專題08 分式方程及其應(yīng)用   1．分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程. 2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。（1）去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程);（2）按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，原分式方程無解；若不等于零，就是原方程的根。   【例題1】（2019?湖北孝感）方程＝的解為　    　．【答案】x＝1．【解析】解一個分式方程時，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三檢驗（檢查求出的根是否是增根）”的步驟求出方程的解即可．注意：解分式方程時，最后一步的驗根很關(guān)鍵．觀察可得方程最簡公分母為2x（x+3）．去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解．結(jié)果要檢驗．兩邊同時乘2x（x+3），得x+3＝4x，解得x＝1．經(jīng)檢驗x＝1是原分式方程的根．【例題2】（2019黑龍東地區(qū)）已知關(guān)于x的分式方程 的解是非正數(shù)，則m的取值范圍是（    ）A．m≤3   B．m＜3   C．m＞－3   D．m≥－3【答案】A【解析】知識點是分式方程的增根。 由得x=m-3，∵方程的解是非正數(shù)，∴m-3≤0，∴m≤3.當(dāng)x-3=0即x=3時，3=m-3，m=6，∵m=6不在m≤3內(nèi)，∴m≤3.故選A.【例題3】（2019?廣東省廣州市）甲、乙二人做某種機(jī)械零件，已知每小時甲比乙少做8個，甲做120個所用的時間與乙做150個所用的時間相等，設(shè)甲每小時做x個零件，下列方程正確的是（　　）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】【解析】設(shè)甲每小時做x個零件，根據(jù)甲做120個所用的時間與乙做150個所用的時間相等得出方程解答即可．設(shè)甲每小時做x個零件，可得：【例題4】（2019?四川自貢）解方程：﹣＝1．【答案】x＝2．【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，解得：x＝2，檢驗：當(dāng)x＝2時，方程左右兩邊相等，所以x＝2是原方程的解．【例題5】（2019?江蘇揚(yáng)州）“綠水青山就是金山銀山”，為了進(jìn)一步優(yōu)化河道環(huán)境，甲乙兩工程隊承擔(dān)河道整治任務(wù)，甲、乙兩個工程隊每天共整治河道1500米，甲工程隊整治3600米所用的時間與乙工程隊整治2400米所用時間相等。甲工程隊每天整治河道多少米？【答案】甲工程隊每天整治河道900米.【解析】解設(shè)甲工程隊每天整治河道xm，則乙工程隊每天整治（1500-x）m由題意得：＝，解得：x=900經(jīng)檢驗的x=900是該方程的解。   一、選擇題1.（2019?黑龍江哈爾濱）方程＝的解為（　?。?/span>A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝【答案】C【解析】本題考查解分式方程；熟練掌握分式方程的解法及驗根是解題的關(guān)鍵．將分式方程化為，即可求解x＝；同時要進(jìn)行驗根即可求解。＝，，∴2x＝9x﹣3，∴x＝；將檢驗x＝是方程的根，∴方程的解為x＝2.（2019山東淄博）解分式方程＝﹣2時，去分母變形正確的是（　?。?/span>A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） C．﹣1+x＝1+2（2﹣x）       D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）【答案】D 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，即可得到結(jié)果．去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）3.（2019?廣西貴港）若分式的值等于0，則x的值為（　?。?/span>A．±1       B．0         C．﹣1       D．1【答案】D 【解析】化簡分式＝＝x﹣1＝0即可求解。＝＝x﹣1＝0，∴x＝1；經(jīng)檢驗：x＝1是原分式方程的解。4.（2019遼寧本溪）為推進(jìn)垃圾分類，推動綠色發(fā)展，某化工廠要購進(jìn)甲、乙兩種型號機(jī)器人用來進(jìn)行垃圾分類.用360萬元購買甲型機(jī)器人和用480萬元購買乙型機(jī)器人的臺數(shù)相同，兩種型號機(jī)器人的單價和為140萬元.若設(shè)甲型機(jī)器人每臺x萬元，根據(jù)題意，所列方程正確的是A.        B.        C.      D. 【答案】A.【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)甲種型號機(jī)器人每臺的價格是x萬元，根據(jù)“用360萬元購買甲型機(jī)器人和用480萬元購買乙型機(jī)器人的臺數(shù)相同”，列出關(guān)于x的分式方程．設(shè)甲型機(jī)器人每臺x萬元，根據(jù)題意，可得：5. （2019?湖北十堰）十堰即將跨入高鐵時代，鋼軌鋪設(shè)任務(wù)也將完成．現(xiàn)還有6000米的鋼軌需要鋪設(shè)，為確保年底通車，如果實際施工時每天比原計劃多鋪設(shè)20米，就能提前15天完成任務(wù)．