TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc163489963" 題型01 銳角三角函數(shù)與三角形綜合
\l "_Tc163489964" 題型02 銳角三角函數(shù)與四邊形綜合
\l "_Tc163489965" 題型03 銳角三角函數(shù)與圓綜合
\l "_Tc163489966" 題型04 銳角三角函數(shù)與圓及四邊形綜合
\l "_Tc163489967" 題型05 銳角三角函數(shù)與圓及三角形綜合
\l "_Tc163489968" 題型06 銳角三角函數(shù)與函數(shù)綜合
\l "_Tc163489969" 題型07 12345模型
\l "_Tc163489976" 題型08 銳角三角形應用-仰角俯角問題
\l "_Tc163489977" 題型09 銳角三角形應用-方位角問題
\l "_Tc163489978" 題型10 銳角三角形應用-坡度坡角問題
\l "_Tc163489979" 題型11 銳角三角形應用-與不易測量相關問題
\l "_Tc163489980" 題型12 銳角三角形應用-與可調(diào)節(jié)的滑動懸桿問題
\l "_Tc163489981" （時間：60分鐘）
題型01 銳角三角函數(shù)與三角形綜合
1．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在銳角三角形ABC中，tanA=3,BC=5，線段BD?CE分別是AC?AB邊上的高線，連接DE，則三角形ADE面積的最大值是 ．

【答案】5316/5163
【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值求得∠A的度數(shù)，利用三角形的高的意義求得∠ACE=∠ABD=30°，利用含30°角的直角三角形的性質和相似三角形的判定與性質定理得到S△ADE=14S△ABC，作出△ABC的外接圓，得出當點A為優(yōu)BC的中點時，BC邊上的高最大，即△ABC的面積最大，此時AB=AC，△ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質求得△ABC的面積最大值，則結論可求．
【詳解】解：∵tan∠A=3，
∴∠A=60°，
∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高線，
∴CE⊥AB,BD⊥AC，
∴∠ACE=∠ABD=30°，
∴AD=12AB，AE=12AC，
∴AEAC=ADAB，
∵∠A=∠A，
∴△ADE～△ABC，
∴S△ADES△ABC=ADAB2=122=14，
∴S△ADE=14S△ABC，
∴當△ABC面積最大時，三角形ADE面積有最大值，
作出△ABC的外接圓，如圖，

點A為優(yōu)弧BC上的點，且∠A=60°，
∵BC=5，
∴當點A為優(yōu)BC的中點時，BC邊上的高最大，即△ABC的面積最大，此時AB=AC，
∴ △ABC為等邊三角形，
∵S△ABC的最大值=12×5×5×sin60°=534，
∴三角形ADE面積的最大值是5316，
故答案為5316．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形的應用，直角三角形的邊角關系定理，特殊角的三角函數(shù)值，利用三角形的性質求得△ABC的面積的最大值是解題的關鍵．
2．（2023·河南南陽·三模）小明參加了學校組織的數(shù)學興趣小組，在一次數(shù)學活動課上，他們對兩塊大小不等的等腰直角三角板擺放不同的位置，做了如下探究：

(1)將兩塊三角板的直角頂點重合，如圖1，在△ACB和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，當點D在線段AB上時（點D不與點A，B重合），
①由題意可得△ACD≌△BCE，其依據(jù)是：___________；
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
②直接寫出AD與BE的數(shù)量關系___________．
(2)將兩塊三角板的銳角頂點重合，如圖2，在△ACB和△DCE中，∠CAB=∠CDE=90°，AC=AB，CD=DE，點A與線段DE不在同一直線上，（1）中AD與BE的數(shù)量關系是否仍然成立？若不成立，請求出新的數(shù)量關系；
(3)將小三角板的銳角頂點與大三角板的直角頂點重合，如圖3，在△ACB和△EDC中，∠ACB=∠EDC=90°，AC=BC=4，CD=ED．將△EDC繞點C在平面內(nèi)旋轉，當點D落在邊AB上時，滿足sin∠BCE=55，請直接寫出AD的長．
【答案】(1)①B；②AD=BE
(2)不成立，見解析
(3)2或32
【分析】（1）①根據(jù)∠ACB=∠DCE=90°可推出∠ACD=∠BCE，即可根據(jù)SAS證明△ACD≌△BCE；②根據(jù)全等三角形對應邊相等，即可得出結論；
（2）根據(jù)題意可得∠DCE=∠ACB=45°，CBCA=2，CECD=2，再推出∠ACD=∠BCE，即可證明△ACD∽△BCE，即可得出結論；
（3）連接BF，過點E作EF⊥AB于點F，分兩種情況進行討論即可：①當∠BCE在BC左邊時，②當∠BCE在BC右邊時．
【詳解】（1）解：①∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=AB∠ACD=∠BCECD=DE，
∴△ACD≌△BCESAS，
故選：B；
②由①可得△ACD≌△BCESAS，
∴AD=BE；
（2）解：不成立．
∵△CDE和△CAB都是等腰直角三角形，
∴∠DCE=∠ACB=45°，CBCA=2，CECD=2．
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB．
∴∠ACD=∠BCE，CBCA=CECD．
∴△ACD∽△BCE．
∴BEAD=CBCA=2．
即BE=2AD．
故（1）中BE和AD的數(shù)量關系不存在；
（3）解：連接BF，過點E作EF⊥AB于點F，
①當∠BCE在BC左邊時，
∵∠ACB=∠EDC=90°，AC=BC，CD=ED，
∴∠CED=∠CBD=45°，
∴點C，D，E，B四點共圓，
∴∠DBE=∠DCE=45°，∠BCE=∠BDE，
∵∠EDC=90°，
∴∠CBE=180°-∠EDC=90°，
∴sin∠BCE=BECE=55，
設BE=5k,CE=5k，
在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得BC2+BE2=CE2，
則42+5k2=5k2，解得：k1=255，k2=-255（舍），
∴BE=2,CE=4，
∵∠DBE=45°，EF⊥AB，
∴BF=BE?cs45°=2，則BF=EF=2，
∵∠BCE=∠BDE，∠CBE=∠DFE=90°，
∴△CBE=△DFE，
∴EFBE=DFBC，即22=DF4，
解得：DF=22，
∵AC=BC=4，
∴AB=AC2+BC2=42，
∴AD=AB-DF-BF=42-22-2=2；

