TOC \ "1-3" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc160094594" 一、考情分析
二、知識建構(gòu)
\l "_Tc161669185" 考點一 圓的基本性質(zhì)證明與計算
\l "_Tc161669186" \l "_Tc160094596" \l "_Tc160094596" 【真題研析·規(guī)律探尋】
\l "_Tc161669187" 題型01 圓中的角度和線段計算問題
\l "_Tc161669188" 題型02 垂徑定理的實際應(yīng)用
\l "_Tc161669189" 題型03 與圓有關(guān)的弧長、扇形面積計算
\l "_Tc161669190" 題型04 求弓形面積或不規(guī)則圖形面積
\l "_Tc161669191" 題型05 正多邊形與圓的相關(guān)計算
\l "_Tc161669192" \l "_Tc160094604" 【核心提煉·查漏補缺】
\l "_Tc161669193" \l "_Tc160094605" 【好題必刷·強化落實】
\l "_Tc161669194" 考點二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
\l "_Tc161669195" \l "_Tc160094596" \l "_Tc160094596" 【真題研析·規(guī)律探尋】
\l "_Tc161669196" 題型01 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
\l "_Tc161669197" 題型02 切線的判定
\l "_Tc161669198" 題型03 三角形內(nèi)切圓、外接圓的相關(guān)計算
\l "_Tc161669199" 題型04 四點共圓
\l "_Tc161669200" 題型05 相交弦定理
\l "_Tc161669201" 題型06 切割線定理
\l "_Tc161669202" 題型07 割線定理
\l "_Tc161669203" 題型08 圓與相似綜合
\l "_Tc161669204" 題型09 圓與三角函數(shù)綜合
\l "_Tc161669205" \l "_Tc160094605" 【好題必刷·強化落實】
考點一 圓的基本性質(zhì)證明與計算
題型01 圓中的角度和線段計算問題
圓的基礎(chǔ)定理: 垂徑定理、圓周角定理、切線長定理的內(nèi)容和?？碱}型要熟悉，也要結(jié)合幾何圖形各自的特征，綜合應(yīng)用起來解決相關(guān)問題.
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.
圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（即：圓周角= 12 圓心角）
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.
推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．
垂徑定理模型（知二得三）
如圖，可得①AB過圓心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④AC=AD ⑤BC=BD
【總結(jié)】垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧，若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運用該定理.
常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長度；
2）有弦中點，連中點和圓心，得垂直平分.
【利用圓周角定理解題思路】
1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進行角的轉(zhuǎn)化.
2）在證明圓周角相等或弧相等時，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.
3）當已知圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角．
4）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉(zhuǎn)化等．
1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（ ）
A．2r，B．0，C．2r，D．0，
【答案】D
【分析】如圖，連接．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可．
【詳解】解：如圖，連接．
∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
2．（2023·湖南·中考真題）如圖，點A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點D，連接，則的長度為 ．
【答案】1
【分析】連接，利用圓周角定理及垂徑定理易得，則，結(jié)合已知條件，利用直角三角形中角對的直角邊等于斜邊的一半即可求得答案．
【詳解】解：如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：1．
【點睛】本題考查圓與直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合已知條件求得是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇·中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑 ．

【答案】
【分析】連接，，根據(jù)在同圓中直徑所對的圓周角是可得，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系可得，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：連接，，如圖：

∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
故答案為：．
【點睛】本題考查了在同圓中直徑所對的圓周角是，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖北·中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則 ．

【答案】/度
【分析】如圖所示，連接，設(shè)交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，再由切線長定理得到，進而推出是的垂直平分線，即，則．
【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于H，
∵是的內(nèi)切圓，
∴分別是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵與分別相切于點，，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分線，
∴，即，
∴，
故答案為：．

