TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc161932546" \l "_Tc161932547" \l "_Tc160094594" 一、考情分析
二、知識建構(gòu)
\l "_Tc161932548" 考點(diǎn) 圖形的軸對稱、平移與旋轉(zhuǎn)
\l "_Tc161932549" \l "_Tc161309508" \l "_Tc160094596" \l "_Tc160094596" 【真題研析·規(guī)律探尋】
\l "_Tc161932550" 題型01 圖形的識別
\l "_Tc161932551" 題型02 與圖形變化有關(guān)的作圖問題
\l "_Tc161932552" 題型03 幾何圖形的平移變化
\l "_Tc161932553" 題型04 與函數(shù)圖象有關(guān)的平移變化
\l "_Tc161932554" 題型05 幾何圖形的折疊問題
\l "_Tc161932555" 題型06 與函數(shù)圖象有關(guān)的軸對稱變化
\l "_Tc161932556" 題型07 幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變化
\l "_Tc161932557" 題型08 與函數(shù)圖象有關(guān)的旋轉(zhuǎn)變化
\l "_Tc161932558" 題型09 利用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決多結(jié)論問題
\l "_Tc161932559" 題型10 與圖形變化有關(guān)的最值問題
\l "_Tc161932560" \l "_Tc161309519" \l "_Tc160094604" 【核心提煉·查漏補(bǔ)缺】
\l "_Tc161932561" \l "_Tc161309520" \l "_Tc160094605" 【好題必刷·強(qiáng)化落實(shí)】
考點(diǎn) 圖形的軸對稱、平移與旋轉(zhuǎn)
題型01 圖形的識別
平移的概念：在平面內(nèi)，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運(yùn)動叫做平移．
軸對稱圖形定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.
中心對稱圖形定義：如果一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形.
在判斷一個圖形是否為軸對稱圖形、中心對稱圖形時，要明確以下兩點(diǎn):
1）如果能找到一條直線(對稱軸)把一個圖形分成兩部分，且直線兩旁的部分完全重合，那么這個圖形就是軸對稱圖形;
2）把一個平面圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形重合，那么這個圖形就是中心對稱圖形.
1．（2023·湖南郴州·中考真題）下列圖形中，能由圖形a通過平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平移的定義：在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，結(jié)合各選項所給的圖形即可作出判斷．
【詳解】解：觀察圖形可知，B中圖形能由圖形a通過平移得到，A，C，D均不能由圖形a通過平移得到；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查平移．熟練掌握平移的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·黑龍江大慶·中考真題）搭載神舟十六號載人飛船的長征二號F遙十六運(yùn)載火箭于2023年5月30日成功發(fā)射升空，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名航天員開啟“太空出差”之旅，展現(xiàn)了中國航天科技的新高度．下列圖標(biāo)中，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義判斷即可．
【詳解】A、不是中心對稱圖形，此選項不符合題意，排除；
B、不是中心對稱圖形，此選項不符合題意，排除；
C、是中心對稱圖形，此選項符合題意；
D、不是中心對稱圖形，此選項不符合題意，排除；
故答案為：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了中心對稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是如何判斷中心對稱圖形，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
3．（2023·湖北荊州·中考真題）觀察如圖所示的幾何體，下列關(guān)于其三視圖的說法正確的是（ ）

A．主視圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形
B．左視圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形
C．俯視圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形
D．主視圖、左視圖、俯視圖都是中心對稱圖形
【答案】C
【分析】先判斷該幾何體的三視圖，再根據(jù)軸對稱和中心對稱圖形定義逐項判斷三視圖，即可求出答案.
【詳解】解：A選項：主視圖是上下兩個等腰三角形，不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故不符合題意；
B選項：左視圖是上下兩個等腰三角形，不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故不符合題意；
C選項：俯視圖是圓（帶圓心），既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故符合題意；
D選項：由A和B選項可知，主視圖和左視圖都不是中心對稱圖形，故不符合題意.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖、軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于掌握軸對稱和中心對稱的定義. 如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱是指把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)對稱或中心對稱.
4．（2022·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機(jī)手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（ ）