②當∠BCE在BC右邊時，
同理可得：DF=22，BF=EF=2，
∴AD=AB-DF-BF=42-22-2=32，

綜上：AD的長為2或32．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握相關定理和性質，正確畫出輔助線，根據(jù)題意進行分類討論．
3．（2023·重慶沙坪壩·二模）等邊△ABC中，點D為直線AB上一動點，連接DC．

(1)如圖1，在平面內(nèi)將線段DC繞點C順時針方向旋轉60°得到線段CE，連接BE．若D點在AB邊上，且DC=5，tan∠ACD=12，求BE的長度；
(2)如圖2，若點D在AB延長線上，點G為線段DC上一點，點F在CB延長線上，連接FG、AG．在點D的運動過程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB-BD=AC，猜想線段CG與線段DG之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；
(3)如圖3，將△BDC沿直線BC翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BD'C，M點在AB邊上，且AM=14AB，將MA繞點A逆時針方向旋轉120°得到線段AN，點H是直線AC上一動點，將△MNH沿直線MH翻折至△MNH所在平面內(nèi)得到△MN'H，在點D，H運動過程中，當N'D'最小時，若AB=4，請直接寫出DN'H的面積．
【答案】(1)233
(2)見解析
(3)2138
【分析】（1）作DF⊥AC，求出DF長，再求出AD，證明△ACD≌△BCE，BE=AD即可；
（2）作DE ∥ AC，交AG的延長線于點E，由條件∠FAB=∠E，AC=DE，再證明出△FAB≌△ADE，得到DE=AB=AC，再證出△DHE≌△AGC，即可證明出結論；
（3）判斷出點D'在過B且平行于BC的直線上，點N'定在以M為圓心，MN為半徑的⊙M上，連接DN'，作直線MD'，交NH于F，作DE⊥MD'于E，用梯形DEFH的面積減去三角形DEN'的面積，再減去三角形FHN'的面積即可．
【詳解】（1）解：如圖1，作DF⊥AC于點F，

∵ tan∠ACD=12，
∴CF=2DF，
∵ DC=5，
∴ DF2+2DF2=52，
∴DF=1，CF=2，
∵∠A=60°，
∴ AD=DFsin60°=233，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵AC=BC，DC=EC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE=AD= 233；
（2）DG=CG．
如圖2，作DE ∥ AC，交AG的延長線于點E，

∵∠GAF+∠ABF=180°，
∴∠GAF=60°，即∠FAB+∠DAG=60°，
∵ DE∥AC，
∴∠ADE=120°，即∠E+∠DAG=60°，
∴∠FAB=∠E，
∵FB-BD=AC，
∴FB=BD+AC=BD+AB=AD，
∵∠FBA=∠ADE=120°，
∴△FAB≌△ADE(AAS)，
∴AB=DE，
∴AC=DE，
∵AC ∥ DE，
∴∠E=∠GAC，
∵∠DGE=∠AGC，
∴△DHE≌△AGC(AAS)，
∴DG=CG；
（3）如圖3，若將△BDC沿直線BC翻折得到△BD'C，則BD=BD'，
∴點D'在過B且平行于BC的直線上，
將△MNH沿直線MH翻折得到△MN'H，則MN=MN'，
∴點N'定在以M為圓心，MN為半徑的⊙M上，
過M作MD'⊥BD'于D'，交⊙M于點N'，
則D'N'的長為最小值，
連接DD'，作直線MD'，交NH于F，作DE⊥MD'于E，

