一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）若z＝7﹣5i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．（5分）“λ≤2”是“數(shù)列{n2﹣λn}為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．（5分）若函數(shù)f（x）＝ex﹣e﹣x+sin2x，則滿足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范圍為（ ）
A．(?1，12)B．(?∞，?1)∪(12，+∞)
C．(?12，1)D．(?∞，?12)∪(1，+∞)
4．（5分）已知a→，b→是兩個(gè)非零平面向量，a→⊥(3b→?2a→)，則b→在a→方向上的投影向量為（ ）
A．a(chǎn)→B．12a→C．23a→D．13a→
5．（5分）在1和11之間插入m個(gè)數(shù)，使得這m+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．若這m個(gè)數(shù)中第1個(gè)為a，第m個(gè)為b，則1a+25b的最小值是（ ）
A．54B．2C．3D．94
6．（5分）在三角形內(nèi)到其三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．意大利數(shù)學(xué)家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．在△ABC中，若BC＝4，且sinA：sinB：sinC＝22：2：1，則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和為（ ）
A．42B．32C．4+2D．4+22
7．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱AA1上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），且FE→?FD→=1，則三棱錐F﹣AED的體積為（ ）
A．16B．13C．12D．1
8．（5分）已知函數(shù)f(x)=|x|?3，x≤3?x2+6x?9，x＞3，若方程（f（x））2﹣af（x）+2＝0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．(?113，?22)
B．(?6，?22)
C．(?113，+∞)
D．(?113，?22)∪(?22，+∞)
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
（多選）9．（6分）已知函數(shù)f（x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）＝f（x）f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，f（1）=13，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．f（0）＝1B．若f（m）＝9，則m＝2
C．f（x）是增函數(shù)D．f（x）＞0
（多選）10．（6分）已知函數(shù)f(x)=2sin(2ωx+π6)(ω＞0)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)ω＝1時(shí)，f（x）的最小正周期為2π
B．函數(shù)f（x）過(guò)定點(diǎn)（0，1）
C．將函數(shù)f（x）的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)h（x）的圖象，若函數(shù)h（x）是偶函數(shù)，則ω的最小值為12
D．函數(shù)g(x)=f(x)?3在區(qū)間[0，π]上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍為[94，3712)
（多選）11．（6分）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1D1，AA1的中點(diǎn)，G為面對(duì)角線B1C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．三棱錐A1﹣EFG的體積為定值13
B．無(wú)論點(diǎn)G在線段B1C的什么位置，都有平面EFG⊥平面A1B1CD
C．線段B1C上存在G點(diǎn)，使平面EFG∥平面BDC1
D．G為B1C上靠近B1的四等分點(diǎn)時(shí)，直線EG與BC1所成角最小
三、本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）現(xiàn)有一底面直徑為2的圓錐，其軸截面是等邊三角形，則該圓錐的表面積為 ．
13．（5分）已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an，0＜an≤122an?1，12＜an＜1，a1=35，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2025＝ ．
14．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC=2，AB⊥AC，直線l與邊AB，AC分別交于M，N兩點(diǎn)，且△AMN的面積是△ABC面積的一半．設(shè)MN2＝y(tǒng)，AM＝x，記y＝f（x），則f（x）的最小值與最大值之和為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13分）若銳角△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且△ABC的面積為312(a2+c2?b2)．