A．平移B．軸對稱C．旋轉(zhuǎn)D．位似
【答案】D
【分析】根據(jù)位似的定義，即可解決問題．
【詳解】根據(jù)位似的定義可知：三角尺與影子之間屬于位似．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了生活中位似的現(xiàn)象，解決本題的關(guān)鍵是熟記位似的定義．
題型02 與圖形變化有關(guān)的作圖問題
解決圖形變化有關(guān)的作圖問題方法：
1）平移與旋轉(zhuǎn)作圖都應(yīng)抓住兩個要點(diǎn):一是平移、旋轉(zhuǎn)的方向；二是平移的距離及旋轉(zhuǎn)的角度.
2）基本的作圖方法是先選取已知圖形的幾個關(guān)鍵點(diǎn)，再根據(jù)平移或旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作它們的對應(yīng)點(diǎn)，然后以“局部帶動整體”的思想方法作變換后的圖形.
3）無論是平移、軸對稱與旋轉(zhuǎn)，都不改變圖形的大小和形狀.
1．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A2,-1,B1,-2，C3,-3．

(1)將△ABC向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1．
(2)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A2B2C2．
(3)將△A2B2C2著原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A3B3C3，求線段A2C2在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)13π4
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)的位置進(jìn)而畫出圖形；
（2）利用軸對稱的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)的位置進(jìn)而畫出圖形；
（3）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)SC3A3A2C2=SC3DEC2=S扇C2OC3-S扇DOE即可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖所示，△A1B1C1即為所求；

（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；
（3）將△A2B2C2著原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A3B3C3，

設(shè)A2A3所在圓交OC3于點(diǎn)D，交OC2于點(diǎn)E，
∵ OA2=OA3，OC2=OC3，
∴C2E=C3D，
∵∠A3OA2=90°，∠C2OC3=90°，
∴∠A3OD=∠A2OE，
∴A3D=A2E，
∴S曲邊△A3C3D=S曲邊△A2C2E，OC3=32，OD=OA2=5，
∴SC3A3A2C2=SC3DEC2=S扇C2OC3-S扇DOE=90°πOC32360°-90°πOD2360°=90°π322360°-90°π52360°=13π4，
故線段A2C2在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為13π4．
【點(diǎn)睛】本題考查平移、軸對稱變換作圖和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)上．

(1)將△ABC向下平移3個單位長度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；
(2)將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90度得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2；
(3)在（2）的運(yùn)動過程中請計算出△ABC掃過的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)5+5π2
【分析】（1）先作出點(diǎn)A、B、C平移后的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1、C1，然后順次連接即可；
（2）先作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90度的對應(yīng)點(diǎn)A2，B2，然后順次連接即可；
（3）證明△ABC為等腰直角三角形，求出S△ABC=12AB×BC=52，S扇形CAA2=90π×102360=5π2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程中△ABC掃過的面積等于△ABC的面積加扇形CAA1的面積即可得出答案．
【詳解】（1）解：作出點(diǎn)A、B、C平移后的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1、C1，順次連接，則△A1B1C1即為所求，如圖所示：

（2）解：作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90度的對應(yīng)點(diǎn)A2，B2，順次連接，則△A2B2C2即為所求，如圖所示：

（3）解：∵AB=12+22=5，AC=32+12=10，BC=12+22=5，
∴AB=BC，
∵52+52=10=102，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴S△ABC=12AB×BC=52，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，∠ACA2=90°，
∴S扇形CAA2=90π×102360=5π2，
∴在旋轉(zhuǎn)過程中△ABC掃過的面積為S=S△ABC+S扇形CAA2=5+5π2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移、旋轉(zhuǎn)作圖，勾股定理逆定理，扇形面積計算，解題的關(guān)鍵是作出平移或旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)．
3．（2022·廣西河池·中考真題）如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

