TOC \ "1-3" \n \p " " \h \z \u 一、考情分析
二、知識(shí)建構(gòu)
\l "_Tc161669185" 考點(diǎn)一 圓的基本性質(zhì)證明與計(jì)算
\l "_Tc161669186" \l "_Tc160094596" 【真題研析·規(guī)律探尋】
\l "_Tc161669187" 題型01 圓中的角度和線段計(jì)算問題
\l "_Tc161669188" 題型02 垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc161669189" 題型03 與圓有關(guān)的弧長(zhǎng)、扇形面積計(jì)算
\l "_Tc161669190" 題型04 求弓形面積或不規(guī)則圖形面積
\l "_Tc161669191" 題型05 正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算
\l "_Tc161669192" 【核心提煉·查漏補(bǔ)缺】
\l "_Tc161669193" 【好題必刷·強(qiáng)化落實(shí)】
\l "_Tc161669194" 考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
\l "_Tc161669195" \l "_Tc160094596" 【真題研析·規(guī)律探尋】
\l "_Tc161669196" 題型01 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
\l "_Tc161669197" 題型02 切線的判定
\l "_Tc161669198" 題型03 三角形內(nèi)切圓、外接圓的相關(guān)計(jì)算
\l "_Tc161669199" 題型04 四點(diǎn)共圓
\l "_Tc161669200" 題型05 相交弦定理
\l "_Tc161669201" 題型06 切割線定理
\l "_Tc161669202" 題型07 割線定理
\l "_Tc161669203" 題型08 圓與相似綜合
\l "_Tc161669204" 題型09 圓與三角函數(shù)綜合
\l "_Tc161669205" 【好題必刷·強(qiáng)化落實(shí)】
考點(diǎn)一 圓的基本性質(zhì)證明與計(jì)算
題型01 圓中的角度和線段計(jì)算問題
圓的基礎(chǔ)定理: 垂徑定理、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理的內(nèi)容和?？碱}型要熟悉，也要結(jié)合幾何圖形各自的特征，綜合應(yīng)用起來解決相關(guān)問題.
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（即：圓周角= 12 圓心角）
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.
推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.
切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．
垂徑定理模型（知二得三）
如圖，可得①AB過圓心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④AC=AD ⑤BC=BD
【總結(jié)】垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧，若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，簡(jiǎn)稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理.
常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長(zhǎng)度；
2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.
【利用圓周角定理解題思路】
1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化.
2）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.
3）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角．
4）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等．
1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（ ）
A．2r，B．0，C．2r，D．0，
2．（2023·湖南·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點(diǎn)D，連接，則的長(zhǎng)度為 ．
3．（2023·江蘇·中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑 ．

4．（2023·湖北·中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則 ．

題型02垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
1．（2023·山東東營·中考真題）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之、深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達(dá)為：如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，寸，寸，則直徑長(zhǎng)為 寸．
2．（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，將一個(gè)球放置在圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高AB＝20cm，底面直徑BC＝12cm，球的最高點(diǎn)到瓶底面的距離為32cm，則球的半徑為 cm（玻璃瓶厚度忽略不計(jì)）．
3．（2023·湖南·中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．
問題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的．如圖②，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)時(shí)，某盛水筒恰好位于水面A處，此時(shí)，經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．（參考數(shù)據(jù)，）

問題解決：
(1)求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)，的度數(shù)；
(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離．（結(jié)果精確到米）
題型03 與圓有關(guān)的弧長(zhǎng)、扇形面積計(jì)算
設(shè)⊙O QUOTE 的半徑為R，n° QUOTE 圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則
1） 利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)先確定弧所對(duì)的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結(jié)果．在弧長(zhǎng)公式l=nπR180 中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量．
2）在利用扇形面積公式求面積時(shí)，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長(zhǎng)，然后直接代入公式S扇形= nπR2 360或 S扇形 = 12lR中求解即可．
3）扇形面積公式S扇形= 12lR 與三角形面積公式十分類似為了便于記憶，只要把扇形看成一個(gè)曲邊三角形、把弧長(zhǎng)l看成底，R看成底邊上的高即可.
4）根據(jù)扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式，已知S扇形，l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出另外兩個(gè)量．
5）在解決有關(guān)圓錐及其側(cè)面展開圖的計(jì)算題時(shí)，常借助圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)，即2πr=nπR180，來建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線R和側(cè)面展開圖扇形圓心角n°之間的關(guān)系，有時(shí)也根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式來解決問題．
6）求弧長(zhǎng)或扇形的面積問題常結(jié)合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側(cè)面展開即為扇形，而這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于原圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于原圓錐的母線長(zhǎng)．注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開后的扇形半徑兩個(gè)概念．
1．（2023·江蘇·中考真題）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是（ ）．

