1. 已知集合，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程化簡(jiǎn)集合，即可由交運(yùn)算求解.
【詳解】由得，
所以，
故答案為：
2. 不等式的解集為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式即可求解.
【詳解】由題意，所以解集為.
故答案為：
3. 已知是方程的兩個(gè)實(shí)根，則__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得出，再化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根，所以，
則.
故答案為：3.
4. 計(jì)算：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式計(jì)算即可.
【詳解】原式.
故答案為：
5. 已知，則__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)，表示出，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以.
故答案：2.
6. 函數(shù)的零點(diǎn)為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函數(shù)的定義域，通過(guò)解方程，再檢驗(yàn)可得出答案.
【詳解】由定義域?yàn)?
由，即，可得
解得或
又時(shí)，不滿(mǎn)足方程
時(shí)滿(mǎn)足條件.
故答案為：
7. 已知關(guān)于的方程的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，條件可轉(zhuǎn)化函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)大于，一個(gè)小于，觀察圖象可得，解不等式可得結(jié)論
【詳解】設(shè)，
因?yàn)榉匠痰囊粋€(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1，
所以函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)大于，一個(gè)小于，
又函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，
作滿(mǎn)足要求的函數(shù)圖象可得，
觀察圖象可得，解得，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
8. 已知全集，集合或，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用并集的定義得，從而得，根據(jù)集合包含關(guān)系列不等式求解.
【詳解】全集，集合，，
所以或，
所以．
集合或，且，
所以或，
解得或，
即的范圍為．
故答案為：.
9. 設(shè)，若函數(shù)的反函數(shù)為，且函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系求出，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解不等式.
【詳解】由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
則，解得，即，
而函數(shù)都是R上的增函數(shù)，
因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，
則，解得，所以原不等式的解集為.
故答案為：
10. 設(shè)，若，則實(shí)數(shù)__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，結(jié)合分段函數(shù)解析式求，再求，由條件列方程求.
【詳解】因?yàn)椋?br>又當(dāng)時(shí)，，
所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，
因?yàn)椋?br>故，
所以.
故答案為：.
11. 設(shè)，若非空集合滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意直接代入，然后解一元二次不等式，通過(guò)分別判斷兩一元二次不等式的方程的，從而進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，可得，
即，
由，可得在上恒成立，
即，解得，
又集合A是非空集合，所以在上有解，
則，解得或，
綜合可得：．
故答案為：
12. 設(shè)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則此函數(shù)的最小值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)是偶函數(shù)求出，再由函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱(chēng)性可得.
【詳解】由是偶函數(shù)可得，即，
所以，設(shè)，任取，則，
所以在上單調(diào)遞增，也即在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減，
所以的最小值在對(duì)稱(chēng)軸處取得，即.
故答案為：
二?選擇題（本大題滿(mǎn)分20分）本大題共5題，每題4分.
13. 設(shè)為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（ ）條件.
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷得解.
【詳解】由，得；反之，，可以為，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
14. 設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則下列結(jié)論不正確的是（ ）.
A. 的最小值為4B. 的最大值為
C. 的最大值為D. 的最小值為
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式的應(yīng)用，結(jié)合選項(xiàng)計(jì)算即可判斷.
【詳解】A：∵，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故A正確．
B：，得，
，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故B正確．
C：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；
D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．
故選：C．
15. 函數(shù)圖像的大致形狀為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】中含有，故是分段函數(shù)，根據(jù)的正負(fù)寫(xiě)出分段函數(shù)的解析式，對(duì)照?qǐng)D象選擇即可．
【詳解】是分段函數(shù)，根據(jù)的正負(fù)寫(xiě)出分段函數(shù)的解析式，，
時(shí)，圖象與在第一象限的圖象一樣是增函數(shù)，
時(shí)，圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).