設(shè)原計劃每天鋪設(shè)鋼軌x米，則根據(jù)題意所列的方程是（　　）A．﹣＝15 B．﹣＝15 C．﹣＝20 D．﹣＝20【答案】A【解析】考查由實際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)以時間為等量關(guān)系列出方程．設(shè)原計劃每天鋪設(shè)鋼軌x米，根據(jù)如果實際施工時每天比原計劃多鋪設(shè)20米，就能提前15天完成任務(wù)可列方程．設(shè)原計劃每天鋪設(shè)鋼軌x米，可得：6. （2019?山東省濟(jì)寧市 ）世界文化遺產(chǎn)“三孔”景區(qū)已經(jīng)完成5G基站布設(shè)，“孔夫子家”自此有了5G網(wǎng)絡(luò)．5G網(wǎng)絡(luò)峰值速率為4G網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸500兆數(shù)據(jù)，5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快45秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率．設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是（　?。?/span>A．﹣＝45     B．﹣＝45 C．﹣＝45    D．﹣＝45【答案】A【解析】由實際問題抽象出分式方程直接利用5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快45秒得出等式進(jìn)而得出答案．設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是：﹣＝45．7.（2019?江蘇蘇州）小明5元買售價相同的軟面筆記本，小麗用24元買售價相同的硬面筆記本（兩人的錢恰好用完），已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴3元，且小明和小麗買到相同數(shù)量的筆記本，設(shè)軟面筆記本每本售價為元，根據(jù)題意可列出的方程為（  ）A． B． C．  D．【答案】A【解析】考察分式方程的應(yīng)用，簡單題型。找到等量關(guān)系為兩人買的筆記本數(shù)量二、填空題8.（2019?甘肅）分式方程＝的解為　   　．【答案】x＝【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，經(jīng)檢驗x＝是分式方程的解．9.（2019?山東省濱州市）方程+1＝的解是　   　．【答案】x＝1．【解析】本題考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要驗根．去分母，得x﹣3+x﹣2＝﹣3，移項、合并，得2x＝2，解得x＝1，檢驗：當(dāng)x＝1時，x﹣2≠0，所以，原方程的解為x＝110.（2019?山東省德州市）方程﹣＝1的解為　   　．【答案】x＝﹣4【解析】根據(jù)分式方程的解法，先將式子通分化簡為＝1，最后驗證根的情況，進(jìn)而求解。﹣＝1，＝1，＝1，＝1，x+1＝﹣3，x＝﹣4，經(jīng)檢驗x＝﹣4是原方程的根。11.（2019?湖北黃石）分式方程：﹣＝1的解為　     　．【答案】x＝﹣1【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．去分母得：4﹣x＝x2﹣4x，即x2﹣3x﹣4＝0，解得：x＝4或x＝﹣1，經(jīng)檢驗x＝4是增根，分式方程的解為x＝﹣112.（2019四川巴中）若關(guān)于x的分式方程+＝2m有增根，則m的值為　 　．【答案】1 【解析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化為整式方程的方程算出m的值．方程兩邊都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，∴最簡公分母x﹣2＝0，解得x＝2，當(dāng)x＝2時，m＝1故m的值是113.（2019?江蘇宿遷）關(guān)于x的分式方程+＝1的解為正數(shù)，則a的取值范圍是　　．【答案】a＜5且a≠3．【解析】直接解分式方程，進(jìn)而利用分式方程的解是正數(shù)得出a的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合分式方程有意義的條件分析得出答案．去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，解得：x＝5﹣a，5﹣a＞0，解得：a＜5，當(dāng)x＝5﹣a＝2時，a＝3不合題意，故a＜5且a≠3．14.（2019?貴州省安順市）某生態(tài)示范園計劃種植一批蜂糖李，原計劃總產(chǎn)量達(dá)36萬千克，為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良蜂糖李品種，改良后平均每畝產(chǎn)量是原計劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計劃增加了9萬千克，種植畝數(shù)減少了20畝，則原計劃和改良后平均每畝產(chǎn)量各多少萬千克？設(shè)原計劃平均畝產(chǎn)量為x萬千克，則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬千克，根據(jù)題意列方程為　   　．【答案】﹣＝20．