A．B．C．D．
2．（2023·湖南·中考真題）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中的長(zhǎng)為（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，扇形的半徑為2，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，，則的長(zhǎng) ．（結(jié)果保留）

4．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為，以為圓心，以為半徑作弧，則陰影部分的面積為 （結(jié)果保留）．

題型04 求弓形面積或不規(guī)則圖形面積
【陰影部分面積求解問題簡(jiǎn)介】求陰影部分面積時(shí)，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：
1．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·四川成都·中考真題）為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準(zhǔn)備在一個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行川劇演出．該場(chǎng)館底面為一個(gè)圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納 名觀眾同時(shí)觀看演出．（取3.14，取1.73）

3．（2023·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，分別以點(diǎn)A，B，C，D為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是 （結(jié)果保留）.

4．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點(diǎn)，并與兩腰，分別相交于，兩點(diǎn)，連接，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
5．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，在等腰直角中，，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A．B．C．D．
題型05 正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算
正多邊形的常用公式
【解題思路】正多邊形與圓的計(jì)算問題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形，而每個(gè)直角三角形都集中地反映了這個(gè)正n邊形各元素間的關(guān)系，故可以把正n邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計(jì)算．
1．（2022·山東青島·中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)M在上，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
2．（2022·吉林·中考真題）第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為 度．（寫出一個(gè)即可）
3．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）如果一個(gè)正多邊形的中心角是，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為 ．
圓的對(duì)稱性
弧、弦、圓心角的關(guān)系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等.
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等.
【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓心角、圓周角也都相等．運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化．
1）圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
2）圓周角和圓周角可利用其“橋梁”——圓心角來轉(zhuǎn)化.
3）圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角.
圓內(nèi)接四邊形
性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).
2) 圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.
正多邊形常見邊心距與邊長(zhǎng)的比值
【備注】正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.
一、單選題
1．（2023·遼寧大連·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·青海西寧·二模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)求得該幾何體的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·湖北武漢·一模）如圖，為四邊形的內(nèi)切圓，，，，則的半徑為（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·貴州黔東南·二模）如圖，在平行四邊形中，，以為直徑的恰好經(jīng)過點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．平分B．
C．D．的長(zhǎng)為
5．（2023·江蘇蘇州·一模）已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為，則它的周長(zhǎng)為 ．
6．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，延長(zhǎng)正五邊形各邊，使得，若，則的度數(shù)為 ．

7．（2023·浙江杭州·三模）如圖，與分別相切于點(diǎn)A，B，，，則 ．

8．（2023·北京西城·一模）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞.如圖，某地園林中的一個(gè)圓弧形門洞的高為，地面入口寬為，求該門洞的半徑
9．（2023·浙江舟山·二模）如圖，和是兩個(gè)完全重合的直角三角板，，斜邊長(zhǎng)為三角板繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，則點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的路徑長(zhǎng)為 ．

10．（2023·河南周口·二模）如圖所示的是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開，將扇形沿向右平移至扇形，如圖，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則圖中陰影部分的面積為 ．
11．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)小組在一個(gè)半徑為2的圓形場(chǎng)地上做探究實(shí)踐活動(dòng)．