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
題型02 垂徑定理的實際應(yīng)用
1．（2023·山東東營·中考真題）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達為：如圖，是的直徑，弦于點E，寸，寸，則直徑長為 寸．
【答案】26
【分析】證明E為的中點，可得，設(shè)，則，，由勾股定理得：，可得，再解方程可得答案．
【詳解】解：∵弦，為的直徑，
∴E為的中點，
又∵（寸），
∴（寸），
設(shè)（寸），
則（寸），寸，
由勾股定理得：，
即，
解得，
∴（寸），
故答案為：26．
【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟練的利用垂徑定理解決問題是關(guān)鍵．
2．（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高AB＝20cm，底面直徑BC＝12cm，球的最高點到瓶底面的距離為32cm，則球的半徑為 cm（玻璃瓶厚度忽略不計）．
【答案】7.5
【分析】如詳解中圖所示，將題中主視圖做出來，用垂徑定理、勾股定理計算即可.
【詳解】如下圖所示，設(shè)球的半徑為rcm，
則OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG過圓心，且垂直于AD，
∴G為AD的中點，
則AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解方程得r=7.5，
則球的半徑為7.5cm．
【點睛】本題考查了主視圖、垂徑定理和勾股定理的運用，準確做出立體圖形的主視圖是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·湖南·中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．
問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為r的．如圖②，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處．（參考數(shù)據(jù)，）

問題解決：
(1)求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時，的度數(shù)；
(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離．（結(jié)果精確到米）
【答案】(1)；
(2)該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離為米．
【分析】（1）先求得該盛水筒的運動速度，再利用周角的定義即可求解；
（2）作于點C，在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得的長，在中，利用勾股定理求得的長，據(jù)此即可求解．
【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，
∴每秒旋轉(zhuǎn)，
當經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處時，，
∵，
∴；
（2）解：作于點C，設(shè)與水平面交于點D，則，

在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離為米．
【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
題型03 與圓有關(guān)的弧長、扇形面積計算
設(shè)⊙O QUOTE 的半徑為R，n° QUOTE 圓心角所對弧長為l，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則
1） 利用弧長公式計算弧長時，應(yīng)先確定弧所對的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結(jié)果．在弧長公式l=nπR180 中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量．
2）在利用扇形面積公式求面積時，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長，然后直接代入公式S扇形= nπR2 360或 S扇形 = 12lR中求解即可．
3）扇形面積公式S扇形= 12lR 與三角形面積公式十分類似為了便于記憶，只要把扇形看成一個曲邊三角形、把弧長l看成底，R看成底邊上的高即可.
4）根據(jù)扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，l，n，R中的任意兩個量，都可以求出另外兩個量．
5）在解決有關(guān)圓錐及其側(cè)面展開圖的計算題時，常借助圓錐底面圓的周長等于側(cè)面展開圖扇形的弧長，即2πr=nπR180，來建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線R和側(cè)面展開圖扇形圓心角n°之間的關(guān)系，有時也根據(jù)圓錐的側(cè)面積計算公式來解決問題．
6）求弧長或扇形的面積問題常結(jié)合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側(cè)面展開即為扇形，而這個扇形的弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長．注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開后的扇形半徑兩個概念．
1．（2023·江蘇·中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得這個幾何體為圓錐，然后求出圓錐的母線長為，再根據(jù)圓錐的側(cè)面（扇形）面積公式，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：這個幾何體為圓錐，
如圖，過點作于點，

根據(jù)題意得：，，，
∴，
∴，
即圓錐的母線長為，
∴這個幾何體的側(cè)面積是．
故選：B
【點睛】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，求圓錐的側(cè)面積，根據(jù)題意得到這個幾何體為圓錐是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·湖南·中考真題）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側(cè)面展開圖中的長為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)底面周長等于的長，即可求解．
【詳解】解：依題意，的長，
故選：C．
【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，熟練掌握圓錐底面周長等于的長是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，扇形的半徑為2，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，，則的長 ．（結(jié)果保留）

