第1課時(shí) 平方根和算術(shù)平方根
【教學(xué)目標(biāo)】
[知識(shí)與技能]
1.了解平方根和算術(shù)平方根的概念；
2.會(huì)算出一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根及算術(shù)平方根；
3.了解平方與開(kāi)平方是互逆運(yùn)算.
[過(guò)程與方法]
通過(guò)學(xué)習(xí)平方根的概念，進(jìn)一步建立數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維.
[情感態(tài)度]
讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活，數(shù)學(xué)是有用的數(shù)學(xué)，是有價(jià)值的數(shù)學(xué)，所以要學(xué)好數(shù)學(xué).
【教學(xué)重點(diǎn)】
理解開(kāi)方與乘方是互逆運(yùn)算,會(huì)利用這個(gè)互逆運(yùn)算關(guān)系求某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根.
【教學(xué)難點(diǎn)】
了解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系.
【教學(xué)過(guò)程】
一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知
1.一個(gè)正方形桌面的邊長(zhǎng)是4m，求這個(gè)桌面的面積是多少平方米？
2.已知一個(gè)正方形的面積是25cm2，求它的邊長(zhǎng).
3.如果一個(gè)正方形展廳的地面面積為55平方米，求它的邊長(zhǎng).
[教學(xué)說(shuō)明]前兩個(gè)問(wèn)題學(xué)生能很快地回答出來(lái)，而第三個(gè)問(wèn)題學(xué)生解答有困難，引發(fā)了學(xué)生的思維困惑，激發(fā)了學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣.教師不直接告訴學(xué)生答案，表示學(xué)習(xí)了本節(jié)課的內(nèi)容我們就可以解決這類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生帶著問(wèn)題引入課堂.
二、思考探究，獲取新知
1.動(dòng)腦筋：某家庭在裝修兒童房時(shí)需鋪地墊10.8m2,剛好用去正方形的地墊30塊，你能算出每塊地墊的邊長(zhǎng)是多少嗎？
每塊地墊的面積是：
10.8÷30=0.36m2
即邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=0.36
由于0.62=0.36
因此面積為0.36m2的正方形地墊的邊長(zhǎng)是0.6m.
2.上面的問(wèn)題實(shí)際上是：已知冪及乘方的指數(shù)求底數(shù)，這是什么運(yùn)算？
[教學(xué)說(shuō)明]學(xué)生很容易想到是求乘方的逆運(yùn)算，進(jìn)而順勢(shì)引出平方根的概念.
[歸納結(jié)論]如果一個(gè)數(shù)r，使得r2=a,那么我們把r叫作a的一個(gè)平方根，也叫作二次方根.即：若r2=a，則r是a的一個(gè)平方根.如，由于22=4，因此2是4的一個(gè)平方根.
3.探究：4的平方根除了2以外，還有其它的數(shù)嗎？
[歸納結(jié)論]如果r是正數(shù)a的一個(gè)平方根，那么a的平方根有且只有兩個(gè)：r與-r.我們把正數(shù)a的正平方根叫作a的算術(shù)平方根，記作，讀作“根號(hào)a”；把a(bǔ)的負(fù)平方根記作-，讀作“負(fù)根號(hào)a”.這樣正數(shù)a的平方根可以用“±”來(lái)表示.
例如： 2的平方根是“±”.
4.零的平方根是多少？負(fù)數(shù)有平方根嗎？
[歸納結(jié)論]正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫作開(kāi)平方.
[教學(xué)說(shuō)明]形成“平方根”的概念.在列舉一些具體數(shù)據(jù)的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,由平方運(yùn)算反推出平方根的概念和定義，讓學(xué)生非常熟練地進(jìn)行平方和平方根之間的互化，并明白它們之間的互逆關(guān)系.
5.一個(gè)數(shù)的平方根與算術(shù)平方根有什么區(qū)別和聯(lián)系？
[歸納結(jié)論]平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別：
聯(lián)系：①包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根的一種.②存在條件相同:只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根.
區(qū)別：①個(gè)數(shù)不同：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，但只有一個(gè)算術(shù)平方根.②表示法不同：平方根表示為±，而算術(shù)平方根表示為.
[教學(xué)說(shuō)明]注重學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，與原有的概念進(jìn)行了比較與辨析.因此，學(xué)生對(duì)平方根和算術(shù)平方根概念掌握得比較牢靠,突出本節(jié)課的重點(diǎn).
三、運(yùn)用新知，深化理解
1.教材P107例1、例2.
2.下列五個(gè)命題：①只有正數(shù)才有平方根；②-2是4的平方根；③5的平方根是 ；④±都是3的平方根；⑤(-2)2的平方根是-2；其中正確的命題是（ D ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④
3.一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是a，則下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是（ D ）
A．a(chǎn)+1 B．a(chǎn)2+1
C．a(chǎn)+1 D．
4.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)有（ B ）
①1的平方根是1；②1是1的算術(shù)平方根；③(-1)2的平方根是-1；④0的算術(shù)平方根是它本身
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
5.下列計(jì)算正確的是（ A ）
A． =2
C.5=± D.±
6.（1）若m的平方根是±3，則m = ；
（2）若5x+4的平方根是±1，則x = .
答案：（1）9；（2）由5x+4 = 1得x =-
7.在下列各數(shù)中，-2,(-3)2，-32,,-()有平方根的數(shù)的個(gè)數(shù)為： .
答案：2個(gè)
8.若的算術(shù)平方根是3，則a =
答案：81
9.求下列各數(shù)的值：
答案：①.±12；②.±；③；④.0.1；⑤.－4；⑥.-；⑦.5；⑧.0.
