一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知直線的斜率，則的傾斜角的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．3C．D．2
5．已知點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．有6個質(zhì)地形狀相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字，從中隨機(jī)有放回的取兩個球，每次取1個球．事件“第一次取出的球標(biāo)的數(shù)字為奇數(shù)”，事件“第二次取出的球標(biāo)的數(shù)字為偶數(shù)”，事件“兩次取出的球標(biāo)的數(shù)字之和為5”，事件“兩次取出的球標(biāo)的數(shù)字之和為6”，則（ ）
A．與互斥B．與相互獨(dú)立
C．與相互獨(dú)立D．與互斥
7．若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．已知點(diǎn)為圓上的兩動點(diǎn)，且，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．30D．18
二、多選題
9．已知直線，則（ ）
A．的方程可以表示過點(diǎn)的任意一條直線
B．原點(diǎn)到的距離的最大值為
C．的充要條件為
D．的充要條件為或
10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則（ ）
A．的準(zhǔn)線方程為B．直線與相切
C．D．
11．?dāng)?shù)學(xué)史上“笛卡爾心形曲線”以其優(yōu)美的形狀，浪漫的傳說而聞名．曲線也是一種“心形曲線”，點(diǎn)為上的點(diǎn)，過分別向軸、軸作垂線，垂足分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，稱橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)，則（ ）
A．上整點(diǎn)的個數(shù)為6B．矩形面積的最大值為
C．D．所圍成的區(qū)域的面積大于3
三、填空題
12．的展開式中的系數(shù)為 ．
13．寫出圓與圓的一條公切線方程 ．
14．已知雙曲線族，設(shè)分別為的左、右焦點(diǎn)，為的右支上一動點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為，則 ．
四、解答題
15．已知的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，滿足．
(1)求角的大??；
(2)若，，求的面積．
16．已知雙曲線的離心率為分別為的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且當(dāng)時，的面積為．
(1)求的方程；
(2)過分別向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，求的面積．
17．如圖，在所有棱長均為4的正三棱柱中，為的中點(diǎn)，過的截面與棱，分別交于點(diǎn)．
(1)確定點(diǎn)的位置，并說明理由；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
18．已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為上軸上方的一點(diǎn)，與的斜率之積為為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線為坐標(biāo)原點(diǎn)）交于點(diǎn)，為軸上方的點(diǎn)．
(1)求的方程；
(2)若為的重心，求的坐標(biāo)；
(3)過點(diǎn)作平行于的直線交于點(diǎn)，求的最大值．
19．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時，若有兩個極值點(diǎn)，
①證明：；
②證明：．
《江西省部分學(xué)校（九師聯(lián)盟）2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷》參考答案
1．B
【分析】根據(jù)集合描述得，再由集合的交運(yùn)算求集合.
【詳解】由題意得，所以．
故選：B．
2．D
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法及減法求得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義確定答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故?br>故選：D．
3．C
【分析】利用斜率的定義得到直線傾斜角的正切值的范圍，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】設(shè)的傾斜角為，則，且，
如圖，由正切函數(shù)的性質(zhì)知.
故選：C.
4．B
【分析】利用橢圓的定義可得，結(jié)合已知即可得答案.
【詳解】由橢圓的定義，知，
所以，即，
又，所以．
故選：B
5．A
【分析】先利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，法一：再利用兩圓相交或相切的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解；法二：再兩圓相減得到關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合的取值范圍即可得解.
【詳解】設(shè)，則，
由，得，即，
故為圓上的點(diǎn)，
法一：又點(diǎn)在圓上，所以圓與圓相交或相切，
而圓的圓心為，半徑為，
所以，即，解得.
故選：A.
法二：由和，兩式相減，得，
因?yàn)?，所?
故選：A.
6．C
【分析】應(yīng)用表格列舉出所有情況，再應(yīng)用古典概率求法、互斥事件定義及獨(dú)立事件的判定判斷各項(xiàng)正誤.