【答案】/
【分析】本題考查弧長的計算，關(guān)鍵是掌握弧長公式．由等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，由弧長公式即可計算．
【詳解】解：由作圖知∶垂直平分，
扇形的半徑是2，
故答案為∶．
4．（2023·山東濟南·中考真題）如圖，正五邊形的邊長為，以為圓心，以為半徑作弧，則陰影部分的面積為 （結(jié)果保留）．

【答案】
【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出的度數(shù)，利用扇形面積公式計算即可．
【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式是解答本題的關(guān)鍵．
題型04 求弓形面積或不規(guī)則圖形面積
【陰影部分面積求解問題簡介】求陰影部分面積時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：
1．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得的長，勾股定理求得的長，進而根據(jù)即可求解．
【詳解】如圖，連接, ，

邊長為的正方形內(nèi)接于，即，
，，為的直徑，，
，分別與相切于點和點，
，
四邊形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
，
．
故選C．
【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·四川成都·中考真題）為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準備在一個場館進行川劇演出．該場館底面為一個圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納 名觀眾同時觀看演出．（取3.14，取1.73）

【答案】184
【分析】過點O作的垂線段，交于點，根據(jù)直角三角形的邊長關(guān)系求出的角度，陰影面積即為扇形的面積減去三角形的面積，隨機可以求出容納觀眾的數(shù)量．
【詳解】解：如圖，過點O作的垂線段，交于點，

圓心O到欄桿的距離是5米，
米，
，
，米，
，
，
，
可容納的觀眾
陰影部分面積（人），
最多可容納184名觀眾同時觀看演出，
故答案為：184．
【點睛】本題考查了弓形的面積，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，熟知扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，正方形ABCD的邊長是4，分別以點A，B，C，D為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是 （結(jié)果保留）.

【答案】/
【分析】分析出陰影面積正方形面積圓的面積，再利用相應(yīng)的面積公式計算即可．
【詳解】解：由圖得，陰影面積正方形面積個扇形面積，
即陰影面積正方形面積圓的面積，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了扇形面積的求法，正方形面積及圓的面積的求法是解題關(guān)鍵．
4．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點，并與兩腰，分別相交于，兩點，連接，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而可得和都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解答；
（2）連接交于點，利用菱形的性質(zhì)可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的長，從而求出的長，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，進行計算即可解答．
【詳解】（1）證明：連接，

和底邊相切于點，
，
，，
，
，，
和都是等邊三角形，
，，
，
四邊形是菱形；
（2）解：連接交于點，

四邊形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積
，
圖中陰影部分的面積為．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計算，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，在等腰直角中，，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用扇形的面積公式求出扇形和扇形的面積，再減去的面積即可得．
【詳解】解：是等腰直角三角形，
，
，
∴圖中陰影部分的面積是
，
故選：C．
【點睛】本題考查了扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．
題型05 正多邊形與圓的相關(guān)計算
正多邊形的常用公式
【解題思路】正多邊形與圓的計算問題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，而每個直角三角形都集中地反映了這個正n邊形各元素間的關(guān)系，故可以把正n邊形的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計算．
1．（2022·山東青島·中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點M在上，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可．
【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：