故選：B．
16. 定義運(yùn)算：.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，原不等式等價(jià)于恒成立，結(jié)合二次不等式恒成立問(wèn)題運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，即?br>整理可得，
原題意等價(jià)于恒成立，
則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
17. 設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若?duì)任意，都有，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，由已知可得函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，從而將不等式轉(zhuǎn)化，求解即可．
【詳解】令，因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù)，
所以的定義域?yàn)椋沂桥己瘮?shù)，
且，
因?yàn)閷?duì)任意，都有，
即對(duì)任意，都有，
所以時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，所以?br>當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，
即，所以，解得，
當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，
即，所以，解得，
綜上，原不等式的解集為．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.
18. 設(shè)，則（ ）.
A. 函數(shù)的最大值為3，最小值為1
B. 函數(shù)的最大值為，無(wú)最小值
C. 函數(shù)的最大值為，無(wú)最小值
D. 函數(shù)的最大值為3，最小值為
【答案】C
【解析】
【分析】在同一坐標(biāo)系中先畫(huà)出與的圖象，然后根據(jù)定義畫(huà)出，就容易看出有最大值，無(wú)最小值，解出兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，即可求得最大值．
【詳解】在同一坐標(biāo)系中先畫(huà)出與的圖象，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以由得（舍去）或，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，無(wú)最小值.
故選：C
三?解答題（本大題滿(mǎn)分50分）本大題共5題，解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟.
19. 已知函數(shù)的定義域?yàn)榧希?
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)求定義域，再根據(jù)并集的運(yùn)算可得；
（2）由題意，可得，進(jìn)而可得.
【小問(wèn)1詳解】
由得，得，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
.
【小問(wèn)2詳解】
若是的必要條件，則，
故，得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為
20. 設(shè)
（1）作出函數(shù)的大致圖象，并指出它的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，討論關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù).
【答案】（1）圖象見(jiàn)解析，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間是，.
（2）答案見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）借助圖象變換作出的大致圖像，再利用圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）把方程的解轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)即可作答.
【小問(wèn)1詳解】
觀察函數(shù)的圖象得：函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間是，.
【小問(wèn)2詳解】
依題意，關(guān)于x的方程的解就是直線(xiàn)與函數(shù)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖，
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖像無(wú)公共點(diǎn)，即方程的解的個(gè)數(shù)為0，
當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖像有2個(gè)公共點(diǎn)，即方程的解的個(gè)數(shù)為2，
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖像有3個(gè)公共點(diǎn)，即方程的解的個(gè)數(shù)為3，
綜上得：當(dāng)時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)或時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為2，
當(dāng)時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為3.
21. 如圖所示，為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙上設(shè)計(jì)大小相等的左右兩個(gè)矩形宣傳欄，宣傳欄的面積之和為，為了美觀，要求海報(bào)上四周空白的寬度為，兩個(gè)宣傳欄之間的空隙的寬度為，設(shè)海報(bào)紙的長(zhǎng)和寬分別為
（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式
（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少?
【答案】（1）
（2）海報(bào)長(zhǎng)，寬時(shí)，用紙量最少.
【解析】
【分析】（1）表示出矩形宣傳欄的長(zhǎng)和寬，然后根據(jù)面積公式可得；
（2）由（1）可得，然后利用基本不等式將（1）中等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次不等式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題知，兩個(gè)矩形宣傳欄的長(zhǎng)為，寬為，
所以有，
整理得.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，即，
因?yàn)?，所以由基本不等式可得?br>令，則，解得（舍去）或
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以海報(bào)長(zhǎng)，寬時(shí)，用紙量最少，最少用紙量為.
22. 設(shè).
（1）若，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍；
（2）若，函數(shù)在上的最小值為，求的值.
【答案】（1）；
（2）3.
【解析】
分析】（1）把代入，利用一元二次型不等式恒成立求出范圍.
（2）把代入，分類(lèi)討論求解二次函數(shù)在上的最小值問(wèn)題.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)
不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立，則；
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，解得，不符合要求；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，解得，不符合要求；
當(dāng)，即時(shí)，，解得或，則，
所以的值是3.