（1）如圖1，小組將圓形場(chǎng)地分為12等份．機(jī)器人從一個(gè)點(diǎn)到另外一個(gè)點(diǎn)均是直線行走．
①機(jī)器人從點(diǎn)走到點(diǎn)的路程為 ；
②機(jī)器人從點(diǎn)到點(diǎn)走了兩條不同的路線．路線1：；路線2：，路線1的長(zhǎng)記為，路線2的長(zhǎng)記為，則 ；（填“>”“r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：
1. 由于圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，當(dāng)題目中未給出具體圖形時(shí)，要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，并進(jìn)行分類討論，否則比較容易漏解．
2. 經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)作圓,圓心的位置具有任意性；經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)作圓,圓心的位置就有了規(guī)律性,即圓心位于兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.
3. 直線和圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來研究；也可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來研究，這兩個(gè)角度的論述其實(shí)是等價(jià)的.
4. 圓與圓之間的有些位置關(guān)系有兩種情況，做題時(shí)要分類討論，防止漏解：①兩圓沒有交點(diǎn)：外離或內(nèi)含；②兩圓有一個(gè)交點(diǎn)：外切或內(nèi)切；③兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)：兩圓心在公共弦同側(cè)或異側(cè)．
1．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知長(zhǎng)方形中，，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)與圓A的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi)B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外
C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi)D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外
2．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知平面內(nèi)有和點(diǎn)，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相交C．相切D．相交或相切
3．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，等圓和相交于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過的圓心，若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·四川德陽·中考真題）已知的半徑為，的半徑為，圓心距，如果在上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是 ．
5．（2021·四川遂寧·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點(diǎn)P到直線Ax＋By＋C＝0的距離可用公式來計(jì)算．
例如：求點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因?yàn)橹本€y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：．
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）求點(diǎn)M（0，3）到直線的距離；
（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r ＝ 4，判斷⊙M與直線的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長(zhǎng)為n，求n的值；若不相交，說明理由．
題型02切線的判定
1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）（1）如圖，是的直徑，與交于點(diǎn)F，弦平分，點(diǎn)E在上，連接、，________．求證：________．

從①與相切；②中選擇一個(gè)作為已知條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，將題目補(bǔ)充完整（填寫序號(hào)），并完成證明過程．
（2）在（1）的前提下，若，，求陰影部分的面積．
2．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E， 與相切于點(diǎn)D．
(1)求證：是的切線；
(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．
3．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖1，點(diǎn)為等邊的重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，，，

(1)求證：四邊形為菱形．
(2)如圖2，以點(diǎn)為圓心，為半徑作
①判斷直線與的位置關(guān)系，并予以證明．
②點(diǎn)為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：為定值．
題型03 三角形內(nèi)切圓、外接圓的相關(guān)計(jì)算
常見結(jié)論
1）三角形內(nèi)切圓半徑公式：r=2SC，其中S為三角形的面積；C為三角形的周長(zhǎng).
2）特殊的直角三角形內(nèi)切圓半徑公式：r=a+b?c2或r=aba+b+c，其中a，b為直角三角形的直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng).
【解題思路】解三角形的內(nèi)切圓問題，通常分別連接．內(nèi)切圓的圓心與切點(diǎn)、圓心與三角形的頂點(diǎn)來構(gòu)造直角三角形，以便利用直角三角形的知識(shí)進(jìn)行求解．
1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長(zhǎng)為21，則的長(zhǎng)為（ ）

A．8B．4C．3.5D．3
2．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，點(diǎn)O是外接圓的圓心，點(diǎn)I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
3．（2022·山東淄博·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．（2022·廣西玉林·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，各小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是的外心，在不添加其他字母的情況下，則除外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來 ．
5．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與邊相交于點(diǎn)，與的外接圓相交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)求證：；
(4)猜想：線段三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫出，不需證明．）
題型04 四點(diǎn)共圓
1．（2022·四川遂寧·中考真題）如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點(diǎn)B，連接EC、GA，交于點(diǎn)O，GA與BC交于點(diǎn)P，連接OD、OB，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD=45°；
A．①③B．①②③C．②③D．①②④
2．（2021·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)和點(diǎn)分別位于兩側(cè)，下列結(jié)論：①；②；③；④點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程是，其中正確結(jié)論的序號(hào)為（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④
3．（2023·湖北恩施·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．