(1)畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫一個△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為2:1，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．
【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)得到A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線得到△A1B1C1．
（2）把A、B、C的坐標(biāo)都乘以-2得到A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線即可．
【詳解】（1）如圖，ΔA1B1C1為所作．
（2）如圖，ΔA2B2C2為所作，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（-4，-6）．
【點(diǎn)睛】本題考查位似變換、軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是注意位似中心及相似比、對稱軸．
題型03 幾何圖形的平移變化
平移變換問題:分幾何圖形平移變換和函數(shù)圖像平移變換. 平移是將一個圖形沿某一方向移動一段距離，不會改變圖形的大小和形狀，只改變圖形的位置.在圖形的變化過程中，解決此類問題的方法很多，而關(guān)鍵在于解決問題的著眼點(diǎn)，從恰當(dāng)?shù)闹埸c(diǎn)出發(fā)，再根據(jù)具體圖形變換的特點(diǎn)確定其變化.
1．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為-2,0，∠AOC=60°．將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形OA'B'C'，其中點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（ ）

A．(-2,3-1)B．-2,1C．(-3,1)D．(-3,3-1)
【答案】A
【分析】如圖，過B作BH⊥x軸于H，求解OA=AB=2，AB∥OC，可得∠BAH=∠AOC=60°，求解AH=OB?cs60°=1，BH=22-12=3，可得B-3,3，再利用平移的性質(zhì)可得B'-2,3-1．
【詳解】解：如圖，過B作BH⊥x軸于H，

∵菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為-2,0，∠AOC=60°．
∴OA=AB=2，AB∥OC，
∴∠BAH=∠AOC=60°，
∴AH=OB?cs60°=1，BH=22-12=3，
∴B-3,3，
∵將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，
∴B'-2,3-1；
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，圖形的平移，熟練的求解B的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023·河南·中考真題）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣．下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計的問題，請你解答．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)M4,0的直線l∥y軸，作△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1，再分別作△A1B1C1關(guān)于x軸和直線l對稱的圖形△A2B2C2和△A3B3C3，則△A2B2C2可以看作是△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為______；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距離為______個單位長度．
(2)探究遷移：如圖2，?ABCD中，∠BAD=α0°90°，點(diǎn)E為AC上一動點(diǎn)，將△ABE以BE為對稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：
獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時，∠EDC=2∠ACB．”
小紅：“若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，給出AC與DC的長，就可求出BE的長．”
實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時，求證：∠EDC=2∠ACB；
（2）如圖2，若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，AC=4,CD=3，求BE的長．
問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成∠A0,b2-4ac>0的圖象是由函數(shù)y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①2a+b=0 ；②c=3； ③abc>0；④將圖象向上平移1個單位后與直線y=5有3個交點(diǎn)．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出對稱軸為-b2a=1，進(jìn)而可得2a+b=0，故①正確；由函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成可知c＝-3，故②錯誤；根據(jù)對稱軸求出b＜0，進(jìn)而可得abc>0，故③正確；求出翻折前的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)可得④正確．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－1和3，
∴對稱軸為x=-1+32=1，即-b2a=1，
∴整理得：2a+b=0，故①正確；
∵y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
y=ax2+bx+ca>0可知，開口向上，圖中函數(shù)圖象是由原函數(shù)下方部分沿x軸向上翻折而成，
∴c＝-3，故②錯誤；
∵y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0中a＞0，-b2a=1，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴abc>0，故③正確；
設(shè)拋物線y=ax2+bx+c的解析式為y=ax+1x-3，
代入（0，3）得：3=-3a，
解得：a＝－1，
∴y=-x+1x-3=-x2+2x+3=-x-12+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∵點(diǎn)（1，4）向上平移1個單位后的坐標(biāo)為（1，5），
∴將圖象向上平移1個單位后與直線y=5有3個交點(diǎn)，故④正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對稱軸公式，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·四川德陽·中考真題）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-4,0)，B(2,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-4)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象．當(dāng)平面內(nèi)的直線y=kx+6與新圖象有三個公共點(diǎn)時，求k的值；
(3)如圖2，如果把直線AB沿y軸向上平移至經(jīng)過點(diǎn)D，與拋物線的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，直線BC交EF于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥CH于點(diǎn)G，若DFHG=25．求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【答案】(1)y=12x2+x-4
(2)1或32
(3)4,8
【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，
∵C(0,-4)，
∴c=-4，
y=ax2+bx-4，
把A(-4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+c，得：16a-4b-4=04a+2b-4=0，
解得：a=12b=1，
∴拋物線的解析式為y=12x2+x-4
（2）∵直線表達(dá)式y(tǒng)=kx+6，
∴直線經(jīng)過定點(diǎn)0,6，
∴將過點(diǎn)0,6的直線旋轉(zhuǎn)觀察和新圖象的公共點(diǎn)情況
∵把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的解析式為y=12x2+x-4，
∴新圖象表達(dá)式為：-40中，當(dāng)x=0時，y=2，
∴C0，2，
∵拋物線解析式為y=-ax2+5ax+2a>0，
∴拋物線對稱軸為直線x=-5a-2a=52，
∵過點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D，
∴C、D關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴D5，2；
（2）解：當(dāng)a=13時，拋物線解析式為y=-13x2+53x+2，
當(dāng)y=0，即-13x2+53x+2=0，解得x=-1或x=6，
∴A-1，0；
如圖，設(shè)DP上與點(diǎn)M關(guān)于直線AD對稱的點(diǎn)為Nm，n，
由軸對稱的性質(zhì)可得AN=AM，DN=DM，
∴m+12+n2=4--12m-52+n-22=5-42+22，
解得：3m+n=12，即n=12-3m
∴m2+2m+1+144-72m+9m2=25，
∴m2-7m+12=0，
解得m=3或m=4（舍去），
∴n=12-3m=3，
∴N3，3，
設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b1，
∴3k+b1=35k+b1=2，
∴k=-12b1=92，
∴直線DP的解析式為y=-12x+92，
聯(lián)立y=-12x+92y=-13x2+53x+2，解得x=32y=154或x=5y=2
∴P32，154；

