專題8　最值與定值問題一、選擇題1．(2019·泰安)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點，F為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是( D )A．2    B．4    C．    D．2　　　解析：如圖：由題意可知點P的運動軌跡是線段P1P2，∴當BP⊥P1P2時，PB取得最小值，等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2，∴PB的最小值是2.2．(2019·玉林)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點O是AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點，則MN的最小值和最大值之和是( B )A．5    B．6    C．7    D．8　　　解析：如圖，MN最小值為OP－OF＝－1＝；當N在AB邊上時，M與B重合時，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，MN最大值＝＋1＝，∴MN長的最大值與最小值的和是6.3．(2019·長沙)如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD＋BD的最小值是( B )A．2    B．4    C．5    D．10　　　解析：如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.由題意可求得CM＝BE＝4，∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin ∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD＋BD＝CD＋DH，又∵CD＋DH≥CM，∴CD＋BD≥4，∴CD＋BD的最小值為4.二、填空題4．(2019·濰坊)如圖，直線y＝x＋1與拋物線y＝x2－4x＋5交于A，B兩點，點P是y軸上的一個動點，當△PAB的周長最小時，S△PAB＝____．　　解析：作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接A′B與y軸的交于P，則此時△PAB的周長最小，可求點P的坐標為(0，)，點P到直線AB的距離是：(－1)×sin 45°＝×＝，由題意可求得AB＝3，∴△PAB的面積是：＝.5．(2019·陜西)如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD交于點O，N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM＝6.P為對角線BD上一點，則PM－PN的最大值為__2__．　　　　解析：如圖所示，作以BD為對稱軸作N的對稱點N′，連接PN′，MN′，根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，PN＝PN′，∴PM－PN＝PM－PN′≤MN′，當P，M，N′三點共線時，取“＝”，可求AN′＝6，∵BM＝6，∴CM＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN′＝90°，∵∠N′CM＝45°，∴△N′CM為等腰直角三角形，∴CM＝MN′＝2，即PM－PN的最大值為2.6．(2019·無錫)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動點(B點除外)，以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為__8__．　　　解析：過點C作CG⊥BA于點G，作EH⊥AB于點H，作AM⊥BC于點M.∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易證△AMB∽△CGB，∴＝，即＝，∴GB＝8，設(shè)BD＝x，則DG＝8－x，易證△EDH≌△DCG(AAS)，∴EH＝DG＝8－x，∴S△BDE＝BD·EH＝x(8－x)＝－(x－4)2＋8，當x＝4時，△BDE面積的最大值為8.三、解答題7．若對于任意非零實數(shù)a，拋物線y＝ax2＋ax－2a總不經(jīng)過點P(x0－3，x－16)，求符合條件的點P.解：∵對于任意非零實數(shù)a，拋物線y＝ax2＋ax－2a總不經(jīng)過點P(x0－3，x－16)，∴x－16≠a(x0－3)2＋a(x0－3)－2a，∴(x0－4)(x0＋4)≠a(x0－1)(x0－4)，∴(x0＋4)≠a(x0－1)，∴x0＝－4或x0＝1，∴點P的坐標為(－7，0)或(－2，－15) 8．如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上移動，但A到EF的距離AH始終保持與AB長相等，問在E，F移動過程中：(1)∠EAF的大小是否有變化？請說明理由；(2)△ECF的周長是否有變化？請說明理由．解：(1)∠EAF的大小沒有變化．理由如下：根據(jù)題意，知AB＝AH，∠B＝90°，又∵AH⊥EF，∴∠AHE＝90°，∵AE＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE(HL)，∴∠BAE＝∠HAE，同理，△HAF≌△DAF，∴∠HAF＝∠DAF，∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝∠BAH＋∠HAD＝(∠BAH＋∠HAD)＝∠BAD，又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF的大小沒有變化；(2)△ECF的周長沒有變化．理由如下：∵由(1)知，Rt△BAE≌Rt△HAE，△HAF≌△DAF，∴BE＝HE，HF＝DF，∴C△EFC＝EF＋EC＋FC＝EB＋DF＋EC＋FC＝2BC，∴△ECF的周長沒有變化．    9．將6張小長方形紙片(如圖1所示)按圖2所示的方式不重疊的放在長方形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分恰好分割為兩個長方形，面積分別為S1和S2.已知小長方形紙片的長為a，寬為b，且a＞b.當AB長度不變而BC變長時，將6張小長方形紙片還按照同樣的方式放在新的長方形ABCD內(nèi)，S1與S2的差總保持不變，求a，b滿足的關(guān)系式．(1)為解決上述問題，如圖3，小明設(shè)EF＝x，則可以表示出S1＝________，S2＝________；(2)求a，b滿足的關(guān)系式，寫出推導過程．解：(1)a(x＋a)，4b(x＋2b)；(2)解：由(1)知：S1＝a(x＋a)，S2＝4b(x＋2b)，∴S1－S2＝a(x＋a)－4b(x＋2b)＝ax＋a2－4bx－8b2＝(a－4b)x＋a2－8b2，∵S1與S2的差總保持不變，∴a－4b＝0.∴a＝4b. 10．(2019·自貢)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1＝kx＋b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y2＝(m≠0)的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的A(3，5)，B(a，－3)兩點，與x軸交于點C.(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)在y軸上找一點P使PB－PC最大，求PB－PC的最大值及點P的坐標；(3)直接寫出當y1＞y2時，x的取值范圍．　　解：(1)把A(3，5)代入y2＝(m≠0)，可得m＝3×5＝15，∴反比例函數(shù)的解析式為y2＝；把點B(a，－3)代入，可得a＝－5，∴B(－5，－3).把A(3，5)，B(－5，－3)代入y1＝kx＋b，可得解得∴一次函數(shù)的解析式為y1＝x＋2；(2)一次函數(shù)的解析式為y1＝x＋2，令x＝0，則y＝2，∴一次函數(shù)與y軸的交點為P(0，2)，此時，PB－PC＝BC最大，P即為所求，令y＝0，則x＝－2，∴C(－2，0)，∴BC＝＝3；(3)當y1＞y2時，－5＜x＜0或x＞3. 

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