23. 設(shè)，已知是上的奇函數(shù).
（1）求的值，并判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），函數(shù)是上的增函數(shù)
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義求出，再借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)性
（2）由（1）及已知，等價(jià)變形給定不等式，分離參數(shù)并利用基本不等式求出最小值即得.
【小問(wèn)1詳解】
由函數(shù)是上的奇函數(shù)，得，
則，而，解得，
函數(shù)，函數(shù)都是上的增函數(shù)，因此函數(shù)是上的增函數(shù)，
所以，函數(shù)是上的增函數(shù).
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，函數(shù)是上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，
對(duì)任意，不等式
，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
24. 對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，同時(shí)滿(mǎn)足：
①函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，其值域也為.則稱(chēng)為函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”.
（1）判斷是否為函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”？并說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)存在“優(yōu)美區(qū)間”，求的最小值；
（3）若函數(shù)存在“優(yōu)美區(qū)間”，當(dāng)變化時(shí)，試求的最大值.
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）4
（3）
【解析】
【分析】（1）通過(guò)在區(qū)間上單調(diào)遞增，利用新定義判斷即可；
（2）函數(shù)在為增函數(shù)，又為“優(yōu)美區(qū)間”，則，即是的兩個(gè)不等的正整數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求解；
（3）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集，通過(guò)是已知函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”，則，說(shuō)明是方程的兩個(gè)同號(hào)且不等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求解的最大值.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在為增函數(shù)，所以在也為增函數(shù)，
又因?yàn)?，所以的值域?yàn)椋?br>所以為函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)增函數(shù)，又為的“優(yōu)美區(qū)間”，
所以，所以是方程的兩個(gè)不等正整數(shù)根，即是的兩個(gè)不等的正整數(shù)根，
所以，解得或，
所以的最小值為4.
小問(wèn)3詳解】
定義域?yàn)?，假設(shè)或，
在上為增函數(shù)，又是函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”，所以，
所以是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即是的兩個(gè)同號(hào)且不等實(shí)數(shù)根，
所以或，又，
所以，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
在實(shí)際解決“新定義”問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是正確提取新定義中的新概念、新公式、新性質(zhì)、新模式等信息，確定新定義的名稱(chēng)或符號(hào)、概念、法則等，并進(jìn)行信息再加工，尋求相近知識(shí)點(diǎn)，明確它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，探求解決方法，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)轉(zhuǎn)換，有效輸出，合理歸納，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)技巧與方法來(lái)分析與解決!
25. 對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱(chēng)函數(shù)存在“漂移點(diǎn)”.
（1）判斷函數(shù)是否存在“漂移點(diǎn)”？并說(shuō)明理由；
（2）求證：函數(shù)在上存在“漂移點(diǎn)”；
（3）若函數(shù)在上存在“漂移點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）沒(méi)有飄移點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；
（2）證明見(jiàn)解析； （3）
【解析】
【分析】（1）按照“飄移點(diǎn)”的概念，只需方程有根即可，據(jù)此判斷；
（2）本問(wèn)利用零點(diǎn)定理即可判斷，即判斷端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)；
（3）若函數(shù)在上有飄移點(diǎn)，只需方程在該區(qū)間上有實(shí)根，然后借助于二次函數(shù)的性質(zhì)可以解決．
【小問(wèn)1詳解】
假設(shè)函數(shù)有“飄移點(diǎn)” ，則有解，
即，由于方程無(wú)實(shí)根，與題設(shè)矛盾，所以函數(shù)沒(méi)有飄移點(diǎn)．
【小問(wèn)2詳解】
令
，
所以， ．所以，
又在連續(xù)，
所以在至少有一個(gè)實(shí)根，
即函數(shù)在上存在漂移點(diǎn)；
【小問(wèn)3詳解】
若在上有飄移點(diǎn)，
所以成立，即，，
整理得，
由，，則．
則實(shí)數(shù)的取值集合是．

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2022-2023學(xué)年上海市虹口區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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