（3）解：①當(dāng)a=1時，拋物線解析式為y=-x2+5x+2，E1，2，F(xiàn)5，2，
∴EH=EF=FG=4，
∴H1，6，G5，6，
當(dāng)x=1時，y=-12+5×1+2=6，
∴拋物線y=-x2+5x+2恰好經(jīng)過H1，6；
∵拋物線對稱軸為直線x=52，
由對稱性可知拋物線經(jīng)過4，6，
∴點(diǎn)4，6時拋物線與正方形的一個交點(diǎn)，
又∵點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，
∴拋物線也經(jīng)過點(diǎn)F5，2；
綜上所述，正方形EFGH的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)為1，6，4，6，5，2；

②如圖3-1所示，當(dāng)拋物線與GH、GF分別交于T、D，
∵當(dāng)正方形EFGH的邊與該拋物線有且僅有兩個交點(diǎn)，且這兩個交點(diǎn)到x軸的距離之差為52，
∴點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為2+2.5=4.5，
∴5-1a+a+1=4.5，
∴a2+1.5a-1=0，
解得a=-2（舍去）或a=0.5；

如圖3-2所示，當(dāng)拋物線與GH、EF分別交于T、S，
∵當(dāng)正方形EFGH的邊與該拋物線有且僅有兩個交點(diǎn)，且這兩個交點(diǎn)到x軸的距離之差為52，
∴5-1a=2.5，
解得a=0.4（舍去，因?yàn)榇藭r點(diǎn)F在點(diǎn)D下方）

如圖3-3所示，當(dāng)拋物線與EH、EF分別交于T、S，
∵當(dāng)正方形EFGH的邊與該拋物線有且僅有兩個交點(diǎn)，且這兩個交點(diǎn)到x軸的距離之差為52，
∴-a?1a2+5a?1a+2=a+1+2.5，
∴7-1a=a+3.5，
∴a2-3.5a+1=0，
解得a=7+334或a=7-334（舍去）；
當(dāng)x=52時，y=-ax2+5ax+2=6.25a+2，
當(dāng) a=7+334時，6.25a+2>7-1a，
∴a=7+334不符合題意；