（1）求B；
（2）求ca的取值范圍．
16．（15分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S2＝6且a2n=an2．
（1）求an；
（2）求數(shù)列{an+1SnSn+1}的前n項(xiàng)的和Tn．
17．（15分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱BB1⊥底面ABC，底面△ACB是直角三角形，BC⊥AC，點(diǎn)E、F分別在AB、A1C1上，且BE=2AE=103，AC＝4，CC1＝3．
（1）若A1E∥平面BCF，求A1FFC1；
（2）若A1FFC1=3，求二面角C﹣BF﹣A的余弦值．
18．（17分）定義：記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則稱f（x）為區(qū)間I上的凹函數(shù)；若f′（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞減，則稱f（x）為區(qū)間I上的凸函數(shù)．已知函數(shù)f（x）＝xex﹣a（x＞0），g(x)=f(x)x．
（1）求證：f（x）為區(qū)間（0，+∞）上的凹函數(shù)；
（2）若g（x）為區(qū)間[1，2]的凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)a＜ee+1時(shí)，|g（x）|+a＞alnx．
19．（17分）正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A＝{a1，a2，?，an}（n≥2），定義A?A＝{ai?aj|ai，aj∈A，且i≠j}．當(dāng)集合A?A中的元素恰有n(n?1)2個(gè)數(shù)時(shí)，稱集合A具有性質(zhì)Ω．
（Ⅰ）判斷集合A1＝{1，2，4}，A2＝{1，2，4，8}是否具有性質(zhì)Ω；
（Ⅱ）若集合A具有性質(zhì)Ω，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，A?A中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個(gè)數(shù)的最大值；
（Ⅲ）若集合A具有性質(zhì)Ω，且A?A中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列．問(wèn)：集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）若z＝7﹣5i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】由已知可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．
解：∵z＝7﹣5i，
∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，﹣5），位于第四象限．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．
2．（5分）“λ≤2”是“數(shù)列{n2﹣λn}為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)數(shù)列為遞增數(shù)列的定義求得λ的范圍，再由充分條件、必要條件的定義判斷即可．
解：根據(jù)題意，若“數(shù)列{n2﹣λn}為遞增數(shù)列”，則（n+1）2﹣λ（n+1）﹣（n2﹣λn）＝2n+1﹣λ＞0，
所以λ＜2n+1恒成立，又由n≥1且n∈Z，
則有λ＜3，即“數(shù)列{n2﹣λn}為遞增數(shù)列”的充要條件為“λ＜3”，
而λ≤2?λ＜3，由λ＜3?λ≤2不一定成立，
故“λ≤2”是“數(shù)列{n2﹣λn}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的單調(diào)性，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）若函數(shù)f（x）＝ex﹣e﹣x+sin2x，則滿足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范圍為（ ）
A．(?1，12)B．(?∞，?1)∪(12，+∞)
C．(?12，1)D．(?∞，?12)∪(1，+∞)
【分析】判斷函數(shù)f（x）為定義域R上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)；
把f（2x2﹣1）+f（x）＞0化為2x2﹣1＞﹣x，求出解集即可．
解：函數(shù)f（x）＝ex﹣e﹣x+sin2x，定義域?yàn)镽，
且滿足f（﹣x）＝e﹣x﹣ex+sin（﹣2x）＝﹣（ex﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），
∴f（x）為R上的奇函數(shù)；
又f′（x）＝ex+e﹣x+2cs2x≥2+2xs2x≥0恒成立，
∴f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)；
又f（2x2﹣1）+f（x）＞0，
得f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），
∴2x2﹣1＞﹣x，
即2x2+x﹣1＞0，
解得x＜﹣1或x＞12，
所以x的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（12，+∞）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用定義判斷函數(shù)的奇偶性和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是中檔題．