∵正六邊形內(nèi)接于，
∴∠COD= =60°，則∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故選：D．
【點睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正n多邊形的中心角為是解答的關(guān)鍵．
2．（2022·吉林·中考真題）第二十四屆北京冬奧會入場式引導牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為 度．（寫出一個即可）
【答案】60或120或180或240或300（寫出一個即可）
【分析】如圖（見解析），求出圖中正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可得．
【詳解】解：這個圖案對應(yīng)著如圖所示的一個正六邊形，它的中心角，
，
角可以為或或或或，
故答案為：60或120或180或240或300（寫出一個即可）．
【點睛】本題考查了正多邊形的中心角、圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）如果一個正多邊形的中心角是，那么這個正多邊形的邊數(shù)為 ．
【答案】18
【分析】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為進行計算即可得到答案．
【詳解】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為，
則，
故這個正多邊形的邊數(shù)為18，
故答案為：18．
【點睛】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和中心角的知識，掌握中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵．
圓的對稱性
弧、弦、圓心角的關(guān)系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.
推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等.
【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對的弦相等，所對的圓心角、圓周角也都相等．運用這些相等關(guān)系，可以實現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化．
1）圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化.
2）圓周角和圓周角可利用其“橋梁”——圓心角來轉(zhuǎn)化.
3）圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角.
圓內(nèi)接四邊形
性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對角互補.
2) 圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角.
正多邊形常見邊心距與邊長的比值
【備注】正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.
一、單選題
1．（2023·遼寧大連·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，根據(jù)圓周角定理得出，求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，即可求解．
【詳解】解：，
，
四邊形內(nèi)接于，
，
故選：A．
2．（2023·青海西寧·二模）一個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)求得該幾何體的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判斷這個幾何體為圓錐，同時得到圓錐的母線長為，底面圓的直徑為，然后利用扇形的面積公式計算這個圓錐的側(cè)面積．
本題考查了由三視圖判斷幾何體，圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
【詳解】解：由三視圖得這個幾何體為圓錐，圓錐的母線長為，底面圓的直徑為，
所以這個幾何體的側(cè)面積
故選：C．
3．（2023·湖北武漢·一模）如圖，為四邊形的內(nèi)切圓，，，，則的半徑為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】過點作于點，設(shè)與圓的切點為，與圓的切點為，與圓的切點為，與圓的切點為，連接，，，得四邊形，四邊形都是正方形，四邊形是矩形，設(shè)圓半徑為，則，，根據(jù)切線長定理和勾股定理列方程即可求解．
【詳解】解：過點作于點，設(shè)與圓的切點為，與圓的切點為，與圓的切點為，與圓的切點為，連接，，，如圖，則：，

，
四邊形，四邊形都是正方形，
∴，
∴，
∴點、、三點共線，
∴四邊形是矩形，
，，
∵點、、是切點，
，，
設(shè)圓半徑為，則，，
，，
，
，
解得：，
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理，勾股定理，充分利用切線長定理求解相關(guān)線段長度是解題關(guān)鍵．
4．（2023·貴州黔東南·二模）如圖，在平行四邊形中，，以為直徑的恰好經(jīng)過點，交于點，當點為的中點時，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．平分B．
C．D．的長為
【答案】B
【分析】本題考查了圓的相關(guān)計算，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定、圓周角定理、弧長公式和扇形面積公式計算即可，熟練掌握弧長公式和扇形面積公式是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，連接、，作于，
，
點為的中點，
，
，
平分，故A正確，不符合題意；
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，故C正確，不符合題意；
，
，
，
，故B錯誤，不符合題意；
，故D正確，符合題意；
故選：B．
5．（2023·江蘇蘇州·一模）已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為，則它的周長為 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了正多邊形和圓、等邊三角形及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)已知得出六邊形是邊長等于正六邊形的半徑是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出圖形，利用正六邊形中的等邊三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如圖，連接、，；
六邊形是邊長等于正六邊形的半徑，設(shè)正六邊形的半徑為，
是等邊三角形，
，
，
解得，
它的周長．
故答案為：．
6．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，延長正五邊形各邊，使得，若，則的度數(shù)為 ．

【答案】/36度
【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，可求出正五邊形的每個內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出是等腰三角形，并求出各個內(nèi)角度數(shù)，由全等三角形的性質(zhì)可求出答案．
【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，
∴ ，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，即五邊形是正五邊形，
在中，，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正多邊形的圓，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，掌握正五邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提．
7．（2023·浙江杭州·三模）如圖，與分別相切于點A，B，，，則 ．

