一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．8B．7C．4D．3
2．命題“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
4．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
5．張遂（僧一行，公元年），中國(guó)唐代著名的天文學(xué)家.他發(fā)明了一種內(nèi)插法近似計(jì)算原理，廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代建設(shè)工程費(fèi)用估算.近似計(jì)算公式如下：，其中為計(jì)費(fèi)額的區(qū)間，，為對(duì)應(yīng)于的收費(fèi)基價(jià)，為該區(qū)間內(nèi)的插入值，為對(duì)應(yīng)于的收費(fèi)基價(jià).如下表所示.則的值估計(jì)為（ ）
A．18.53B．19.22C．21.94D．28.22
6．若，則（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
8．若函數(shù)若有4個(gè)不同實(shí)根，設(shè)4個(gè)不同實(shí)根，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，若在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的可能取值為（ ）
A．B．0C．1D．3
10．對(duì)于下列四種說法，其中正確的是（ ）
A．的最小值為4B．的最小值為1
C．的最小值為4D．最小值為
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若關(guān)于對(duì)稱，為奇函數(shù)，則（ ）
A．是奇函數(shù)
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
C．
D．若在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增
12．將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（縱坐標(biāo)不變），得到的函數(shù)滿足，則下列正確的選項(xiàng)為（ ）
A．的周期為B．
C．在上單調(diào)遞增D．為的一個(gè)對(duì)稱軸
三、填空題（本大題共4小題）
13．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
14．已知角終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)，則 .
15．已知函數(shù)的定義域和值域都是，則 .
16．已知函數(shù)，若，則的最大值為 .
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知二次函數(shù)滿足，且，.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若，比較與的大小.
18．對(duì)任意，函數(shù)滿足_________，且當(dāng)時(shí)，.
在以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并解答此題.
①，.
②，.對(duì)，.
(1)證明：在上是增函數(shù)；
(2)求不等式的解集.
注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
19．已知函數(shù).
(1)求的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；
(2)當(dāng)時(shí)，的最小值和最大值之和為，求的值．
20．已知函數(shù).
(1)設(shè)，若，試判斷是否有最小值，若有，求出最小值；若沒有，說明理由；
(2)若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
21．已知某種設(shè)備年固定研發(fā)成本為40萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入60元.設(shè)某公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬(wàn)臺(tái)且全部售完，每萬(wàn)臺(tái)的銷售收入為（萬(wàn)元）.已知當(dāng)年產(chǎn)量小于或等于10萬(wàn)臺(tái)時(shí)，；當(dāng)年產(chǎn)量超過10萬(wàn)臺(tái)時(shí)，.
(1)寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式；
(2)試分析該公司年利潤(rùn)是否能達(dá)到2000萬(wàn)元？若能，求出年產(chǎn)量為多少；若不能，說明理由.（注：利潤(rùn)=銷售收入-成本）
22．已知函數(shù).
(1)解不等式；
(2)若對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
答案
1．【正確答案】B
【分析】解不等式確定集合，由集合的運(yùn)算法則求得，再由子集定義判斷．
【詳解】，
，，
∴，它是真子集有7個(gè)．
故選：B．
2．【正確答案】D
【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.
【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得：
命題：“，”的否定是“，”.
故選：D.
3．【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得不等式的解集，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式，可得，解得，
又由不等式，即，可得，解得，
因?yàn)榧鲜羌系恼孀蛹?br>所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B.
4．【正確答案】A
【分析】判斷函數(shù)的圖象問題，可從函數(shù)定義域，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象的趨勢(shì)或者特殊點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行判斷是否符合題意.
【詳解】由函數(shù)可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由可知函數(shù)為奇函數(shù)，
其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故舍去B，D兩項(xiàng)；
又由可得C項(xiàng)不合題意，故A項(xiàng)正確.
故選：A.
5．【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.
【詳解】結(jié)合題意：，其中，
.
故選：C.
6．【正確答案】C
【分析】借助誘導(dǎo)公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【詳解】由，
因?yàn)?，所以?br>所以
.
故選：C.
7．【正確答案】D
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，，，然后由基本不等式證明，再用作差法比較大小后可得．
【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即，同理，
又，即，
，
所以，即，綜上，
故選：D．
8．【正確答案】D
【分析】作出函數(shù)的圖象和直線，由圖可得的關(guān)系與性質(zhì)，從而得結(jié)論．
【詳解】作出函數(shù)的圖象，再作出直線，如圖，
由圖可得，因此，
∴，
故選：D．
9．【正確答案】BC
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.
【詳解】由冪函數(shù)，可得，即，
解得或，
當(dāng)時(shí)，可得在上單調(diào)遞減，符合題意；
當(dāng)時(shí)，可得在上單調(diào)遞增，不符合題意；
又由函數(shù)在上不單調(diào)，則滿足，
即，解得，
結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)BC符合題意.
故選：BC.
10．【正確答案】BD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，以及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，顯然不成立，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以B正確；
對(duì)于C中，由，令，
可得，則函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，所以C不正確；
對(duì)于D中，由，令，
可得，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得在為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，所以D正確.
故選：BD.