4．（5分）已知a→，b→是兩個(gè)非零平面向量，a→⊥(3b→?2a→)，則b→在a→方向上的投影向量為（ ）
A．a(chǎn)→B．12a→C．23a→D．13a→
【分析】由向量垂直關(guān)系得a→?b→=23|a→|2，再由投影向量公式求解．
解：a→⊥(3b→?2a→)，
則a→?(3b→?2a→)=0，即a→?3b→=2a→2=2|a→|2，
則b→在a→方向上的投影向量為a→?b→|a→|2?a→=23a→．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的求解，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）在1和11之間插入m個(gè)數(shù)，使得這m+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．若這m個(gè)數(shù)中第1個(gè)為a，第m個(gè)為b，則1a+25b的最小值是（ ）
A．54B．2C．3D．94
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a+b＝12，由基本不等式求解即可．
解：由已知可得a+b＝12，
又a＞0，b＞0，所以
1a+25b=112(1a+25b)(a+b)=112(26+ba+25ab)≥112(26+2ba×25ab)=3，
當(dāng)且僅當(dāng)ba=25ab，且a+b＝12，即a＝2，b＝10時(shí)，等號(hào)成立，
所以1a+25b的最小值為3．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列，基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）在三角形內(nèi)到其三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．意大利數(shù)學(xué)家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．在△ABC中，若BC＝4，且sinA：sinB：sinC＝22：2：1，則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和為（ ）
A．42B．32C．4+2D．4+22
【分析】根據(jù)“費(fèi)馬點(diǎn)”的定義以及正余弦定理可求得結(jié)果．
解：設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，
因?yàn)閟inA：sinB：sinC=22：2：1，
則由正弦定理可得a：b：c=22：2：1，
又BC＝a＝4，所以b=22，c=2，
由余弦定理得csA=b2+c2?a22bc=8+2?162×22×2=?34＜?12，
又A∈（0°，180°），所以120°＜A＜180°，所以頂點(diǎn)A為費(fèi)馬點(diǎn)，
故點(diǎn)A到各頂點(diǎn)的距離之和為b+c=32．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義的應(yīng)用以及正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
7．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱AA1上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），且FE→?FD→=1，則三棱錐F﹣AED的體積為（ ）
A．16B．13C．12D．1
【分析】由空間向量數(shù)量積確定F位置，再由體積公式即可求解．
解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系：
因?yàn)檎襟wABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E是棱AB的中點(diǎn)，
則D（0，0，0），E（2，1，0），設(shè)F（2，0，z），z∈[0，2]，
則：FE→=(0，1，?z)，F(xiàn)D→=(?2，0，?z)，
所以FE→?FD→=z2=1，又F是棱AA1上一點(diǎn)，所以z＝1，
即F是棱AA1的中點(diǎn)，
所以三棱錐F﹣AED的體積為13|AF|×S△AED=13×1×12×1×2=13．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查錐體體積的計(jì)算，屬于中檔題．
8．（5分）已知函數(shù)f(x)=|x|?3，x≤3?x2+6x?9，x＞3，若方程（f（x））2﹣af（x）+2＝0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．(?113，?22)
B．(?6，?22)
C．(?113，+∞)
D．(?113，?22)∪(?22，+∞)
【分析】方程（f（x））2﹣af（x）+2＝0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于t2﹣at+2＝0有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解t1，t2，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
解：根據(jù)已知函數(shù)f(x)=|x|?3，x≤3?x2+6x?9，x＞3，作出函數(shù)f（x）圖象，