(1)如圖，若，拋物線的對(duì)稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時(shí)的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，若為軸上的點(diǎn)，為軸上方拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(3)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，且，求正整數(shù)m，n的值．
4．（2023·山東日照·中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．請(qǐng)應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問題：
如圖1，中，（）．點(diǎn)D是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．

(1)求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；
(3)已知，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，此時(shí)是四邊形的外接圓，直接寫出圓心P與點(diǎn)M距離的最小值．
5．（2022·貴州遵義·中考真題）探究與實(shí)踐
“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．
提出問題：
如圖1，在線段同側(cè)有兩點(diǎn)，，連接，，，，如果，那么，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
探究展示：
如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)，，的，在劣弧上取一點(diǎn)（不與，重合），連接，則（依據(jù)1）

點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）
點(diǎn)，在點(diǎn)，，所確定的上（依據(jù)2）
點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上
(1)反思?xì)w納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？
依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．
(2)圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．
(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點(diǎn)在上（不與的中點(diǎn)重合），連接．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，．
①求證：，，，四點(diǎn)共圓；
②若，的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．
題型05 相交弦定理
相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.
1．（2017·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，過點(diǎn)B的切線BP與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接OC，CB．
（1）求證：AE?EB=CE?ED；
（2）若⊙O的半徑為3，OE=2BE，，求tan∠OBC的值及DP的長(zhǎng)．
2．（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊上，連接．

(1)求證：；
(2)當(dāng)時(shí)，則___________；___________；___________．（直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上）
(3)①記四邊形，的面積依次為，若滿足，試判斷，的形狀，并說明理由．
②當(dāng)，時(shí)，試用含m，n，p的式子表示．
題型06 切割線定理
切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).
1．（2023·四川甘孜·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求證：；
(2)若，，求的半徑．
2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)C，連接，．

(1)求證：；
(2)求證：是的切線；
(3)若，求的半徑．
3．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖1，已知是的直徑，是的切線，交于點(diǎn)，．

(1)填空：的度數(shù)是_________，的長(zhǎng)為_________；
(2)求的面積；
(3)如圖2，，垂足為．是上一點(diǎn)，．延長(zhǎng)，與，的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，求的值．
題型07割線定理
割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的距離的積相等.
1．（2022·湖南·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
題型08 圓與相似綜合
相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．
2）兩個(gè)三角形相似的判定定理：
①三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；
②兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；
③兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．
④斜邊和直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.
判定兩個(gè)三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法．有時(shí)條件不具備，需從以下幾個(gè)方面探求：
1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；
2）兩個(gè)三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；
3）兩個(gè)三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；
4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或兩邊成比例．
1．（2023·浙江·中考真題）小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁第5題后，進(jìn)行變式、探究與思考：如圖1，的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，且，．

(1)復(fù)習(xí)回顧：求的長(zhǎng)．
(2)探究拓展：如圖2，連接，點(diǎn)G是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
①當(dāng)點(diǎn)G是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
②設(shè)，，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說明理由；
③如圖3，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)計(jì)算的長(zhǎng)．
2．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；
(2)求證：；
(3)若，求的值．
3．（2023·山東·中考真題）如圖，為的直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，弦，垂足為點(diǎn)F．

(1)求證：；
(2)P是上一點(diǎn)，，求；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)是的平分線時(shí)，求的長(zhǎng)．
4．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．
題型09 圓與三角函數(shù)綜合
在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：
1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B
2）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）
3）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°
4）邊角之間的關(guān)系：
sin A= ∠A所對(duì)的邊斜邊 = ac ，sin B= ∠B所對(duì)的邊斜邊 = bc
cs A= ∠A所鄰的邊斜邊 = bc ，csB= ∠B所鄰的邊斜邊= ac
tan A= ∠A所對(duì)的邊鄰邊 = ab ，tanB= ∠B所對(duì)的邊鄰邊= ba
1．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在中，，，．若的半徑為4，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，求線段的最小值；
（2）如圖②所示，五邊形是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)處，點(diǎn)處是該市的一個(gè)交通樞紐．已知：，，．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個(gè)半徑為的圓型環(huán)道；過圓心，作，垂足為，與交于點(diǎn)．連接，點(diǎn)在上，連接．其中，線段、及是要修的三條道路，要在所修道路、之和最短的情況下，使所修道路最短，試求此時(shí)環(huán)道的圓心到的距離的長(zhǎng)．