由題得點H在⊙M上，且MF⊥NH，
∵AM= 14 AB，AB=4，
∴AM=1=AN，
∵∠MAF=60°，
∴MF=AMsin30°=32，MN=2MF=3，
由折疊得，∠MHN=∠MHN'=30°，
∴FH=MFtan30°=32，
∴N'F=FH?tan60°=332，
∵MB=3，∠D'BM=60°
∴MD'=MB?sin60°=332，
∴D'N'=332-3=32，
∠D'MD=∠D'DM=30°，
∴MD'=DD'=332，
∵∠DD'E=60°，
∴D'E=12DD'=334,DE=DD'?sin60°=94，
∴EN'=534，
∴EF=1134，
∴S梯形DEFH=12DE+FH?EF=165332，
S△DEN'=12DE?EN'=45332，
S△N'FH=12N'F'?FH=938，
∴S△DN'H=165332-45332-938=2138．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、三角形全等等知識點的綜合應用，解直角三角形、點的軌跡的判斷、直線與圓的位置關系是解題關鍵．
題型02 銳角三角函數(shù)與四邊形綜合
4．（2023·山東青島·一模）【閱讀與思考】
我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形．如圖1，一個矩形發(fā)生變形后成為一個平行四邊形，設這個平行四邊形相鄰兩個內(nèi)角中較小的一個內(nèi)角為α，我們把1sinα的值叫做這個平行四邊形的變形度．
【探究與應用】
(1)若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個內(nèi)角是120°，則這個平行四邊形的變形度是______；
(2)若矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形面積為，試猜想S1，S2，1sinα之間的數(shù)量關系，并說明理由；
(3)如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，且AB2=AE?AD，這個矩形發(fā)生變形后為?A1B1C1D1，E1為E的對應點，連接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面積為2mm>0的?A1B1C1D1面積為mm>0，求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大?。?br>【答案】(1)233
(2)1sinα=S1S2，理由見詳解
(3)45°
【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的性質得到α=60°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論；
（2）如圖1，設矩形的長和寬分別為a，b，變形后的平行四邊形的高為h，根據(jù)平行四邊形和矩形的面積公式即可得到結論；
（3）由已知條件得到△B1A1E1∽△D1A1B1，由相似三角形的性質得到∠A1B1E1=∠A1D1B1，根據(jù)平行線的性質得到∠A1E1B1=∠C1B1E1，求得∠A1D1B1+∠A1E1B1=∠C1E1B1+∠A1B1E1=∠A1B1C1，證得∠A1B1C1=45°，于是得到結論．
【詳解】（1）
解：∵平行四邊形有一個內(nèi)角是120°，
∴α=60°，
∴1sinα=1sin60°=233；
故答案為：233；
（2）解：1sinα=S1S2，理由如下：
如圖1，設矩形的長和寬分別為a，b，變形后的平行四邊形的高為h，
∴S1=ab，S2=ah，sinα=hb
∴S1S2=abah=bh
則1sinα=S1S2；
（3）解：如圖2，
∵AB2=AE×AD，
∴A1B12=A1E1×A1D1，即A1B1A1D1=A1E1A1B1，
∵∠B1A1E1=∠D1A1B1，
∴△B1A1E1∽△D1A1B1，
∴∠A1B1E1=∠A1D1B1
∵A1D1∥B1C1，
∴∠A1E1B1=∠C1B1E1
∴∠A1D1B1+∠A1E1B1=∠C1B1E1+∠A1B1E1=∠A1B1C1
由（2）知，1sinα=S1S2；
可知1sin∠A1B1C1=2mm=2，
∴sin∠A1B1C1=22，
∴∠A1B1C1=45°，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=45°．
【點睛】本題考查了相似綜合題，需要掌握平行四邊形的性質，矩形的性質，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質等知識點，正確的理解“變形度”的定義是解題的關鍵．
5．（2023·吉林長春·模擬預測）【實踐操作】如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，E為邊AB上一點，把△ADE沿著DE折疊得到△A'DE，作射線EA'交射線DC于點F.過點F作FH⊥AB于點H．
(1)求證：△A'DF≌△HFE；
(2)當AE=2cm時，CF= ______ cm；
(3)【問題解決】如圖②，在正方形紙片ABCD中，取邊AB中點E，AD=3cm，將△ADE沿著DE折疊得到△A'DE，作射線DA'交邊BC于點G，點F為CD邊中點，P是邊BC上一動點，將△CFP沿著FP折疊得到△C'FP，當點C'落在線段A'D上時，tan∠CFP= ______ ．
【答案】(1)見解析
(2)74
(3)34
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，三角形的中位線定理，等腰三角形的性質和判定，翻折變換，銳角三角函數(shù)，解決本題的關鍵是熟練掌握折疊的性質．
（1）根據(jù)AAS可證明：△A'DF≌△HFE；
（2）設EH=xcm，根據(jù)勾股定理列方程可解答；
（3）如圖②，連接CC'，EG，根據(jù)對稱和等腰三角形的性質可得△DCC'是直角三角形，由三角形中位線定理得P是CG的中點，設BG=ycm，根據(jù)勾股定理列方程可得y的值，最后由三角函數(shù)定義可得結論．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∴AD⊥AB，
∵FH⊥AB，
∴FH=AD，
由折疊得：AD=A'D，∠A=∠EA'D=90°，
∴∠DA'F=∠EHF=90°，A'D=FH，
∵AB∥CD，
∴∠HEF=∠DFA'，
∴△A'DF≌△HFEAAS；
（2）解：設EH=xcm，
∵△A'DF≌△HFE，
∴A'F=EH=xcm，
∵AE=A'E=2cm，
∴EF=x+2cm，
在Rt△EHF中，EF2=EH2+FH2，
∴(x+2)2=x2+32，
∴x=54，
∴CF=BH=5-2-54=74cm；
故答案為：74；
（3）解：如圖②，連接CC'，EG，
∵CC'關于FP對稱，
∴CC'⊥FP，CF=C'F，
∵F是CD的中點，
∴DF=CF，
∴DF=CF=C'F，
∴△DCC'是直角三角形，
∴CC'⊥DG，
∴DG∥FP，
∵F為CD的中點，
∴P是CG的中點，
∵E為AB的中點，AD=3，
∴A'E=AE=BE=32，A'D=AD=3cm，
設BG=ycm，
則EG2=1.52+y2，
∵∠B=∠EA'G=90°，EB=A'E，EG=EG，
∴Rt△EBG≌Rt△EA'GHL，
∴BG=A'G=ycm，
在Rt△DGC中，
∵DG2=DC2+CG2，
∴(y+3)2=(3-y)2+32，
∴y=34，
∴CG=3-34=94，
∴CP=98，
∴tan∠CFP=CPCF=9832=34．
故答案為：34．
6．（2023·吉林長春·模擬預測）【操作一】如圖①，在正方形ABCD中，點M是AB的中點，MN∥BC交CD于點N．點E是AB邊上的一點，連結CE，將正方形紙片沿CE所在直線折疊，點B的對應點B'落在MN上．求∠CB'N的大小．