令函數(shù)f（x）＝t，那么（f（x））2﹣af（x）+2＝0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根?t2﹣at+2＝0有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解t1，t2，t1，t2∈（﹣3，0），
所以a2?8＞09+3a+2＞0?3＜a2＜0，所以?113＜a＜?22，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
（多選）9．（6分）已知函數(shù)f（x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）＝f（x）f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，f（1）=13，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．f（0）＝1B．若f（m）＝9，則m＝2
C．f（x）是增函數(shù)D．f（x）＞0
【分析】令x＝1，y＝0，結(jié)合0＜f（1）＜1可求得f（0），知A正確；求出f（2）的值推導(dǎo)證得B錯(cuò)誤；
令x2＞x1，由f（x2）﹣f（x1）＝f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]＜0可知C錯(cuò)誤；
結(jié)合已知f（x+y）＝f（x）f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1可求f（x）的范圍．
解：對(duì)于A，令x＝1，y＝0，則f（1）＝f（0）f（1），
由x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1得0＜f（1）＜1，
∴f（0）＝1，A正確；
對(duì)于B，∵f(1)=13，
則f（2）＝f（1）f（1）=19，B錯(cuò)誤．
對(duì)于C，設(shè)x2＞x1，
則f（x2）﹣f（x1）＝f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x1）＝f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]，
∵x2﹣x1＞0，∴0＜f（x﹣x）＜1，即f（x2﹣x1）﹣1＜0，
又f（x）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，f（x）在R上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令y＝﹣x，則f（x）f（﹣x）＝f（x﹣x）＝f（0）＝1，
當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，∴0＜f（﹣x）＜1，
∴f(x)=1f(?x)＞0，
∴對(duì)于任意x∈R，f（x）＞0，D正確．
故選：AD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了抽象函數(shù)的函數(shù)值及單調(diào)性的判斷，還考查了函數(shù)值域的求解，屬于中檔題．
（多選）10．（6分）已知函數(shù)f(x)=2sin(2ωx+π6)(ω＞0)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)ω＝1時(shí)，f（x）的最小正周期為2π
B．函數(shù)f（x）過(guò)定點(diǎn)（0，1）
C．將函數(shù)f（x）的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)h（x）的圖象，若函數(shù)h（x）是偶函數(shù)，則ω的最小值為12
D．函數(shù)g(x)=f(x)?3在區(qū)間[0，π]上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍為[94，3712)
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B；
圖象平移確定解析式，根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)判斷C；
令t=2ωx+π6∈[π6，2ωπ+π6]，化為sint=32在t∈[π6，2ωπ+π6]有5個(gè)根求參數(shù)范圍判斷D．
解：對(duì)于A，當(dāng)ω＝1時(shí)，f(x)=2sin(2x+π6)，
則最小正周期為T=2π2=π，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)，f(0)=2sinπ6=1，
故函數(shù)f（x）過(guò)定點(diǎn)（0，1），故B正確；
對(duì)于C，函數(shù)f（x）的圖象向左平移π3個(gè)單位，得到函數(shù)h（x）的圖象，
所以h（x）＝f（x+π3）=2sin[2ω(x+π3)+π6]=2sin(2ωx+2ωπ3+π6)為偶函數(shù)，
所以2ωπ3+π6=π2+kπ，k∈Z，
可得ω=1+3k2且k∈Z，又ω＞0，
所以ω的最小值為12，故C正確；
對(duì)于D，由題意sin(2ωx+π6)=32在[0，π]上有5個(gè)根，
而t=2ωx+π6∈[π6，2ωπ+π6]，
所以sint=32在t∈[π6，2ωπ+π6]有5個(gè)根，如下圖示，
所以13π3≤2ωπ+π6＜14π3，可得2512≤ω＜94，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
（多選）11．（6分）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1D1，AA1的中點(diǎn)，G為面對(duì)角線B1C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．三棱錐A1﹣EFG的體積為定值13