綜上所述，a=0.5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等等，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·遼寧沈陽·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過點(diǎn)B6,0和點(diǎn)D4,-3與x軸另一個交點(diǎn)A．拋物線與y軸交于點(diǎn)C，作直線AD．
(1)①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式
②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式．
(2)點(diǎn)E是直線AD下方拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當(dāng)S1=2S2時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為C1，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'，點(diǎn)G的對應(yīng)點(diǎn)G'，將曲線C1，沿y軸向下平移n個單位長度（00) ；
（2）根據(jù)題意，
∵點(diǎn)A為（2，1），
∵將△AOB繞點(diǎn)О旋轉(zhuǎn)90°，
則分為：順時針旋轉(zhuǎn)90度和逆時針旋轉(zhuǎn)90度，如圖：
∴A'(-1，2)或(1，-2)．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，以及三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的畫出圖像進(jìn)行分析．
2．（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，且與x軸交于點(diǎn)B(-1,0)．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°，此時點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．
①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，求m的值；
②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x=m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y=-(x-1)2+4（或y=-x2+2x+3）
(2)①m=4，②存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為(-4,-21)或(2,3)或(12,-117)
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-1)2+4，再把B(-1,0)代入即可得出答案；
（2）①過點(diǎn)A(1,4)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)∠BAD=∠BEA=90°，又因?yàn)椤螦BE=∠DBA，證明出△BAE∽△BDA，從而得出AB2=BE?BD，將BD=2(m+1)，BE=2，AE=4代入即可求出m的值；
②根據(jù)上問可以得到C7,-4，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，B-1,0，要讓以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，所以分為三種情況討論：1）當(dāng)以BC為邊時，存在平行四邊形為BCMQ；2）當(dāng)以BC為邊時，存在平行四邊形為BCQM；3）當(dāng)以BC為對角線時，存在平行四邊形為BQCM；即可得出答案．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，
∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-1)2+4，
又∵B(-1,0)，∴0=a(-1-1)2+4，
解得：a=-1，
∴y=-(x-1)2+4（或y=-x2+2x+3）；
（2）①∵點(diǎn)P在x軸正半軸上，
∴m>0，
∴BP=m+1，
由旋轉(zhuǎn)可得：BD=2BP，
∴BD=2(m+1)，
過點(diǎn)A(1,4)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴BE=2，AE=4，
在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2=22+42=20，
當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，AD⊥AB，
∴∠BAD=∠BEA=90°，
又∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2=BE?BD，
∴4(m+1)=20，
解得m=4；
②由題可得點(diǎn)A1,4與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P4,0成中心對稱，
∴C7,-4，
∵點(diǎn)M在直線x=4上，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，
存在以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，
1）、當(dāng)以BC為邊時，平行四邊形為BCMQ，
點(diǎn)C向左平移8個單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，
∴將點(diǎn)M向左平移8個單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，
∴Q-4,y1代入y=-x2+2x+3，
解得：y1=-21，
∴Q(-4,-21)，
2）、當(dāng)以BC為邊時，平行四邊形為BCQM，
點(diǎn)B向右平移8個單位，與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，
∴將M向右平移8個單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，
∴Q12,y2代入y=-x2+2x+3，
解得：y2=-117，
∴Q(12,-117)，
3）、當(dāng)以BC為對角線時，
點(diǎn)M向左平移5個單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)C向左平移5個單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，
∴Q2,y3代入y=-x2+2x+3，
得：y3=3，
∴Q(2,3)，
綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為(-4,-21)或(2,3)或(12,-117)．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對稱，平行四邊形的存在性問題，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)并作出輔助線是本題的關(guān)鍵．
3．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=13x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A0,2，與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B3,0和點(diǎn)C．

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)E，G在y軸正半軸上，OG=2OE，點(diǎn)D在線段OC上，OD=3OE．以線段OD，OE為鄰邊作矩形ODFE，連接GD，設(shè)OE=a．
①連接FC，當(dāng)△GOD與△FDC相似時，求a的值；
②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時，將線段GD繞點(diǎn)G按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到線段GH，連接FH，F(xiàn)G，將△GFH繞點(diǎn)F按順時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°

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