
即h0ST2=(h0-Δh)ST3
解得Δh=4 cm
整個降溫壓縮過程活塞對氣體做功為W=p2ΔV=p2SΔh=38.8 J
根據(jù)熱力學第一定律ΔU=W+Q
解得Q=-160 J
即放出熱量160 J。
2.(12分)(2024·黑吉遼·14)如圖,高度h=0.8 m的水平桌面上放置兩個相同物塊A、B,質量mA=mB=0.1 kg。A、B間夾一壓縮量Δx=0.1 m的輕彈簧,彈簧與A、B不拴接。同時由靜止釋放A、B,彈簧恢復原長時A恰好從桌面左端沿水平方向飛出,水平射程xA=0.4 m;B脫離彈簧后沿桌面滑行一段距離xB=0.25 m后停止。A、B均視為質點,取重力加速度g=10 m/s2。求:
(1)(4分)脫離彈簧時A、B的速度大小vA和vB;
(2)(4分)物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)μ;
(3)(4分)整個過程中,彈簧釋放的彈性勢能ΔEp。
答案 (1)1 m/s 1 m/s (2)0.2 (3)0.12 J
解析 (1)對A物塊由平拋運動知識得
h=12gt2,xA=vAt
代入數(shù)據(jù)解得,脫離彈簧時A的速度大小為
vA=1 m/s
對A、B物塊整體由動量守恒定律mAvA=mBvB
解得脫離彈簧時B的速度大小為
vB=1 m/s
(2)對物塊B由動能定理
-μmBgxB=0-12mBvB2
代入數(shù)據(jù)解得,物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)為
μ=0.2
(3)由能量守恒定律
ΔEp=12mAvA2+12mBvB2+μmAgΔxA+μmBgΔxB
其中mA=mB,Δx=ΔxA+ΔxB
解得整個過程中,彈簧釋放的彈性勢能
ΔEp=0.12 J。
3.(16分)(2024·新課標卷·26)一質量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子始終在同一水平面內運動,其速度可用如圖所示的直角坐標系內一個點P(vx,vy)表示,vx、vy分別為粒子速度在水平面內兩個坐標軸上的分量。粒子出發(fā)時P位于圖中a(0,v0)點,粒子在水平方向的勻強電場作用下運動,P點沿線段ab移動到b(v0,v0)點;隨后粒子離開電場,進入方向豎直、磁感應強度大小為B的勻強磁場,P點沿以O為圓心的圓弧移動至c(-v0,v0)點;然后粒子離開磁場返回電場,P點沿線段ca回到a點。已知任何相等的時間內P點沿圖中閉合曲線通過的曲線長度都相等,不計重力。求:
v
(1)(4分)粒子在磁場中做圓周運動的半徑和周期;
(2)(5分)電場強度的大??;
(3)(7分)P點沿圖中閉合曲線移動1周回到a點時,粒子位移的大小。
答案 (1)2mv0Bq 2πmBq (2)2Bv0
(3)(2-2)mv0Bq
解析 (1)粒子在磁場中做圓周運動時的速度為
v=v02+v02=2v0
根據(jù)洛倫茲力提供向心力Bqv=mv2r
得粒子做圓周運動的半徑為r=2mv0Bq
周期為T=2πrv=2πmBq
(2)根據(jù)題意,已知任何相等的時間內P點沿圖中閉合曲線通過的曲線長度都相等,由于曲線表示的為速度相應的曲線,
根據(jù)a=ΔvΔt可知任意點的加速度大小相等,
故可得Bq·2v0m=Eqm
解得E=2Bv0
(3)根據(jù)題意分析可知P點從b點到c點,粒子在磁場中轉過的角度為270°,繞一圈的過程中兩次在電場中運動,根據(jù)對稱性可知粒子的運動軌跡如圖所示,P點從a到b過程中粒子做類平拋運動,得
Eqmt=v0
故可得該段時間內沿y方向位移為L=v0t
根據(jù)幾何知識可得
ybc=2r
由粒子在兩次電場中運動的對稱性可知移動一周時粒子位移的大小為
yaa'=ybc-2L
聯(lián)立解得yaa'=(2-2)mv0Bq。
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