B．無(wú)論點(diǎn)G在線段B1C的什么位置，都有平面EFG⊥平面A1B1CD
C．線段B1C上存在G點(diǎn)，使平面EFG∥平面BDC1
D．G為B1C上靠近B1的四等分點(diǎn)時(shí)，直線EG與BC1所成角最小
【分析】利用錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，可得EF⊥面A1B1CD，利用面面垂直的判定定理可得平面EFG⊥平面A1B1CD，即可作出判斷，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷C和D選項(xiàng)的正誤．
解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槠矫鍮B1C1C∥平面AA1D1D，G∈平面BB1C1C，
所以點(diǎn)G到平面AA1D1D的距離等于|AB|，
所以△A1EF的面積為S△A1EF=12|A1E|?|A1F|=12，
所以VA1?EFG=VG?A1EF=13S△A1EF?|AB|=13×12×2=13，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，連接A1D，AD1，易知A1B1⊥面ADD1A1，
所以A1B1⊥EF，又E，F(xiàn)分別為棱A1D1，AA1的中點(diǎn)，
所以EF∥D1A，又DA1⊥D1A，
所以EF⊥DA1，又A1B1∩A1D＝A1，
所以EF⊥面A1B1CD，又EF?面EFG，
所以平面EFG⊥平面A1B1CD，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，建系如圖：
則A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、D（0，0，0）、A1（2，0，2）、
B1（2，2，2）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2），E（1，0，2）、F（2，0，1），
設(shè)平面BDC1的法向量為m→=(x1，y1，z1)，DB→=(2，2，0)，DC1→=(0，2，2)，
由m→?DB→=2x1+2y1=0m→?DC1→=2y1+2z1=0，取m→=(1，?1，1)，
設(shè)CG→=λCB1→=λ(2，0，2)=(2λ，0，2λ)，可得點(diǎn)G（2λ，2，2λ），其中0≤λ≤1，
則EG→=(2λ?1，2，2λ?2)，
所以m→?EG→=2λ?1?2+2λ?2=4λ?5=0，解得λ=54?[0，1]，
所以平面EFG與平面BDC1不平行，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C知EG→=(2λ?1，2，2λ?2)，BC1→=(?2，0，2)，
設(shè)直線EG與BC1所成角為θ，
則csθ=|cs?EG→，BC1→?|=|EG→?BC1→||EG→|?|BC1→|=2(2λ?1)2+4+(2λ?2)2?22=116λ2?24λ+18=116(λ?34)2+9，
當(dāng)λ=34時(shí)，csθ取得最大值，此時(shí)θ最小，所以選項(xiàng)D正確，
故選：ABD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題．
三、本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）現(xiàn)有一底面直徑為2的圓錐，其軸截面是等邊三角形，則該圓錐的表面積為 3π ．
【分析】由軸截面是等邊三角形求出圓錐底面半徑與母線長(zhǎng)，再由圓錐表面積公式計(jì)算．
解：由題意可得圓錐的母線長(zhǎng)l＝2，底面半徑r＝1，
所以圓錐表面積為S＝πrl+πr2＝π×1×2+π×12＝3π．
故3π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的表面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an，0＜an≤122an?1，12＜an＜1，a1=35，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2025＝ 50635 ．
【分析】分別求得a2，a3，a4，a5，即可得到數(shù)列的周期，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果．
解：由數(shù)列{an}滿足an+1=2an，0＜an≤122an?1，12＜an＜1，a1=35，
得a2=2×35?1=15，a3=2×15=25，
a4=2×25=45，a5=2×45?1=35，
所以{an}為周期數(shù)列T＝4，一個(gè)周期的和為35+15+25+45=2．
記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，
所以S2025=a1+506(a1+a2+a3+a4)=35+1012=50635．
故50635．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和，求得數(shù)列的周期性是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC=2，AB⊥AC，直線l與邊AB，AC分別交于M，N兩點(diǎn)，且△AMN的面積是△ABC面積的一半．設(shè)MN2＝y(tǒng)，AM＝x，記y＝f（x），則f（x）的最小值與最大值之和為 92 ．
【分析】由已知結(jié)合三角形面積公式及勾股定理可得y與x的關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求解．
解：因?yàn)椤鰽MN的面積是△ABC面積的一半，
即12AB?AC=2×12×AM?AN，