【答案】3
【分析】先判斷出，進而判斷出是等邊三角形，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵與分別相切于點A，B，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴．
故答案為：3．
【點睛】本題主要考查了切線長定理，判斷出是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·北京西城·一模）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞.如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為，地面入口寬為，求該門洞的半徑
【答案】1.3
【分析】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．設(shè)半徑為，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)圓的半徑為，
由題意可知，，，
中，，，
所以，
解得．
故答案為：1.3
9．（2023·浙江舟山·二模）如圖，和是兩個完全重合的直角三角板，，斜邊長為三角板繞直角頂點順時針旋轉(zhuǎn)，當點落在邊上時，則點所轉(zhuǎn)過的路徑長為 ．

【答案】
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求弧長，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和和含度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，于是可判斷為等邊三角形，所以，然后根據(jù)弧長公式計算弧的長度即可．
【詳解】解：，，，
， ，
三角板繞直角頂點順時針旋轉(zhuǎn)，點落在邊上，
∴，
∴為等邊三角形，
∴
弧的長度，
即點所轉(zhuǎn)過的路徑長．
故答案為：．
10．（2023·河南周口·二模）如圖所示的是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開，將扇形沿向右平移至扇形，如圖，其中點與點重合，點與點重合，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】連接，作于點，，即可求得弧和以及圍成的重疊部分的面積，則重疊部分的面積即可求得．
本題考查了扇形的面積的計算，正確理解不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和、差計算是關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，作于點．
，
，
，
，
在直角中，，
則，
則弧和以及圍成的陰影部分的面積是：，
則．
故答案是：．
11．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）某數(shù)學小組在一個半徑為2的圓形場地上做探究實踐活動．

（1）如圖1，小組將圓形場地分為12等份．機器人從一個點到另外一個點均是直線行走．
①機器人從點走到點的路程為 ；
②機器人從點到點走了兩條不同的路線．路線1：；路線2：，路線1的長記為，路線2的長記為，則 ；（填“>”“
【分析】(1) ①根據(jù)中心角為，結(jié)合從點走到點其路徑對的圓心角為，根據(jù)半徑為2計算即可．
②根據(jù)中心角為，得到繼而判定都是等邊三角形，，得到；根據(jù)，得到為圓的直徑，根據(jù)中心角為，得到，，
得到即，比較大小即可．
（2）設(shè)多邊形的中心角為，當轉(zhuǎn)到時，,，根據(jù)，求得，再計算即可．
【詳解】(1) ①∵中心角為，
∴從點走到點其路徑對的圓心角為，
∵，
∴，
故答案為：．
②根據(jù)中心角為，
∴，
∴都是等邊三角形，
∴，
∴；
∵
∴，
∴為圓的直徑，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
（2）設(shè)多邊形的中心角為，當轉(zhuǎn)到時，,，
∵，
∴，
解得，
∵半徑相等，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了中心角的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，無理數(shù)的估算，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握中心角的計算是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·山東菏澤·二模）如圖1，為的圓心，、為上的兩點，且，連接并延長，與的延長線相交于點．
(1)求證：；
(2)如圖2，連接、、，與、分別交于點、．若的直徑為10，，請求出的值．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)及勾股定理．
（1）連接，由得，根據(jù)圓周角定理，再由直角三角形性質(zhì)得，即可得結(jié)論；
（2）連接交于點，由等腰三角形的性質(zhì)不難得出，再利用垂徑定理和勾股定理求出，最后由三角形的中位線可得，具體見詳解．
【詳解】（1）證明：如圖1，連接
是的直徑
（2）
如圖2，連接交于點
的直徑為10，
，
設(shè)，則
在和中
，
即
解得：
，
13．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知在中，，點是內(nèi)心，連接，且，現(xiàn)將以B為圓心順時針旋轉(zhuǎn)到邊與邊所在直線重合，點落在點處，將以為圓心逆時針旋轉(zhuǎn)到邊與邊所在直線重合，點落在點處．

