第四章§4.9　解三角形中的最值與范圍問(wèn)題解三角形中的最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，一直是高考的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，主要是利用三角函數(shù)、正余弦定理、三角形面積公式、基本不等式等工具研究三角形問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是建立起角與邊的數(shù)量關(guān)系.重點(diǎn)解讀題型一　利用基本不等式求最值(范圍)所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，所以cos(A＋B)＝sin B，由(1)得cos(A＋B)＝sin B，求解三角形中面積和周長(zhǎng)最值問(wèn)題的常用方法在△ABC中，如果已知一個(gè)角及其對(duì)邊，假設(shè)已知A，a，根據(jù)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”與“bc”的等量關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1　在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.(1)求A；由正弦定理和已知條件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB. ①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A. ②(2)若BC＝3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值.由正弦定理及(1)得題型二　轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值(范圍)(2)已知點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范圍.因?yàn)锳D＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，三角形中最值(范圍)問(wèn)題，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍.(1)若BC邊上的高等于1，求cos A；所以sin B＝cos B，則tan B＝1，(2)若△ABC為銳角三角形，求△ABC面積的取值范圍.又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，題型三　轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值(范圍)所以sin(A－B)cos C＝sin(A－C)cos B，所以sin Acos Bcos C－cos Asin Bcos C＝sin Acos Ccos B－cos Asin Ccos B，所以cos Asin Bcos C＝cos Asin Ccos B，所以tan B＝tan C，由(1)知B＝C，所以sin B＝sin C，b＝c，由正弦定理得asin C＝csin A＝bsin A＝1，因?yàn)锳＝π－B－C＝π－2C，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，且B＝C，解決此類(lèi)題目，一是利用正余弦定理，轉(zhuǎn)化成邊的函數(shù)，或轉(zhuǎn)化成關(guān)于正弦、余弦或正切的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解；二是利用三角恒等變換構(gòu)造關(guān)于正弦、余弦或正切的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.∴b2＋ab＝a2＋b2，解得a＝b，即A＝B，由(1)知，c2＝b2＋ab，代入化簡(jiǎn)可得b0，又△ABC為銳角三角形，12345678910∴A＝C－A，解得C＝2A，1234567891012345678910設(shè)BD＝k(k>0)，則CD＝2k.根據(jù)題意作出大致圖形，如圖.在△ACD中，由余弦定理得123456789101234567891012345678910四、解答題(1)求B；12345678910由正弦定理可得又A∈(0，π)，所以sin A≠0，1234567891012345678910(2)若△ABC為銳角三角形，且b＝2，求其周長(zhǎng)的取值范圍.123456789101234567891012345678910在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若________，(1)求角B的大小；12345678910若選①，12345678910若選②，由(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C，化簡(jiǎn)得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C.由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac，12345678910若選③，因?yàn)?

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