以下是小明同學的部分解答過程，請你補充完整．
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD．
∵MN∥BC，
∴MB=NC，∠MNC=∠D=90°
∵M是AB的中點，
∴MB=12AB=NC=12BC
由折疊，得CB=CB'
∴CN=12 ______
在Rt△B'CN中，
sin∠CB'N=NCCB'=12．
∴∠CB'N= ______ 度．
【操作二】在圖①的基礎上繼續(xù)折疊，如圖②，點F是CE邊上的一點，連結AF，將正方形紙片沿AF所在直線折疊，點D的對應點D'落在MN上．求證：△BCE≌△DAF．
【應用】在圖②的基礎上，如圖③，G、H分別是CE、AF的中點，順次連接B'、G、D'、H，若AB=2，直接寫出點H、G之間的距離．
【答案】【操作一】B'C，30；【操作二】見解析；【應用】23-2
【分析】[操作一]由所給證明過程可推導得出答案；
[操作二]先由①得∠CB'N=30°，進一步證明∠BCB'=∠CB'N=30°，再由折疊可得∠BCE=∠B'CE，BE=B'E和∠CB'E=∠B=90°，并證明∠BCE=∠B'CE=12∠BCB'=15°，同理∠DAF=∠D'AF=15°，即可得到∠BCE=∠DAF，最后根據(jù)ASA證明結論；
[應用]先根據(jù)△BCE≌△DAF，證明BE=DF和CE=AF，以及AE=CF，進一步證明四邊形AECF是平行四邊形，以及四邊形AEGH是平行四邊形，得到GH=AE，再設GH=AE=x，則B'E=BE=AB-AE=2-x，得到ME=EB'?cs∠MEB'=2-x?32，再根據(jù)M是AB的中點得到EM=AE-AM=x-1，最后解方程2-x?32=x-1，求出x=23-2，即可得到點H、G之間的距離為23-2．
【詳解】解：[操作一]∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，
∵MN∥BC，
∴MB=NC，∠MNC=∠D=90°，
∵M是AB的中點，
∴MB=12AB=NC=12BC，
由折疊，得CB=CB'，
∴CN=12CB'，
在Rt△B'CN中，
sin∠CB'N=NCCB'=12，
∴∠CB'N=30°．
故答案為：B'C，30°．
[操作二]∵MN∥BC，
∴∠BCB'=∠CB'N=30°，
由折疊可得∠BCE=∠B'CE，BE=B'E，∠CB'E=∠B=90°，
∴∠BCE=∠B'CE=12∠BCB'=15°，
同理∠DAF=∠D'AF=15°，
∴∠BCE=∠DAF，
在△BCE和△DAF中，
∠BCE=∠DAFBC=AD∠B=∠D，
∴△BCE≌△DAFASA．
[應用]如圖，連接HG，

