一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由可得，解得或，
所以，
又，則，所以，
所以，所以.
故選：D
2. 若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，故?br>故選:A
3. 已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三角函數(shù)的定義有：，
所以；
故選：D.
4. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)B. 是奇函數(shù)
C. 是奇函數(shù)D. 是偶函數(shù)
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以令，可得，
令，則，
所以，
則既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，
且，
所以是奇函數(shù).
故選：C
5. 向量，，則在上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知，在上的投影向量為：.
故選：C.
6. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
即，
故選：B.
7. 已知，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)?，故，即?br>又，即，故，
即，即，
故選：D
8. 如圖，在中，，，，若為圓心為的單位圓的一條動(dòng)直徑，則的最大值是（ ）
A. 2B. 4
C. D.
【答案】A
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸，
如圖所示：
則，
設(shè)，則，
所以，
所以
，
其中(為第二象限角)，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值，為2.
即的最大值為2.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 命題“，”的否定形式是“，”
B. 當(dāng)時(shí)，的最小值為4
C.
D. “（）”是“（）”的必要不充分條件
【答案】AC
【解析】選項(xiàng)A：命題“，”的否定形式是
“，”判斷正確；
選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，令，
則在單調(diào)遞減，最小值為5，
則當(dāng)時(shí)，的最小值為5.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：由，
可得.判斷正確；
選項(xiàng)D：（），
可化為或或或（），
故“（）”是“（）”的充分不必要條件.判斷錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長度后，所得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是
D. 若實(shí)數(shù)使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，，，則
【答案】BCD
【解析】，
對(duì)于A，令，則，
所以對(duì)于函數(shù)，時(shí)，有增有減，A錯(cuò)；
令，則，B正確；
對(duì)于C，平移后，得，若圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
則，，C正確；
因?yàn)?，作出圖像如下圖所示，

由與有且只有三個(gè)交點(diǎn)，所以，
又因?yàn)闀r(shí)，且關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，D正確.
故選：BCD
11. 設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足，且，（），則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.
B. 數(shù)列為等差數(shù)列
C. 當(dāng)時(shí)，有最大值
D. 設(shè)，則當(dāng)或時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，解得或，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，由，得，，
所以，
整理得，
因?yàn)?，所以，即?br>所以數(shù)列an是首項(xiàng)為19，公差為的等差數(shù)列，
所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由A可知，，
所以，
所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為19，公差為的等差數(shù)列，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故C正確；
對(duì)于D，由，得，
由，得，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)或時(shí)，數(shù)列bn的前項(xiàng)和取最大值.故D正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，都是正數(shù)，且，則的最小值為______．
【答案】
【解析】因?yàn)椋际钦龜?shù)，且，
所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
將，代入，得時(shí)，等號(hào)成立.
13. 已知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，且趨向正無窮時(shí)，趨向正無窮，
所以在區(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上恒成立，
設(shè)，可得，
因?yàn)?，，可得，所以?br>所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
14. 已知函數(shù)，，則的對(duì)稱中心為______；若（），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，
由，得，
則，
因此函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是；
由，得，當(dāng)時(shí)，，
，
，
于是，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知在中，角，，，所對(duì)的邊分別為，，，．
（1）求角；
（2）過點(diǎn)作，連接，使，，，四點(diǎn)組成四邊形，若，，，求長．
解：（1）由，結(jié)合由正弦定理邊化角可得，
故，而，
所以，又B∈0,π，所以．
（2）在中，,由正弦定理可得，
因?yàn)?，所以，即?br>在中，因?yàn)?，所以為銳角，所以，
又因?yàn)?，，結(jié)合定理可得．
解得或．
16. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（）.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）由，可得，
兩式相減可得：，所以，
令，可得，所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為.
（2），．
可得，則，
兩式相減得：
，所以，
因，則，
原題意等價(jià)于關(guān)于的不等式恒成立，可得，
記，
令，則，解得或3，
則，即當(dāng)或時(shí)，取到最大值，
可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．
17. 已知函數(shù)

（1）請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格紙中畫出的簡圖，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（無需證明）；
（2）定義函數(shù)在定義域內(nèi)的，若滿足，則稱為函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn)，簡稱不動(dòng)點(diǎn)；若滿足，則稱為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)，簡稱穩(wěn)定點(diǎn).
①求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
②求函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).
解：（1）的單增區(qū)間為-1,0，0,+∞，的單減區(qū)間為.
（2）易知
①當(dāng)時(shí)，，令得，解得；
當(dāng)時(shí)，，令得，解得（舍）
綜上所述：函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為.
②當(dāng)時(shí)，，且，
則
令得，，解得或（舍）；
當(dāng)時(shí)，，且，
則
令，得，解得；
當(dāng)時(shí)，，且，
則，
令，得，解得或（舍）
綜上所述：函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)有3個(gè)，分別是，和1.
18. 摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號(hào)為1～48號(hào)的48個(gè)座艙．開啟后摩天輪按照逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要．

（1）求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；
（2）若甲、乙兩人分別坐在1號(hào)和9號(hào)座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求為何值時(shí)高度差最大．
（參考公式：，）
解：（1）設(shè)，則，
令時(shí)，則，，
又，解得，
所以，．
（2）由題意得：1號(hào)與9號(hào)座艙的角度差為．
不妨假設(shè)1號(hào)座艙出發(fā)早于9號(hào)座艙，時(shí)1號(hào)與9號(hào)的高度分別為，，
則，，
所以高度，
由參考公式得，上式
從而高度差，；
當(dāng)，即，時(shí)，解得，，
又，所以或，此時(shí)高度差的最大值為．
19. 已知 ，函數(shù)，.
（1）當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若，求證：.
解：（1），定義域均為，
，
當(dāng)時(shí)，則，在單調(diào)遞增，無極值，與題不符；
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在取極小值，且；
又，
當(dāng)時(shí)：，在單調(diào)遞減，無極值，與題不符；
當(dāng)時(shí)：令，解得：，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在取極小值，且；
由題：，解得：.
（2）令，因?yàn)?，所以?br>由可得：，
①-②得：，所以，
要證： ，只要證： ，只要證：
不妨設(shè)，所以只要證：，
即證：，令，只要證：，
令， ，
所以在上單調(diào)遞增，
， 即有成立，所以成立.

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