所以12×2×2=2×12×x?AN，可得AN=1x，
又因?yàn)锳M2+AN2＝MN2，
即y=x2+1x2，且x≤21x≤2，可得22≤x≤2，
所以f(x)=x2+1x2，且f（x）的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閇22，2]；，
令t=x2∈[12，2]，則g(t)=t+1t在[12，1）上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，且g(12)=g（2）=52，g（1）＝2，
可知g（t）在[12，2]上的最小值為2，最大值為52，
即f（x）在[22，2]上的最小值和最大值的和為92．
故92．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13分）若銳角△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且△ABC的面積為312(a2+c2?b2)．
（1）求B；
（2）求ca的取值范圍．
【分析】（1）結(jié)合余弦定理與三角形的面積公式，化簡(jiǎn)可得tanB=33，從而求得角B的大?。?br>（2）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換公式與正切函數(shù)的單調(diào)性，求解即可．
解：（1）由余弦定理得，a2+c2﹣b2＝2accsB，
因?yàn)椤鰽BC的面積為312(a2+c2?b2)，
所以S=12acsinB=312(a2+c2?b2)，即12acsinB=312?2accsB，
所以tanB=sinBcsB=33，
因?yàn)锽∈(0，π2)，所以B=π6．
（2）由（1）知，A+C=5π6，
所以C=5π6?A，
因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，
所以0＜A＜π20＜5π6?A＜π2?π3＜A＜π2，
由正弦定理得，ca=sinCsinA=sin(5π6?A)sinA=12tanA+32，
因?yàn)閥＝tanx在x∈(π3，π2)上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)A∈(π3，π2)時(shí)，tanA＞3，0＜1tanA＜33，
所以32＜12tanA+32＜233，即ca∈(32，233)，
故ca的取值范圍為(32，233)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正余弦定理，三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
16．（15分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S2＝6且a2n=an2．
（1）求an；
（2）求數(shù)列{an+1SnSn+1}的前n項(xiàng)的和Tn．
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得an=qn，即可根據(jù)S2=6=a1+a2=q+q2求解公比，進(jìn)而可求解；
（2）利用等比求和公式可得Sn，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求和即可求解．
（1）設(shè)公比為q，由a2n=an2，
又S2=6=a1+a2=q+q2，解得q＝2或q＝﹣3，
由于{an}為正項(xiàng)數(shù)列，所以q＝2，故an=2n；
（2）由an=2n可得an+1=2n+1，Sn=2(1?2n)1?2=2(2n?1)，
an+1SnSn+1=2n+14(2n?1)(2n+1?1)=12(12n?1?12n+1?1)，
故Tn=12(1?122?1+122?1?123?1+...+12n?1?12n+1?1)
=12(1?12n+1?1)=2n?12n+1?1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的求和，裂項(xiàng)相消法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
17．（15分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱BB1⊥底面ABC，底面△ACB是直角三角形，BC⊥AC，點(diǎn)E、F分別在AB、A1C1上，且BE=2AE=103，AC＝4，CC1＝3．
（1）若A1E∥平面BCF，求A1FFC1；
（2）若A1FFC1=3，求二面角C﹣BF﹣A的余弦值．
【分析】（1）在BC上取一點(diǎn)G，使CG=13BC，連接EG、FG，先證明出EG∥A1F，再利用線面平行的性質(zhì)定理可證A1E∥FG，從而知四邊形A1EGF為平行四邊形，然后根據(jù)比例關(guān)系求解即可；
（2）以點(diǎn)C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角的余弦值即可．
解：（1）在BC上取一點(diǎn)G，使CG=13BC，連接EG、FG，
由BE＝2AE知，AE=13AB，
所以EG∥AC且EG=23AC，
由三棱柱的性質(zhì)知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，
所以AC∥A1C1，AC＝A1C1，
所以EG∥A1F，所以A1、E、G、F四點(diǎn)共面，
因?yàn)锳1E∥平面BCF，A1E?平面A1EGF，平面A1EGF∩平面BCF＝FG，
所以A1E∥FG，
所以四邊形A1EGF為平行四邊形，
所以A1F=EG=23AC=23A1C1，即A1FFC1=2，
故當(dāng)A1E∥平面BCF時(shí)，A1FFC1=2．