∵△BCE≌△DAF，
∴BE=DF，CE=AF，
∴AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴CE∥AF，
∵G、H分別是CE、AF的中點，
∴EG=AH，
∴四邊形AEGH是平行四邊形，
∴GH=AE，
設GH=AE=x，則B'E=BE=AB-AE=2-x，
∵∠CB'E=∠B=90°，
∴∠CB'N+∠BEB'=180°，
∵∠MEB'+∠BEB'=180°，
∴∠MEB'=∠CB'N=30°，
∵MN⊥AB，
∴ME=EB'?cs∠MEB'=2-x?32，
∵M是AB的中點，
∴AM=12AB=1，
∴EM=AE-AM=x-1，
∴2-x?32=x-1，
解得x=23-2，
即點H、G之間的距離為23-2．
【點睛】本題考查了正方形、矩形、平行四邊形性在應用，勾股定理的計算及三角形全等的證明是解題關鍵．
7．（2023·浙江寧波·一模）【基礎鞏固】
（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上與點B不重合的任意一點，EF=AE，∠AEF=90°，點G是射線BC上一點，求證：∠FCG=45°．
證明思路：在AB上截取BK=BE，因為AB=BC，所以AK=CE，請完成接下去的證明；
【嘗試應用】
（2）如圖2，在矩形ABCD中，點E是邊BC上與B不重合的任意一點，tan∠FCG=EFAE=2，∠AEF=90°，點G是射線BC上一點，求ABBC的值；
【拓展提高】
（3）如圖3，在矩形ABCD中，點E是邊AD上一點，連結BE，作∠EFG=∠EBF，使點F，G分別落在邊BC，CD．上．若2BE=5BF，且tan∠CFG=13，求sin∠EFC的值．
【答案】（1）見解析；（2）12；（3）104
【分析】
（1）先證明∠BAE=∠CEF，證明△EAK≌△FECSAS，得出∠AKE=∠ECF，進而可得∠FCG=∠BKE=45°；
（2）作∠AEM=∠F，交線段AB于點M，證明△AEM∽△EFC，得出AMEC=AEEF=12，進而可得BEBM=tan∠EMB=tan∠FCG=2，即可求解；
（3）過點G作∠FGH=∠EFG，即EF∥GH．△EBF∽△FGH，得出GHFG=BFBE=25，設CG=a，則CF=3a，F(xiàn)G=10a，得出GH=2105a，進而根據(jù)正弦的定義，即可求解．
【詳解】證明：（1）∵∠AEF=90°．
∴∠AEB+∠CEF=90°，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
在△EAK和△FEC中，
AE=EF∠KAE=∠CEFAK=EC，
∴△EAK≌△FECSAS，
∴∠AKE=∠ECF，
∵BK=BE，∠B=90°，
∴∠FCG=∠BKE=45°．
（2）作∠AEM=∠F，交線段AB于點M．
∵∠AEF=90°．
∴∠AEB+∠CEF=90°．
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AEM∽△EFC，
∴AMEC=AEEF=12，∠AME=∠ECF
又∴∠BME=∠FCG，
∴BEBM=tan∠EMB=tan∠FCG=2，
∴ABBC=AM+BMCE+BE=AM+BM2AM+2BM=12．
（3）如圖，過點G作∠FGH=∠EFG，即EF∥GH．
∴∠BFE=∠GHF，
∵∠EFC=∠EFG+∠GFC=∠EBF+∠BEF
∵∠EFG=∠EBF
∴∠BEF=∠GFC，
∴△EBF∽△FGH，
∴GHFG=BFBE=25．
∵tan∠CFG=13，
設CG=a，則CF=3a，F(xiàn)G=10a，
則GH=2105a，
∴sin∠EFC=sin∠GHC=a2510a=104．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形性質與判定，解直角三角形，矩形的性質，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．
題型03 銳角三角函數(shù)與圓綜合
8．（2023·廣西梧州·二模）如圖，在△ABC中，O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點C，過點A作AD⊥BO交BO的延長線于點D，且∠AOD=∠BAD．
(1)求證：AB為⊙O的切線；
(2)若AB=10，sin∠ABC=45，求AD的長．
【答案】(1)見解析
(2)AD的長為25
【分析】（1）作OE⊥AB于點E，由∠AOD=∠BAD得到∠CBD=∠ABD，根據(jù)角平分線定理，即可得到OC=OE，即可得證，
（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)，求出AC、BC的長，由S△AOB+S△COB=S△ABC，可求OC、OA、OB的長，根據(jù)ABOA=cs∠OAD=cs∠CBD=BCOB，即可求解，
本題考查了切線的性質與判定，角平分線定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解題的關鍵是：熟練掌握相關性質定理．
【詳解】（1）證明：作OE⊥AB于點E，則∠OEA=∠OEB=90°，
∵⊙O與BC相切于點C，
∴BC⊥OC，
∵AD⊥BO交BO的延長線于點D，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠CBD+∠BOC=90°，∠OAD+∠AOD=90°，∠BOC=∠AOD，
∴∠CBD=∠OAD，
∵∠AOD=∠BAD，
∴∠ODA=180°-∠AOD-∠D=180°-∠BAD-∠D=∠ABD，
∴∠CBD=∠ABD，
∴OC=OE，
∴點E在⊙O上，
∵OE是⊙O的半徑，且AB⊥OE，
∴AB是⊙O的切線，
（2）解：∵ACAB=sin∠ABC=45，AB=10，
∴AC=45AB=45×10=8，
∴BC=AB2-AC2=102-82=6，
∵S△AOB+S△COB=S△ABC，
∴12AB?OE+12BC?OC=12AC?BC，
∴12×10×OE+12×6×OC=12×8×6，
∴OC=3，
∴OA=AC-OC=8-3=5，OB=BC2+OC2=62+32=35，
∵ABOA=cs∠OAD=cs∠CBD=BCOB，
∴AD=OA?BCOB=5×635=25．
9．（2023·廣東深圳·模擬預測）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且tan∠A=34，M為線段AB的中點，作DM⊥AB，點P在線段CB上，點Q在線段AC上，以PQ為直徑的圓始終過點M，且PQ交線段DM于點E．

(1)求線段DM的長度；
(2)求tan∠PQM的值；
(3)當△MPE是等腰三角形時，求出線段AQ的長．
【答案】(1)154
(2)43
(3)258或5
【分析】（1）在Rt△AMD中，AM=12AB=5，然后在Rt△AMD中利用三角函數(shù)即可求解；
（2）證明∠ACM=∠A=∠QPM，然后根據(jù)等角的三角函數(shù)值相等即可求解；
（3）證明△AMQ∽△PME，故當△MPE是等腰三角形時，則△AMQ為等腰三角形．然后分①當AM=AQ=5時，②當AM=MQ時，③當AQ=MQ時三種情況求解．
【詳解】（1）∵DM⊥AB，
∴△ADM為直角三角形，
∵M為線段AB的中點，AB=10，
∴AM=12AB=5，
在Rt△AMD中，
則DM=AMtanA=5×34=154；
（2）連接CM，

在Rt△ABC中，∵CM是中線，
∴CM=BM=AM，
∴∠MBC=∠MCB，
∵MP=MP,,
∴∠MCB=∠PQM，
∴∠MBC=∠MCB=∠PQM，
在Rt△ABC中，tan∠A=BCAC=34，則tan∠ABC=ACBC=43，
∴tan∠PQM=tan∠ABC=43；
（3）∵∠QMA+∠QMD=90°，∠PME+∠QMD=90°，
∴∠QMA=∠PME，
在Rt△ABC中，∵CM是中線，
∴CM=BM=AM，
∴∠ACM=∠A，
∵MQ=MQ,
∴∠ACM=∠QPM，
∴∠ACM=∠A=∠QPM，
∴△AMQ∽△PME，
∴當△MPE是等腰三角形時，則△AMQ為等腰三角形，
①當AM=AQ=5時，
此時AQ=5；
②當AM=MQ時，
∴∠A=∠AQM.
∵∠AQM>∠ACM=∠A,
∴此種情況不存在；
③當AQ=MQ時，
∴∠A=∠AMQ.
∵∠A+∠ADM=90°,∠AMQ+∠DMQ=90°,
∴∠DMQ=∠ADM,
∴DQ=MQ,
∴AQ=DQ,
∴AQ=12AD，
在Rt△AMD中，AD=AM2+DM2=52+1542=254，
則AQ=258；
綜上，AQ=258或5．
【點睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質、三角形相似、解直角三角形等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
10．（2023·浙江杭州·三模）如圖1，三角形ABC內(nèi)接于圓O，點D在圓O上，連接AD和CD，CD交AB于點E，∠ADE+∠CAB=90°