【解析】設(shè)原計劃平均畝產(chǎn)量為x萬千克，則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬千克，依題意，得：﹣＝20．故答案為：﹣＝20．15. (2019黑龍江綏化)甲乙兩輛汽車同時從A地出發(fā),開往相距200km的B地,甲,乙兩車的速度之比是4:5,結(jié)果乙車比甲車早30分鐘到達(dá)B地,則甲車速度為______km/h.【答案】80【解析】分式方程的應(yīng)用。設(shè)甲車速度為4x,乙車速度為5x,根據(jù)題意得:,解之,得x＝20,∴甲車速度為4x＝80.三、解答題16.（2019廣西梧州）解方程：．【答案】是分式方程的解．【解析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．正確去分母、檢驗是解題關(guān)鍵．方程兩邊同乘以得：，則，，解得：，，檢驗：當(dāng)時，，故不是方程的根，是分式方程的解．17.（2019?湖北天門）解分式方程：＝．【答案】見解析。【解析】去分母化分式方程為整式方程，解之求得x的值，再檢驗即可得．兩邊都乘以（x+1）（x﹣1），得：2（x+1）＝5，解得：x＝，檢驗：當(dāng)x＝時，（x+1）（x﹣1）＝≠0，∴原分式方程的解為x＝．18.（2019貴州省畢節(jié)市）解方程：1－＝．【答案】見解析。【解析】觀察可得最簡公分母是2（x+1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．去分母得，2x+2﹣（x﹣3）＝6x，∴x+5＝6x，解得，x＝1經(jīng)檢驗：x＝1是原方程的解．19.（2019年陜西省）解分式方程： ．【答案】．【解析】去分母，解整式方程，檢驗根的情況，回答問題．方程兩邊同乘，得解得  檢驗：當(dāng)時，，所以是原分式方程的解所以原分式方程的解為．20.(2019黑龍江大慶)某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器,現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機(jī)器所需時間與原計劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時間相同,求該工廠原來平均每天生產(chǎn)多少臺機(jī)器?【答案】見解析。【解析】由已知列出分式方程,解之可得.設(shè)原來每天生產(chǎn)x臺機(jī)器,則現(xiàn)在每天生產(chǎn)(x+50)臺,根據(jù)題意得:,解之,得x＝150,經(jīng)檢驗,x＝150是原分式方程的解.答:該工廠原來平均每天生產(chǎn)150臺機(jī)器.21.（2019吉林長春）為建國70周年獻(xiàn)禮，某燈具廠計劃加工9000套彩燈，為盡快完成任務(wù)，實際每天加工彩燈的數(shù)量是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)。求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量.【答案】300套．【解析】該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量為x套，則實際每天加工彩燈的數(shù)量為1.2x套，
由題意得：，
解得：x=300，
經(jīng)檢驗，x=300是原方程的解，且符合題意。
22.（2019?湖南衡陽）某商店購進(jìn)A、B兩種商品，購買1個A商品比購買1個B商品多花10元，并且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等．（1）求購買一個A商品和一個B商品各需要多少元；（2）商店準(zhǔn)備購買A、B兩種商品共80個，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購買A、B商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？【答案】見解析。【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．（1）設(shè)購買一個B商品需要x元，則購買一個A商品需要（x+10）元，依題意，得：＝，解得：x＝5，經(jīng)檢驗，x＝5是原方程的解，且符合題意，∴x+10＝15．答：購買一個A商品需要15元，購買一個B商品需要5元．（2）設(shè)購買B商品m個，則購買A商品（80﹣m）個，依題意，得：，解得：15≤m≤16．∵m為整數(shù)，∴m＝15或16．∴商店有2種購買方案，方案①：購進(jìn)A商品65個、B商品15個；方案②：購進(jìn)A商品64個、B商品16個．23.（2019湖南湘西）列方程解應(yīng)用題：某列車平均提速80km/h，用相同的時間，該列車提速前行駛300km，提速后比提速前多行駛200km，求該列車提速前的平均速度．【答案】該列車提速前的平均速度為120km/h．【解析】設(shè)該列車提速前的平均速度為xkm/h，則提速后的平均速度為（x+80）km/h，根據(jù)時間＝路程÷速度結(jié)合提速前行駛300km和提速后行駛500km（300+200）所用時間相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．設(shè)該列車提速前的平均速度為xkm/h，則提速后的平均速度為（x+80）km/h，依題意，得：，解得：x＝120，經(jīng)檢驗，x＝120是原方程的解，且符合題意．

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