（2）以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB→、CA→、CC1→的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)锽E=2AE=103，所以AE=53，AB＝AE+BE＝5，
因?yàn)锳C⊥BC，AC＝4，所以BC=AB2?AC2=52?42=3，
所以A（0，4，0），B（3，0，0），C（0，0，0），F(xiàn)（0，1，3），
所以CB→=(3，0，0)，CF→=(0，1，3)，AB→=(3，?4，0)，AF→=(0，?3，3)，
設(shè)平面BCF的法向量為m→=(x1，y1，z1)，則m→?CB→=3x1=0m→?CF→=y1+3z1=0，
取y1＝3，則m→=(0，3，?1)，
設(shè)平面ABF的法向量為n→=(x2，y2，z2)，則n→?AB→=3x2?4y2=0n→?AF→=?3y2+3z2=0，
取y2＝3，則n→=(4，3，3)，
所以cs＜m→，n→＞=m→?n→|m→|?|n→|=9?310×34=38585，
由圖可知，二面角C﹣BF﹣A的平面角為銳角，
所以二面角C﹣BF﹣A的余弦值為38585．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面平行的性質(zhì)定理，利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
18．（17分）定義：記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則稱f（x）為區(qū)間I上的凹函數(shù)；若f′（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞減，則稱f（x）為區(qū)間I上的凸函數(shù)．已知函數(shù)f（x）＝xex﹣a（x＞0），g(x)=f(x)x．
（1）求證：f（x）為區(qū)間（0，+∞）上的凹函數(shù)；
（2）若g（x）為區(qū)間[1，2]的凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)a＜ee+1時(shí)，|g（x）|+a＞alnx．
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）為區(qū)間（0，+∞）上的凹函數(shù)的定義證明；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）為區(qū)間（0，+∞）上的凹函數(shù)的定義求解；
（3）由題意得到|e2?ax|＞alnx?a，分a＝0，a＜0，0＜a＜ec+1討論證明．
解：（1）證明：因?yàn)閒（x）＝xex﹣a（x＞0），所以f′（x）＝（x+1）ex，
記f′（x）的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），則f″（x）＝（x+2）ex＞0，
所以f′（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）為區(qū)間（0，+∞）上的凹函數(shù)．
（2）由題意得，g(x)=ex?ax(x＞0)，則g′(x)=ex+ax2，g″(x)=ex?2ax3，
因?yàn)間（x）為區(qū)間[1，2]的凸函數(shù)，所以g'（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
所以g''（x）≤0在[1，2]上恒成立，即ex?2ax3≤0恒成立，
故x3ex≤2a，令m（x）＝x3ex，則m′（x）＝3x2ex+x3ex＝x2（x+3）ex＞0，
故m（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，故m(x)max=m(2)=8e2，
則8e2≤2a，故a≥4e2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4e2，+∞）．
（3）證明：由題意得，|ex?ax|＞alnx?a．
當(dāng)a＝0時(shí)，ex＞0，符合題意；
當(dāng)0＜a＜ee+1時(shí)，由（1）知f（x）＝xex﹣a在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（0）＝﹣a＜0，f（a）＝a（ea﹣1）＞0，所以?x0∈（0，a），使得f(x0)=x0ex0?a=0，
所以a=x0ex0，因?yàn)?＜a＜ee+1，所以0＜x0ex0＜ee+1，所以0＜x0＜e．
i）當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，xex?a＜0，ex?ax＜0，即證ax?ex?alnx+a＞0，
設(shè)F(x)=ax?ex?alnx+a，則F′(x)=?ax2?ex?ax＜0，
所以F（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，
所以F（x）＞F（x0）＝﹣alnx0+a＝a（1﹣lnx0）＞0．
ii）當(dāng)x∈[x0，+∞）時(shí)，xex﹣a≥0，即ex?ax≥0，即證ex?ax?alnx+a＞0，
設(shè)G(x)=ex?ax?alnx+a，則G′(x)=ex+ax2?ax=x2ex+a?axx2，
令p（x）＝x2ex+a﹣ax，x∈[x0，+∞），
則p′（x）＝（x2+2x）ex﹣a，p''（x）＝（x2+4x+2）ex＞0，
故p′（x）在[x0，+∞）上單調(diào)遞增，則p′(x)≥p′(x0)=(x02+2x0)ex0?a=ax0+a＞0，
故p（x）在[x0，+∞）上單調(diào)遞增，則p(x)≥p(x0)=p(x0)=x02ex0+a?ax0=a＞0，