(1)求證：AB是直徑；
(2)如圖2，點F在線段BE上，AC=AF，∠DCF=45°
①求證：DE=DA；
②若AB=kAD，用含k的表達式表示csB．
【答案】(1)證明見解析
(2)①證明見解析；②k2-2k2
【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理可得∠ADE=∠ABC，從而可得∠ABC+∠CAB=90°，再根據(jù)圓周角定理即可得證；
（2）①先根據(jù)等腰三角形的性質可得∠AFC=∠ACF，根據(jù)三角形的外角性質可得∠AFC=∠ACE+45°，再根據(jù)圓周角定理可得∠DAE=∠BCD=90°-∠ACE，從而可得∠AED=∠DAE，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；
②過點A作AH⊥CD于點H，設DE=DA=xx>0，BC=y，則AB=kx，csB=ykx，設csB=ykx=aa0，BC=y，則AB=kx，csB=BCAB=ykx，
在Rt△ABC中，BC45°，不符合題意；
當m>0時，
∵∠CPA=∠ABO=45°，
∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，
∴△PCD∽△APB，
∴PDAB=CDPB，即12m+22m=2212m，解得m=12．
故答案是：12．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握一次函數(shù)圖形的特點，幾何圖像的變換是解題的關鍵．
題型08 銳角三角形應用-仰角俯角問題
25．（2024·江蘇南京·模擬預測）今年除夕夜小李和亮亮相約去看煙花，并測量煙花的燃放高度，如圖，小李從B點出發(fā)，沿坡度i=5:12的山坡BA走了260米到達坡頂A點，亮亮則沿B點正東方向到達離A點水平距離80米的C點觀看，此時煙花在與B、C同一水平線上的點D處點燃，一朵朵燦爛的煙花在點D的正上方E點綻放，小李在坡頂A處看煙花綻放處E的仰角為45°，亮亮在C處測得E點的仰角為60°，（點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)）．煙花燃放結束后，小李和亮亮來到煙花燃放地幫忙清理現(xiàn)場的垃圾，他們清理時發(fā)現(xiàn)剛才燃放的煙花盒子上的說明書寫著煙花的燃放高度為430±5米，請你幫他們計算一下說明書寫的煙花燃放高度（圖中DE）是否屬實？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732）
【答案】說明書寫的煙花燃放高度屬實
【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題．過A作AG⊥BD于G，根據(jù)矩形的性質得到∠AGD=∠AGB=∠AFE=∠D=90°，AF=DG，AG=DF，設AG=5k，BG=12k，根據(jù)勾股定理得到AB=AG2+BG2=13k=260，BG=12k=240米，根據(jù)CG=80米，DF=100米，求得AF=DG=(80+CD)米，得到EF=AF=80+CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論．
【詳解】解：過A作AG⊥BD于G，AF⊥DE于F，

則四邊形AGDF是矩形，
∴∠AGD=∠AGB=∠AFE=∠D=90°，AF=DG，AG=DF，
在Rt△ABG中，AB=260米，AGBG=512，
設AG=5k，BG=12k，
∴AB=AG2+BG2=13k=260，
∴k=20，
∴AG=100米．BG=12k=240米，
∵CG=80米，DF=AG=100米，
∴AF=DG=(80+CD)米，
∵∠EAF=45°，
∴∠AEF=∠EAF=45°，
∴EF=AF=80+CD，
在Rt△CDE中，∠DCE=60°，DE=80+CD+100=180+CD，tan∠DCE=DECD，
∴180+CD=3CD，
∴CD=90+903，
∴DE=180+90+903≈426（米)．
∵426在430±5即425與435的范圍內(nèi)，
答：說明書寫的煙花燃放高度屬實．
26．（2024·江蘇南京·一模）如圖，山頂有一塔AB，在塔的正下方沿直線CD有一條穿山隧道EF，從與E點相距80m的C處測得A，B的仰角分別為27°，22°．從與F點相距50m的D處測得A的仰角為45°．若隧道EF的長為323m，求塔AB的高．（參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）