2．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，為⊙O的直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點(diǎn)H．點(diǎn)A在MC上，點(diǎn)B在NC上，．

(1)求證：．
(2)求證：．
(3)在⊙O中，沿弦所在的直線作劣弧的軸對(duì)稱圖形，使其交直徑于點(diǎn)G．若，求的長(zhǎng)．
3．（2023·浙江臺(tái)州·中考真題）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置刻畫圓上點(diǎn)的位置，如圖，是的直徑，直線是的切線，為切點(diǎn)．，是圓上兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合，且在直徑的同側(cè)），分別作射線，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)，的長(zhǎng)為時(shí)，求的長(zhǎng)．
(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，求的值．
(3)如圖3，當(dāng)，時(shí)，連接BP，PQ，直接寫出的值．
4．（2023·浙江·中考真題）如圖，在中，是一條不過圓心的弦，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，直徑交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證： ；
(2)若，求的值；
(3)連結(jié)交于點(diǎn)，若的半徑為5
①若，求的長(zhǎng)；
②若，求的周長(zhǎng)；
③若，求的面積．
1．（2024·陜西西安·二模）如圖，是的切線，點(diǎn)B是切點(diǎn)，連接交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)A，連接，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川涼山·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，D為的中點(diǎn)．以A為圓心，r為半徑作⊙A，若B、C、D三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在內(nèi)，則的半徑r的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，是的切線，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形內(nèi)切圓半徑為，則大正方形的內(nèi)切圓半徑為（ ）

A．B．C．15D．
5．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
6．（2022·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形材料中， ，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·廣西防城港·二模）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，的半徑為，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，切于點(diǎn)，則最小值是 ．
8．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是的直徑，與相切于點(diǎn)．若，則 ．

9．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，以的長(zhǎng)為半徑的經(jīng)過，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上， ，且與過，兩點(diǎn)的相切，則圖中陰影部分的面積是 ．

10．（2023·四川南充·三模）已知：如圖，，以為直徑的交OC于點(diǎn)D，AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，過D作的切線交于點(diǎn)F． ①；②；③；④，其中結(jié)論正確的是