則G′(x)=p(x)x2＞0，則G（x）在[x0，+∞）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x∈[x0，+∞）時(shí)，G（x）≥G（x0）＝﹣alnx0+a＝a（1﹣lnx0）＞0；
當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)閤＞0，則ex?ax＞0，則即證ex?ax＞alnx?a，
即證ex＞a(1x+lnx?1)，
設(shè)n(x)=1x+lnx?1，則n′(x)=x?1x2，
所以n（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故n（x）≥n（1）＝0．
故當(dāng)a＜0時(shí)，ex＞0≥(1x+lnx?1)a，即|ex?ax|＞alnx?a成立．
綜上，當(dāng)a＜ee+1時(shí)，|g（x）|+a＞alnx．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．
19．（17分）正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A＝{a1，a2，?，an}（n≥2），定義A?A＝{ai?aj|ai，aj∈A，且i≠j}．當(dāng)集合A?A中的元素恰有n(n?1)2個(gè)數(shù)時(shí)，稱集合A具有性質(zhì)Ω．
（Ⅰ）判斷集合A1＝{1，2，4}，A2＝{1，2，4，8}是否具有性質(zhì)Ω；
（Ⅱ）若集合A具有性質(zhì)Ω，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，A?A中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個(gè)數(shù)的最大值；
（Ⅲ）若集合A具有性質(zhì)Ω，且A?A中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列．問(wèn)：集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（Ⅰ）按照定義A?A判斷即可；（Ⅱ）當(dāng)n≥4時(shí)，判斷A?A中元素個(gè)數(shù)即可；（Ⅲ）因?yàn)閍i＞0（i＝1，2，?，n），不妨設(shè)a1＜a2＜a3＜?＜an﹣1＜an，對(duì)n分類討論A?A中元素個(gè)數(shù)即可．
解：（Ⅰ）A1?A1＝{2，4，8}，A2?A2＝{2，4，8，16，32}，
則A1具有性質(zhì)Ω；A2不具有性質(zhì)Ω．
（Ⅱ）當(dāng)A中的元素個(gè)數(shù)n≥4時(shí)，
不妨設(shè)元素依次為a1，a2，?，an構(gòu)成等比數(shù)列，則a1an＝a2an﹣1，
其中a1，a2，an﹣1，an互不相同．
這與A具有性質(zhì)Ω，A?A中恰有Cn2=n(n?1)2個(gè)元素矛盾，
即任取A中兩個(gè)不同元素組成組合的兩個(gè)數(shù)其積的結(jié)果互不相同矛盾．
當(dāng)A中的元素個(gè)數(shù)恰有3個(gè)時(shí)，取A＝{1，2，4}時(shí)滿足條件，
所以集合A中的元素個(gè)數(shù)最大值為3．
（Ⅲ）ai＞0（i＝1，2，?，n），不妨設(shè)a1＜a2＜a3＜?＜an﹣1＜an，
所以a1a2＜a1a3＜?＜an﹣2an＜an﹣1an．
（1）當(dāng)n＞5時(shí)，a1a2，a1a3，?，an﹣2an，an﹣1an構(gòu)成等比數(shù)列，
所以a1a3a1a2=?=an?1anan?2an，即a2an﹣1＝a3an﹣2，其中a2，an﹣1，a3，an﹣2互不相同．
這與A?A中恰有Cn2=n(n?1)2個(gè)元素，
即任取A中兩個(gè)不同元素組成組合的兩個(gè)數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾．
（2）當(dāng)n＝5時(shí)，a1a2，a1a3，?，a3a5，a4a5構(gòu)成等比數(shù)列，第3項(xiàng)是a2a3或a1a4．
①若第3項(xiàng)是a2a3，則a1a3a1a2=a2a3a1a3=?=a4a5a3a5，即a3a2=a2a1=?=a4a3，
即a2a1=a4a3，所以a2a3＝a1a4，與題意矛盾．
②若第3項(xiàng)是a1a4，則a1a3a1a2=a1a4a1a3=?=a4a5a3a5，即a3a2=a4a3=?=a4a3，
即a3a2=a4a3，所以a2，a3，a4成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
則A?A中等比數(shù)列的前三項(xiàng)為：
a1a2，a1a3，a1a4，其公比為q，第四項(xiàng)為a1a2q3，第十項(xiàng)為a1a2q9．
（ⅰ）若第四項(xiàng)為a2a3，則a2a3=a1a2q3，即a2?a3a2=a1?q3，得a2=a1q2，
又a4a5=a1a2q9，即a5?a4a2=a1?q9，得a5=a1q7，
此時(shí)A中依次為a1，a1q2，a1q3，a1q4，a1q7，顯然a1a5＝a3a4，不合題意．
（ⅱ）若第四項(xiàng)為a1a5，則a1a5=a1a2q3，得a5=a2q3，又a4a5=a1a2q9，得a2=a1q4，
此時(shí)A中依次為a1，a1q4，a1q5，a1q6，a1q7，顯然a2a5＝a3a4，不合題意．
因此，n≤4．取A＝{1，2，4，16}滿足條件．
所以A中的元素個(gè)數(shù)最大值是4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查集合的新定義，屬于難題．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
C
C
B
B
A

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