(1)求證：和所在的直線；
(2)求線段的長度；
(3)在⊙中，求以為圓心角的扇形與以為圓心角的扇形和以為圓心角的扇形面積之比是多少？
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）連接，過點O作，過作于，過作于，由內(nèi)心的性質(zhì)得點O到三角形三邊的距離相等，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則可得四邊形是矩形，從而可得結(jié)論成立；
（2）易得四邊形是矩形，則有，利用切線長定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（3）由角平分線的性質(zhì)可分別求得三個角的度數(shù)，從而可求得以它們?yōu)閳A心角的扇形的面積比．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，過點O作，過作于，過作于，
由內(nèi)心的性質(zhì)得：，
由旋轉(zhuǎn)知：，
∴，
∵，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴；

（2）解：由（1）知，點在矩形的邊上，且，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵是的內(nèi)切圓，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)知：，
∴，
∵中，，，
∴，
由勾股定理得,
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，平分，
∴，，，
∴，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則以為圓心角的扇形與以為圓心角的扇形和以為圓心角的扇形面積之比是：．
【點睛】本題是圓的綜合問題，考查了內(nèi)心及其性質(zhì)、矩形的判定，切線長定理，扇形面積，三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，靈活運用內(nèi)心及其性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·河北邯鄲·二模）摩天輪（如圖1）是游樂場中受歡迎的游樂設(shè)施之一，它可以看作一個大圓和六個全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過頂部掛點（如點P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點和小圓圓心連線（如）始終垂直于水平線l．

(1)________°
(2)若，的半徑為10，小圓的半徑都為1：
①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，圓心M與l的最大距離為________；
②當圓心H到l的距離等于時，求的長；
③求證：在旋轉(zhuǎn)過程中，的長為定值，并求出這個定值．
【答案】(1)60
(2)①25；②；③的長為定值，定值為10．
【分析】（1）將平均分6份即可；
（2）①當圓心M在的延長線上時，圓心M與l有最大距離，據(jù)此即可求解；
②設(shè)的掛點為K，過點H作于點T，先證四邊形是矩形，再用勾股定理解即可；
③先證是等邊三角形，再證是平行四邊形，可得．
【詳解】（1）解：，
故答案為：60；
（2）解：①當圓心M在的延長線上時，圓心M與l有最大距離，
最大距離為，
故答案為：25；
②如圖，設(shè)的掛點為K，過點H作于點T，

∵掛點和小圓圓心連線始終垂直于水平線l，
∴K，H，T在同一直線上，
∵圓心H到l的距離等于，
∴，
∵，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴；
③證明：如圖所示，連接，，

由（1）知，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵小圓的半徑都為1，掛點和小圓圓心連線始終垂直于水平線l，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴的長為定值．
【點睛】本題考查圓的基本知識，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意抽象出數(shù)學模型．
15．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）【發(fā)現(xiàn)問題】