【答案】33m
【分析】延長AB交CD于點H，則AH⊥CD，結合角的正切分析求解直角三角形．
【詳解】解：如圖，延長AB交CD于點H，則AH⊥CD

在Rt△ACH中，∠ACH=27°，
∵tan27°=AHCH．
∴CH=AHtan27°=AH0.51．
在Rt△BCH中，∠BCH=22°，
∵CH=BHtan22°=BH0.40，
在Rt△ADH中，∠D=45°，
∵tan45°=AHHD，
∴HD=AH．
由題意可得CE=80m，EF=323m，DF=50m
∴CD=CE+EF+DF=453
∴CH+DH=CH+AH=453
又∵CH=AH0.51，
∴AH0.51+AH=453，解得AH=153，
∴CH=1530.51=300
∴BH0.40=300，解得BH=120
∴AB=AH-BH=33m
答：塔AB的高為33m．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用?仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
27．（2024·陜西商洛·一模）數(shù)學興趣小組在“測量教學樓高度”的活動中，設計并實施了以下方案：
請你依據(jù)此方案，求教學樓AB的高度．（結果保留整數(shù)）
【答案】教學樓的高度約為13m
【分析】本題考查解直角三角形的應用，根據(jù)題意得四邊形BDCE是矩形，則可得CG=BD，CD=BG=4.7m，然后分別在Rt△BCG與Rt△ACG中，利用三角函數(shù)的知識，求得CG與AG的長，進而可得AB，注意能借助仰角與俯角構造直角三角形并解直角三角形是關鍵．
【詳解】根據(jù)題意得：四邊形BDCE是矩形，
∴CG=BD，CD=BG=4.7m，
在Rt△BCG中，∠BCG=13°，
∴BG=CG?tan13°，
∴CG=BGtan13°，
在Rt△ACG中，∠ACG=22°，
∴AG=CG?tan22°=BGtan13°×tan22°≈×0.40≈8m，
∴AB=AG+BG=8+4.7≈13m，
答：教學樓的高度約為13m．
28．（2024·陜西西安·三模）某?！熬C合與實踐”活動小組的同學要測量兩座樓之間的距離，他們借助無人機設計了如下測量方案：無人機在兩樓之間上方的點O處，點O距地面AC的高度為60m，此時觀測到樓AB底部點A處的俯角為70°，樓CD上點E處的俯角為30°，沿水平方向由點O飛行24m到達點F，測得點E處俯角為60°，其中點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長．（結果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，3≈1.73)
【答案】58m
【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵；延長AB交OF于點G，延長CD交OF于點H，根據(jù)題意可得：AG⊥OF，CH⊥OF，AG=60m，OF=24m，GH=AC，然后在Rt△AGO中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OG的長，再利用三角形的外角性質可得∠FOE=∠FEO=30°，從而可得O=EF=24m，最后在Rt△EFH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．
【詳解】解：延長AB交OF于點G，延長CD交OF于點H，
由題意得：AG⊥OF，CH⊥OF，AG=60m，OF=24m，GH=AC，
在Rt△AGO中，∠AOG=70°，
∴GO=AGtan70°≈602.75≈21.8(m)，
∵∠HFE是△OFE的一個外角，∠HFE=60°，∠FOE=30°，
∴∠FEO=∠HFE-∠FOE=30°，
∴∠FOE=∠FEO=30°，
∴FO=EF=24m，
在Rt△EFH中，F(xiàn)H=EF?cs60°=24×12=12(m)，
∴AC=GH=OG+OF+FH=21.8+24+12≈58(m)，
∴樓AB與CD之間的距離AC的長約為58m．
題型09 銳角三角形應用-方位角問題
29．（2023·貴州貴陽·模擬預測）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走100米至觀測點D，測得A在D 的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點間的距離（精確度到1米）．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．sin53°≈0.80，cs53°≈0.60， tan53°≈1.33
【答案】A，B兩點間的距離約107米
【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，證得△BCD和△ABD是直角三角形是解決問題的關鍵．由三角形內(nèi)角和定理證得△BCD和△ABD是直角三角形，解直角三角形即可求出AB．
【詳解】解：根據(jù)題意得A，B，C三點共線，
∵CE∥AD，
∴∠A=∠ECA=37°，
∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°-53°=37°，CD=100米，cs∠BDC=BDCD，
∴BD=CD?cs∠37°≈100×0.80=80（米），
在Rt△ABD中，∠A=37°，BD=80米，tanA=BDAB，
∴AB=BDtan37°≈800.75≈107（米）．
答：A，B兩點間的距離約107米．
30．（2023·重慶·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是某公園內(nèi)的休閑步道．經(jīng)測量，點B在點A的正東方向，AB=100米，點C在點B的正北方向，點D在點A的西北方向，AD=2002米，點D在點C的南偏西60°方向上．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414,3≈1.732）
(1)求步道BC的長度；（精確到個位）
(2)甲以90米/分的速度沿A→B→C→D的方向步行，同時乙騎自行車以300米/分的速度沿A→B→C→D的方向行駛．兩人能否在3分鐘內(nèi)相遇？請說明理由．
【答案】(1)步道BC的長度為373米
(2)兩人可以在3分鐘內(nèi)相遇，理由見解析
【分析】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，正確地作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
（1）過點D作DE⊥BC于E過點A作AF⊥DE于F，則四邊形ABEF是矩形，求得EF=AB=100米，AF=BE，解直角三角形即可得到結論；
（2）解直角三角形即可得到結論．
【詳解】（1）解：過點D作DE⊥BC于E過點A作AF⊥DE于F，
則四邊形ABEF是矩形，
∴EF=AB=100米，AF=BE，
在Rt△DAF中，∠DAF=45°，AD=2002米，
∴AF=DF=AD?tan∠DAF=2002×22=200（米)，
∴BE=200米，DE=DF+EF=300米，
在Rt△DCE中，∠DCE=60°，DE=DF+EF=300米，tan∠DCE=DECE，
∴CE=DEtan60°=3003=1003（米)，
∴BC=BE+CE=200+1003≈200+100×1.732=373.2≈373（米)．
答：步道BC的長度約為373米；
（2）解：兩人能在3分鐘內(nèi)相遇，理由如下：
在Rt△DCE中，∠DCE=60°，CE=1003米，
∴∠CDE=30°，
∴CD=2CE=2003米，
∴四邊形ABCD的周長為300+3003+2002，
∴(300+3003+2002)÷(300+90)≈2.8（秒)，
故兩人能在3分鐘內(nèi)相遇．
31．（2023·重慶·模擬預測）如圖，一艘巡邏船以每小時50海里的速度從正北向正南方向進行巡邏，在點A處測得碼頭C在其南偏東60°方向上，繼續(xù)向正南方向航行2小時到達點B處，測得碼頭C在其北偏東30°方向上．