11．（2024·河南洛陽·一模）中國最遲在四千多年前的夏禹時(shí)代已有了馬車，而目前考古發(fā)現(xiàn)最早的雙輪馬車始見年代為商代晚期(河南安陽殷城)．小明在殷墟游玩時(shí)，見到了如圖1的馬車車廂模型，他繪制了如圖2的車輪側(cè)面圖．如圖2，當(dāng)過圓心O的車架的一端A落在地面上時(shí)，與的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，水平地面切于點(diǎn)B．
(1)求證：；
(2)若，求的直徑．
12．（2023·遼寧盤錦·一模）如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，的交于點(diǎn)．
(1)求證：是的切線；
(2)若，．
①求的長(zhǎng)；
②求陰影部分的面積．
13．（2023·浙江杭州·二模）如圖，在中，，以為直徑作，交、上的點(diǎn)為D、E，連接、，線段與線段交于點(diǎn)Q．
(1)①求證：；
②如果，求的正切值：
(2)如果，，求的面積．
14．（2023·廣西河池·二模）如圖， 的半徑為，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．
(1)若．
①直接寫出k的值；
②當(dāng)時(shí)，P為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作的兩條切線，切點(diǎn)分別為C，D兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(2)若，且直線分的圓周為兩部分，求b的值．考點(diǎn)要求
命題預(yù)測(cè)
圓的基本性質(zhì)證明與計(jì)算
中考數(shù)學(xué)中，圓的基本性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系一直都是必考的考點(diǎn)，難度從基礎(chǔ)到綜合都有通常選擇填空題會(huì)出圓的基本性質(zhì)，如弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)、半徑、圓周角等的關(guān)系,基本都是基礎(chǔ)應(yīng)用，難度不大,個(gè)別會(huì)出選擇題的壓軸題，難度稍大.簡(jiǎn)答題部分，一般會(huì)把切線的問題和相似三角形、銳角三角函數(shù)等結(jié)合考察，這是一般都是中等難度的問題.還有一些城市會(huì)把圓的基本性質(zhì)等與其他動(dòng)點(diǎn)問題綜合考察,此時(shí)一般都是壓軸題，難度很大，這時(shí)候就需要考生綜合思考的點(diǎn)比較多.
與圓有關(guān)的位置關(guān)系
扇形弧長(zhǎng)公式
l=nπR180 （弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)，且n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．）
扇形面積公式
S扇形= nπR2 360 = 12lR
圓錐側(cè)面積公式
S圓錐側(cè)=πrl （其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）
圓錐全面積公式
S圓錐全=πrl+πr2 （圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）
圓錐的高h(yuǎn)，圓錐的底面半徑r
r2+?2=l2
邊長(zhǎng)
an=2Rn?sin1800n （Rn為正多邊形外接圓的半徑）
周長(zhǎng)
Pn=n?an
外角/中心角度數(shù)
360°n
面積
Sn=12an?rn?n
對(duì)角線條數(shù)
n(n?3)2
邊心距
rn=Rn?cs1800n
內(nèi)角和
（ n-2 ）×180°.
內(nèi)角度數(shù)
（n?2）×180°n
n邊形的邊數(shù)
（內(nèi)角和÷180°）＋2
an、Rn、rn的關(guān)系
Rn2=rn2+an24 （an 、Rn、rn為構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)，已知其中兩個(gè)值，第三個(gè)值可以借助勾股定理求解.）
內(nèi)容
補(bǔ)充
圓的軸對(duì)稱性
經(jīng)過圓心任意畫一條直線，并沿此直線圓對(duì)折,直線兩旁的部分能夠完全重合，因此圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸.
①圓的旋轉(zhuǎn)不變性是其他中心對(duì)稱圖形所沒有的性質(zhì).
②圓的對(duì)稱軸不是直徑，而是直徑所在的直線.
③圓是一個(gè)特殊的對(duì)稱圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對(duì)稱性推出.
圓的中心對(duì)稱性
將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，因此它是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心. 將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性.
圖形
OA:AB:OB
內(nèi)切圓與外接圓半徑的比
等邊三角形
1: 3 : 2
1:2
正方形
1:1: 2
1: 2
正六邊形
3 : 1: 2
3 : 2
第一層杯子的個(gè)數(shù)
杯子的總數(shù)
位置關(guān)系
圖形
定義
性質(zhì)及判定
點(diǎn)在圓外

點(diǎn)在圓的外部
d > r? 點(diǎn)P在圓外
點(diǎn)在圓上
點(diǎn)在圓周上
d = r? 點(diǎn)P在圓上
點(diǎn)在圓內(nèi)

點(diǎn)在圓的內(nèi)部
d < r? 點(diǎn)P在圓內(nèi)
位置關(guān)系
圖形
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
性質(zhì)及判定
相離
沒有公共點(diǎn)
d > r?直線l與⊙O相離
相切
有唯一公共點(diǎn)
d = r?直線l與⊙O相切
相交
有兩個(gè)公共點(diǎn)
d < r?直線l與⊙O相交
位置關(guān)系
圖形
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
性質(zhì)及判定
外離
無
d>R+r?兩圓外離
外切
1個(gè)切點(diǎn)
d=R+r?兩圓外切
相交
兩個(gè)交點(diǎn)
R?r r?直線l與⊙O相離
相切
有唯一公共點(diǎn)
d = r?直線l與⊙O相切
相交
有兩個(gè)公共點(diǎn)
d < r?直線l與⊙O相交
位置關(guān)系
圖形
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
性質(zhì)及判定
外離
無
d>R+r?兩圓外離
外切
1個(gè)切點(diǎn)
d=R+r?兩圓外切
相交
兩個(gè)交點(diǎn)
R?r

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