【詳解】如下表，對應(yīng)為(第一次，第二次)，
由題設(shè)及上表知，和、和均可以同時發(fā)生，如，故它們均不互斥，故A，D均錯誤；
由上表知，，
所以，故與相互獨(dú)立，與不相互獨(dú)立．
故選：C
7．D
【分析】根據(jù)參變分離可得，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率.法一：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系運(yùn)算求解即可；法二：根據(jù)圖像結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，即?br>注意到，可得，
令，則表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
且，所以點(diǎn)在圓上，
所以表示點(diǎn)與圓上的動點(diǎn)連線的斜率．
法一： 因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，
直線的方程為，即，
則，解得，
即的最大值為，所以；
法二：由圖可知，的最大值即為切線的斜率，
設(shè)，則，可得，
則．
所以．
故選：D．
8．A
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，利用向量運(yùn)算可得，只需求的最小值，而點(diǎn)在圓上，利用圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】圓的圓心，半徑為2，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，
所以點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上．
，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，
所以，
要求的最小值，則需求的最小值．
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，
設(shè)，則，
所以，
所以當(dāng)時，，所以，
所以的最小值為．
故選：A．
9．BCD
【分析】選項(xiàng)A：舉反例即可得解；選項(xiàng)B：首先求解出直線定點(diǎn)，然后根據(jù)垂直狀態(tài)下的距離求解最大值分析判斷；選項(xiàng)C：根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求解判斷；選項(xiàng)D：根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)求解判斷.
【詳解】選項(xiàng)A：很明顯，的方程無法表示直線，故A錯誤；
選項(xiàng)B：的方程可化為，易知過定點(diǎn)，
當(dāng)時，原點(diǎn)到的距離最大，最大距離為，故B正確；
選項(xiàng)C：的充要條件為，解得： ，故C正確；
選項(xiàng)D：的充要條件為且，解得或，故D正確．
故選：BCD．
10．BC
【分析】利用點(diǎn)在拋物線上求得拋物線方程，進(jìn)而求得其準(zhǔn)線方程可判斷A；先求得直線的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，利用判別式即可判斷B；聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式與弦長公式分別求得所需要線段長，從而可判斷CD.
【詳解】對于A，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；
對于B，由題可知，則直線的方程為，
聯(lián)立，消去，得，
此時，故與相切，故B正確；
對于CD，由題意知的斜率存在，設(shè)的方程為，
聯(lián)立，消去，得，
則，即，
設(shè)，則，
又，
所以，
，故C正確，D錯誤.
故選：BC.
11．ACD
【分析】根據(jù)方程判斷曲線的對稱性，問題化為研究曲線在的情況，進(jìn)而得到及其所過的點(diǎn)，判斷A；應(yīng)用三角換元得，判斷B；應(yīng)用基本不等式、曲線對稱性判斷C、D.
【詳解】用替換的，方程不變，故關(guān)于軸對稱，故只研究曲線在的情況即可．
當(dāng)時，的方程為，即，
所以，即．
當(dāng)時，可得上的點(diǎn)；
當(dāng)時，可得上的點(diǎn)1,0；
當(dāng)時，可得上的點(diǎn)．
由對稱性知也在上，共6個整點(diǎn)，故A正確；
由對稱性，只需討論的情形，當(dāng)時的方程為，
令，則，
故，可見，
所以矩形的面積，故B錯誤；
當(dāng)，又，所以，
所以，則，故C正確；
結(jié)合對稱性，將上的整點(diǎn)順次連接得到由一個矩形和一個三角形組成的五邊形（如圖），
它的面積為3，故圍成的區(qū)域面積大于3，故D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：把問題轉(zhuǎn)化為研究曲線在的性質(zhì)為關(guān)鍵.
12．672
【分析】利用二項(xiàng)式定理求的系數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)，含的項(xiàng)為,
故其系數(shù)為．
故答案為：672.
13．（答案不唯一）
【分析】根據(jù)圓的方程判斷兩圓位置關(guān)系，即外切，進(jìn)而求切點(diǎn)，結(jié)合已知求公切線方程，即可得答案.
【詳解】由題設(shè)，圓心、，則，即兩圓外切，
設(shè)切點(diǎn)為，，得，所以，
又過與垂直的直線為兩圓的內(nèi)公切線，斜率為，
該公切線方程為，整理得．
設(shè)兩圓的一條外公切線與兩圓的切點(diǎn)分別為，
連接，作，垂足為（如圖），
則，
所以，
所以直線，即直線的斜率為，
設(shè)直線為，則，
所以，故為．
由圖易知，另一條外公切線的方程為．
故兩圓的公切線方程為或或（填其中之一即可）．
故答案為：（答案不唯一）
14．
【分析】設(shè)圓與的邊的切點(diǎn)分別為，利用雙曲線定義得到，進(jìn)而有，再應(yīng)用錯位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求結(jié)果.
【詳解】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)圓與的邊的切點(diǎn)分別為，
則，
又點(diǎn)在的右支上，所以，
所以，
由雙曲線的定義知，點(diǎn)在的右支上，又點(diǎn)在軸上，即為的右頂點(diǎn)，
所以，所以，
設(shè)①，
所以②，
由①②，得，
所以．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)雙曲線定義求得為關(guān)鍵.