(1)求此時巡邏船所在點B處與碼頭C的距離；（結果保留根號）
(2)巡邏船在點B處發(fā)現(xiàn)其南偏東75°方向上的點D處有一只正在非法捕魚的漁船，于是立即調(diào)整方向以原速朝著點D處行駛，同時，巡邏船與?？吭诖a頭C的海監(jiān)船取得聯(lián)系，漁船在碼頭C的南偏東15°方向上，海監(jiān)船得到命令后整理裝備用時10分鐘，然后以每小時80海里的速度朝漁船行駛．求海監(jiān)船從碼頭C到達漁船所在的點D處的時間；并據(jù)此判斷海監(jiān)船能否比巡邏船提前到達D處．（結果精確到百分位，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45）
【答案】(1)503海里
(2)海監(jiān)船從碼頭C到達漁船所在的，點D處用時1.21小時，且海監(jiān)船能比巡邏船提前到達點D處
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用，理解方位角的含義是解本題的關鍵．
（1）先求解∠ACB=90°，AB=50×2=100海里，再解直角三角形可得BC的長度；
（2）先求解∠CBD=75°,∠BCD=45°，∠BDC=60°．過點B作BE⊥DC于點E．求解BE=CE=BC?cs45°=256海里．DE=BEtan60°=252海里，BD=DEcs60°=502海里．再計算時間進行比較即可．
【詳解】（1）解：由題意，得∠BAC=60°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=90°，AB=50×2=100（海里）．
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴BC=AB?cs30°=100×32=503（海里）．
答：此時巡邏船所在點B處與碼頭C的距離為503海里．
（2）由題意，得∠CBD=180°-30°-75°=75°,∠BCD=30°+15°=45°，
∴∠BDC=180°-75°-45°=60°．

過點B作BE⊥DC于點E．
在Rt△CEB中，∠CEB=90°，∠BCE=45°，
∴BE=CE=BC?cs45°=503×22=256（海里）．
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，∠BDE=60°，
∴DE=BEtan60°=2563=252（海里），
BD=DEcs60°=25212=502（海里）．
海監(jiān)船用時為CE+DE80=256+25280≈516×(2.45+1.41)≈1.21（時），
巡邏船用時為BD50=50250=2≈1.41（時）．
∵1.21+1060≈1.21+0.17=1.38AM），則sin∠BCM的值為（ ）

A．5-12B．5+12C．5-14D．12
【答案】A
【分析】過點M作MD⊥CB，垂足為D，延長MD交半⊙O于點M'，連接CM'，BM'，根據(jù)折疊的性質可得：∠CMB=∠CM'B，BC⊥MM'，從而可得∠BDM=90°，再根據(jù)黃金分割的定義可得BMAB=5-12，然后利用直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB=90°，從而證明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，進而利用相似三角形的性質可得DMAC=BMAB=5-12，最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補以及平角定義定義可得：∠A=∠AMC，從而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答．
【詳解】解：過點M作MD⊥CB，垂足為D，延長MD交半⊙O于點M'，連接CM'，BM'，

由折疊得：∠CMB=∠CM'B，BC⊥MM'，
∴∠BDM=90°，
∵點M為AB的黃金分割點（BM>AM），
∴BMAB=5-12，
∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠MDB，
∵∠DBM=∠CBA，
∴△DBM∽△CBA，
∴DMAC=BMAB=5-12，
∵四邊形ACM'B是半⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠CM'B＝180°，
∵∠AMC+∠CMB＝180°，∠CMB=∠CM'B，
∴∠A=∠AMC，
∴CA=CM，
在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12．
故選：A．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，黃金分割，解直角三角形，翻折變換（折疊問題），圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
5．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AD=5，tanB=2，E是AB上一點，將菱形ABCD沿DE折疊，使B、C的對應點分別是B'、C'，當∠BEB'=90°時，則點C'到BC的距離是（ ）

A．5+5B．25+2C．6D．35
【答案】D
【分析】過C作CH⊥AD于H，過C'作C'F⊥AD于F，由菱形性質和正切定義求出HD=5，HC=25，再由折疊證明∠BED=∠B'ED=135°，得到∠EDC=∠EDC'=45°，從而得到△CHD≌△DFC'，則C'F=HD=5，則問題可解．
【詳解】解：過C作CH⊥AD于H，過C'作C'F⊥AD于F，

由已知，AD=5，tanB=2，
∴CD=5，tan∠CDH=HCHD=2，
∴設HD=x，則HC=2x，
∴在Rt△HDC中，HC2+HD2=CD2，
2x2+x2=52，
解得x=5，
∴HD=5，HC=25，
由折疊可知，∠BED=∠B'ED，∠EDC=∠EDC'，CD=C'D
∵∠BEB'=90°，
∴∠BED=∠B'ED=135°，
∵AB∥DC，
∴∠EDC=180°-∠BED=45°，
∴∠EDC=∠EDC'=45°
∴∠CDC'=90°
∵∠CHD=∠C'AD=90°，
∴∠CDH+C'DF=90°，
∵∠CDH+∠HCD=90°，
∴∠C'DF=∠HCD，
∴△CHD≌△DFC'，
∴C'F=HD=5，
∴點C'到BC的距離是C'F+CH=5+25=35．
故選：D．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定、菱形的性質、圖形的折疊以及正切定義的應用，解答關鍵是根據(jù)折疊的條件推出∠BED=∠B'ED=135°．
6．（2023·浙江杭州·二模）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=θ0

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