10.小剛同學(xué)的房間地板面積為16m2，恰好由64塊正方形的地板磚鋪成，求每塊地板磚的邊長(zhǎng)是多少？
解：設(shè)每塊地板磚的邊長(zhǎng)為x米，
由題意得64·x2 = 16，即x2 ==，所以x =± (負(fù)的舍去)，即x =
答：邊長(zhǎng)為0.5米．
[教學(xué)說(shuō)明]這個(gè)環(huán)節(jié)圍繞本節(jié)課的內(nèi)容設(shè)置一組由淺入深的練習(xí)，來(lái)檢測(cè)學(xué)生的掌握情況.前部分習(xí)題較基礎(chǔ)鞏固知識(shí)點(diǎn)，后部分稍有拓展讓學(xué)有余力的學(xué)生思維得到拓展.在這個(gè)過(guò)程中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，由學(xué)生自己完成這些練習(xí)，在練習(xí)中享受學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.
四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)
先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié).教師作以補(bǔ)充.
[課后作業(yè)]
布置作業(yè):教材“習(xí)題3.1”中第1、2、3 題.
【教學(xué)后記】
第2課時(shí) 無(wú)理數(shù)
【教學(xué)目標(biāo)】
[知識(shí)與技能]
1.通過(guò)拼圖活動(dòng)，讓學(xué)生感受無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引入的必要性.
2.探索無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，并從中體會(huì)無(wú)限逼近的思想.
3.能判斷給出的數(shù)是否為無(wú)理數(shù)，并能說(shuō)出理由.
[過(guò)程與方法]
讓學(xué)生親自動(dòng)手做拼圖活動(dòng)，感受無(wú)理數(shù)存在的必要性和合理性，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和合作精神.
[情感態(tài)度]
了解有關(guān)發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的精神.
【教學(xué)重點(diǎn)】
會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否為無(wú)理數(shù).
【教學(xué)難點(diǎn)】
正確理解無(wú)理數(shù)的意義.
【教學(xué)過(guò)程】
一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知
講故事： 早在公元前，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為萬(wàn)物皆“數(shù)”，即“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”，也就是一切現(xiàn)象都可用有理數(shù)去描述.后來(lái)，這個(gè)學(xué)派中的一個(gè)叫希伯索斯的成員發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)不能用整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示， 他認(rèn)為在生活中還存在除有理數(shù)之外的另一種數(shù).
到底誰(shuí)的觀(guān)點(diǎn)正確呢？我們以前學(xué)的有理數(shù)范圍是否能滿(mǎn)足我們實(shí)際生活的需要呢？
這節(jié)課我們就共同來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.
[教學(xué)說(shuō)明]以故事引入新課首先能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)讓學(xué)生帶著問(wèn)題聽(tīng)講新課會(huì)收到良好的效果.
二、思考探究，獲取新知
1.做一做：如圖，將一個(gè)長(zhǎng)為4cm，寬為2cm的長(zhǎng)方形紙片剪拼成一個(gè)正方形，最后得到的這個(gè)正方形的面積是多少？它的邊長(zhǎng)是整數(shù)嗎？
[教學(xué)說(shuō)明]小組合作剪拼.小組合作，加強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí).
2.觀(guān)察下列結(jié)果：
2.82=7.84 2.92=8.41
2.822=7.9524 2.832=8.0089
2.8282=7.997584
2.8292=8.003241
……
從上述數(shù)據(jù)，你能猜想出面積為8的正方形的邊長(zhǎng)是多少嗎？
[歸納結(jié)論]既不是有限小數(shù)，也不是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，這種小數(shù)叫作無(wú)限不循環(huán)小數(shù).我們把無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫作無(wú)理數(shù).
3.你能列舉一些無(wú)理數(shù)嗎？無(wú)理數(shù)有沒(méi)有正負(fù)之分？
[教學(xué)說(shuō)明]通過(guò)探究、舉例、交流讓學(xué)生自己總結(jié)出什么是無(wú)理數(shù)，有利于培養(yǎng)學(xué)生自己解決問(wèn)題的能力.
三、運(yùn)用新知，深化理解
1.教材P110例3.
2.填空題.
（1）我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式(m、n是整數(shù)，n≠0)的數(shù)叫做 .
（2）有限小數(shù)和 都可以化為分?jǐn)?shù)，它們都是有理數(shù).
（3） 叫做無(wú)理數(shù).
（4）寫(xiě)出一個(gè)比-1大的負(fù)有理數(shù) .
答案：（1）有理數(shù) （2）無(wú)限循環(huán)小數(shù) （3）無(wú)限不循環(huán)小數(shù) （4）答案不唯一，如：-0.5
3.判斷題.
（1）無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的差都是有理數(shù)；
（2）無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)；
（3）無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)；
（4）兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù).
（5）有理數(shù)不一定是有限小數(shù).
答案：（1）錯(cuò)，如3π-0=3π.
（2）錯(cuò)，如：0.333….
（3）對(duì)，無(wú)理數(shù)的兩個(gè)前提條件之一無(wú)限.
（4）對(duì)，3π+（-3π）=0.
（5）對(duì)，如：0.333….
4.下列說(shuō)法正確的是：（ B ）
A.整數(shù)就是正整數(shù)和負(fù)整數(shù)
B.分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)
C.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù)
D.無(wú)限小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)
5.m，n分別是6-的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么2m-n的值是（ C ）
A.3- B.4-
C.6+ D.2+
6.的整數(shù)部分為 ，小數(shù)部分為 .
答案：5；-5.
7.滿(mǎn)足

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2.3 實(shí)數(shù)

版本： 湘教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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