15．(1)
(2)．
【分析】（1）根據(jù)余弦定理化角為邊可得，結(jié)合余弦定理求，
（2）由條件及（1）結(jié)合余弦定理可得關(guān)于的方程組，解方程求，根據(jù)三角形面積公式求結(jié)論.
【小題1】因?yàn)椋?br>由余弦定理的推論得，
整理得，
所以再由余弦定理的推論，得．
又因?yàn)锽∈0,π，所以．
【小題2】由（1）及，得
． ①
在中，由余弦定理的推論，得
． ②
因?yàn)椋?br>所以， ③
所以由②③得，
即． ④
由①④得，解得或．
因?yàn)椋陨崛?，故?br>所以，
故的面積為．
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程及其定義，應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式求雙曲線參數(shù)，即可得方程；
（2）根據(jù)（1）所得雙曲線方程，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式及三角形面積公式求三角形面積.
【詳解】（1）設(shè)的半焦距為，由題意知，所以，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以①，
在中，由余弦定理，得，
因?yàn)?，所以②?br>由②①，得．
因?yàn)榈拿娣e為，即，
所以，又，所以，故的方程為．
（2）

由①知，故的漸近線方程為或．
設(shè)Px0,y0，則，故，
由題意知，線段的長度分別等于點(diǎn)到兩條漸近線的距離，
．
設(shè)漸近線的傾斜角為，則，或，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以的面積．
17．(1)點(diǎn)在棱上到的距離為處，理由見解析；
(2).
【分析】（1）設(shè)直線分別交線段和線段的延長線于點(diǎn)，連接與棱的交點(diǎn)即為點(diǎn)，易得、，進(jìn)而確定點(diǎn)的位置；
（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.
【詳解】（1）設(shè)直線分別交線段和線段的延長線于點(diǎn)，連接與棱的交點(diǎn)即為點(diǎn)．
由棱柱的性質(zhì)知，所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
所以，同樣，所以，
所以，即點(diǎn)在棱上到的距離為處．
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的一個法向量n=x,y,z，則即
令，解得，所以．
取的中點(diǎn)，連接，則，
由題意知，面面，面面面，
所以平面，所以為平面的一個法向量．
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
故平面與平面的夾角的余弦值為．
18．(1)；
(2)；
(3)40.
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，利用斜率坐標(biāo)公式及給定點(diǎn)列式求出即可求出的方程.
（2）由三角形重心定理，借助向量用點(diǎn)坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組求解.
（3）結(jié)合平行關(guān)系，求出直線斜率的關(guān)系，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程中聯(lián)立求出，并求得，再利用基本不等式求出最大值.
【詳解】（1）設(shè)的半焦距為，則，即，而，
由直線的斜率為，得，則，
由點(diǎn)在上，得，解得，
所以的方程為．
（2）由為的重心，得，由（1）知，則，
于是，即，
由點(diǎn)均在上，得，而，解得，
所以的坐標(biāo)為.
（3）由是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，得，直線斜率滿足，
由，得直線的斜率滿足，
而，則，即，
直線的方程為，代入，得，
于是，，則，
同理，因此，則，
從而，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為40.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．
19．(1)；
(2)①證明見解析；②證明見解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；
（2）①對求導(dǎo)，令，問題化為有兩個變號零點(diǎn)（在零點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)值符號相反），進(jìn)而根據(jù)最小值小于0即可證結(jié)論；②設(shè)，問題化為是關(guān)于的方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且，應(yīng)用分析法轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，故，
又，所以曲線y=fx在1,f1處的切線方程為，即．
（2）①且，令，
因?yàn)橛袃蓚€極值點(diǎn)，所以有兩個變號零點(diǎn)（在零點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)值符號相反）．
，令，得，令，得，
所以，
因?yàn)?，令?br>對于且，有，則時，時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，趨向于，故，此時有，
顯然當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，恒正且趨向于0，必存在，此時gx>0，
要使有兩個變號零點(diǎn)，必有，
所以，可得．
②由①知，是的兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，
所以，即，
設(shè)，則是關(guān)于的方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且，
要證，只需證，即證，只需證．
即證，
需證，即證．
令，則，
所以在1,+∞上單調(diào)遞增，則，即，
故．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，一小問將問題化為有兩個變號零點(diǎn)（在零點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)值符號相反），二小問，則是關(guān)于的方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且，進(jìn)而將問題化為證為關(guān)鍵.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
B
A
C
D
A
BCD
BC
題號
11









答案
ACD









1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)

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江西省部分高中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷
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