“速疊杯”是深受學生喜愛的一項運動，杯子的疊放方式如圖1所示：每層都是杯口朝下排成一行，自下向上逐層遞減一個杯子，直至頂層只有一個杯子．愛思考的小麗發(fā)現(xiàn)疊放所需杯子的總數(shù)隨著第一層（最底層）杯子的個數(shù)變化而變化．
【提出問題】
疊放所需杯子的總數(shù)y與第一層杯子的個數(shù)x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
【分析問題】
小麗結(jié)合實際操作和計算得到下表所示的數(shù)據(jù)：
然后在平面直角坐標系中，描出上面表格中各對數(shù)值所對應(yīng)的點，得到圖2，小麗根據(jù)圖2中點的分布情況，猜想其圖象是二次函數(shù)圖象的一部分；為了驗證自己的猜想，小麗從“形”的角度出發(fā)，將要計算總數(shù)的杯子用黑色圓表示（如圖3），再借助“補”的思想，補充相同數(shù)量的白色圓，使每層圓的數(shù)量相同，進而求出與的關(guān)系式．
【解決問題】
（1）直接寫出與的關(guān)系式；
（2）現(xiàn)有個杯子，按【發(fā)現(xiàn)問題】中的方式疊放，求第一層杯子的個數(shù)；
（3）杯子的側(cè)面展開圖如圖4所示，，分別為上、下底面圓的半徑，所對的圓心角，．將這樣足夠數(shù)量的杯子按【發(fā)現(xiàn)問題】中的方式疊放，但受桌面長度限制，第一層擺放杯子的總長度不超過，求杯子疊放達到的最大高度和此時杯子的總數(shù)．（提示：杯子下底面圓周長與AB的長度相等）
【答案】（1）（2）第一層杯子的個數(shù)為個；（3）杯子疊放達到的最大高度為和此時杯子的總數(shù)為個
【分析】（1）根據(jù)題意，將要計算總數(shù)的杯子用黑色圓表示（如圖3），再借助“補”的思想，補充相同數(shù)量的白色圓，使每層圓的數(shù)量相同，進而求出與的關(guān)系式；
（2）將代入（1）中的解析，即可求解；
（3）根據(jù)弧長公式先求得，根據(jù)題意列出不等式求得第一層擺放杯子個，進而求得總數(shù)，根據(jù)得出，勾股定理求得的長，利用相似三角形的性質(zhì)得出的長，進而即可求解．
【詳解】解：（1）依題意，；
（2）當時，，
解得：（舍去），
答：第一層杯子的個數(shù)為個；
（3）∵，，
解得：；
∵第一層擺放杯子的總長度不超過，
設(shè)第一層杯子的個數(shù)為個，則，
解得：，取最大值為，
即第一層擺放杯子個，杯子的層數(shù)也是，
∴杯子的總數(shù)為（個），
在圖4中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴最大高度為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求弧長，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
考點二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
題型01 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1. 點和圓的位置關(guān)系
已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，則：
【說明】掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點與圓的位置關(guān)系．
2. 直線和圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：
【小技巧】判斷點與圓之間的位置關(guān)系，將該點的圓心距與半徑作比較即可．
3. 圓和圓之間的位置關(guān)系
設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：
1. 由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，當題目中未給出具體圖形時，要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，并進行分類討論，否則比較容易漏解．
2. 經(jīng)過一個點作圓,圓心的位置具有任意性；經(jīng)過兩個點作圓,圓心的位置就有了規(guī)律性,即圓心位于兩點連線的垂直平分線上.
3. 直線和圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的公共點的個數(shù)來研究；也可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來研究，這兩個角度的論述其實是等價的.
4. 圓與圓之間的有些位置關(guān)系有兩種情況，做題時要分類討論，防止漏解：①兩圓沒有交點：外離或內(nèi)含；②兩圓有一個交點：外切或內(nèi)切；③兩圓有兩個交點：兩圓心在公共弦同側(cè)或異側(cè)．
1．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知長方形中，，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點與圓A的位置關(guān)系是（ ）
A．點C在圓A外，點D在圓A內(nèi)B．點C在圓A外，點D在圓A外
C．點C在圓A上，點D在圓A內(nèi)D．點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外
【答案】C
【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點D、點E到圓心的距離即可
【詳解】
∵圓A與圓B內(nèi)切，，圓B的半徑為1
∴圓A的半徑為5
∵ r? 點P在圓外
點在圓上
點在圓周上
d = r? 點P在圓上
點在圓內(nèi)

點在圓的內(nèi)部
d < r? 點P在圓內(nèi)
位置關(guān)系
圖形
公共點個數(shù)
性質(zhì)及判定
相離
沒有公共點
d > r?直線l與⊙O相離
相切
有唯一公共點
d = r?直線l與⊙O相切
相交
有兩個公共點
d < r?直線l與⊙O相交
位置關(guān)系
圖形
公共點個數(shù)
性質(zhì)及判定
外離
無
d>R+r?兩圓外離
外切
1個切點
d=R+r?兩圓外切
相交
兩個交點
R-r

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中考數(shù)學專題復習 重難題型突破 題型三　圓的相關(guān)證明與計算練習(含解析)

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