11．【正確答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題目條件得到的一個(gè)周期為8，進(jìn)而得到，A正確；B選項(xiàng)，由于的一個(gè)對(duì)稱中心為，結(jié)合周期得到B正確；C選項(xiàng)，根據(jù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，得到，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，先根據(jù)對(duì)稱軸得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合周期得到D正確.
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，
所以，則，
所以，的一個(gè)周期為8，
故，所以，
將代替為得，
即，為奇函數(shù)，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以的一個(gè)對(duì)稱中心為，
又的一個(gè)周期為8，故為的一個(gè)對(duì)稱中心，B正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)榈囊粋€(gè)對(duì)稱中心為，
所以，
故，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，關(guān)于對(duì)稱，
所以在上單調(diào)遞增，
的一個(gè)周期為8，故在上單調(diào)遞增，D正確.
故選：ABD
結(jié)論點(diǎn)睛：
設(shè)函數(shù)，，，．
（1）若，則函數(shù)的周期為2a；
（2）若，則函數(shù)的周期為2a；
（3）若，則函數(shù)的周期為2a；
（4）若，則函數(shù)的周期為2a；
（5）若，則函數(shù)的周期為；
（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；
（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；
（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；
（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為2a；
（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為4a．
12．【正確答案】ACD
【分析】利用二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，由圖象平移寫出，并利用對(duì)稱性求得，然后根據(jù)正弦定理性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．
【詳解】
，
的周期是，A正確；
函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以，，
又，∴，B錯(cuò)；
，
時(shí)，，C正確；
時(shí)，，D正確．
故選：ACD．
13．【正確答案】
【分析】由對(duì)數(shù)的真數(shù)為1，對(duì)數(shù)值為0可得結(jié)論．
【詳解】令，得，，∴函數(shù)圖象過定點(diǎn)．
故．
14．【正確答案】
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算求得已知點(diǎn)的坐標(biāo)，由三角函數(shù)定義求得，再由正切的二倍角公式計(jì)算．
【詳解】，
，
∴已知點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，
∴．
故．
15．【正確答案】或
【分析】分類討論的取值范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，代入數(shù)據(jù)即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)單調(diào)遞減，由定義域和值域都是，
所以解得所以.
當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)單調(diào)遞增，由定義域和值域都是，
所以解得所以.
故或.
16．【正確答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式得出，計(jì)算出，然后利用基本不等式可得最大值．
【詳解】，則，∴，
∴，
即，，又，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故．
17．【正確答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）設(shè)出二次函數(shù)代入，以及對(duì)稱軸，求解即可；
（2）依題意，分類討論，得到結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù).
由，得圖象的對(duì)稱軸為，
所以，解得.
由得，，
可得.
由得，，解得.
所以.
（2）
，
當(dāng)或時(shí)，，此時(shí).
當(dāng)時(shí)，，此時(shí).
當(dāng)或4時(shí)，，此時(shí).
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，分別選擇①②，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可得證；
（2）選擇①：令，求得，不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；
選擇②：根據(jù)題意，求得，不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】（1）證明：若選①：設(shè)，且，則，
因?yàn)闀r(shí)，，所以，可得，
所以，即以，
所以在上是增函數(shù)．
若選②：設(shè)，且，則，
因?yàn)闀r(shí)，，所以，則，
又因?yàn)?，所?，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)．
（2）解：若選①：令，則，解得，
所以可化為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，可得，解得，
所以不等式的解集為.
若選②：由得，
所以可化為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，可得，解得，
所以不等式的解集為.
19．【正確答案】(1)，，
(2).
【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，得，可得最小正周期為；
（2）由得，可得在上的最大值和最小值，進(jìn)而得到的值.
【詳解】（1）
，
所以的最小正周期.
令，，
解得，.
所以圖象的對(duì)稱軸方程為，.
（2）由（1）知，
當(dāng)時(shí)，.
可得，，
所以，
所以的最小值和最大值之和為，
解得.
20．【正確答案】(1)沒有最小值，理由見解析
(2).
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，令，轉(zhuǎn)化為在求最小值即可；
（2），令，則，存在性問題，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.
令，因?yàn)?，則.，
所以，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，沒有最小值.
（2），
令，，則.
由，得，
即，由于，使成立，
只需，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
21．【正確答案】(1)
(2)不能，理由見解析
【分析】（1）由可得；
（2）當(dāng)時(shí)利用二次函數(shù)性質(zhì)得最大值，當(dāng)時(shí)利用基本不等式求得最大值，比較后得的最大值，從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）
（2）當(dāng)時(shí)，，
（萬(wàn)元）.
當(dāng)時(shí)
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以（萬(wàn)元）.
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)年產(chǎn)量為19萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得的利潤(rùn)最大為1570萬(wàn)元.
因此，該公司年利潤(rùn)不能達(dá)到2000萬(wàn)元.
22．【正確答案】(1)答案見解析;
(2).
【分析】（1）借助對(duì)數(shù)與指數(shù)不等式的解法，求解即可，注意需分類討論;
（2）由題意轉(zhuǎn)化為對(duì)于，，借助復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出最值代入計(jì)算即可.
【詳解】（1）等價(jià)于，
即，可得，即.
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，無(wú)解，即無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，解得.
綜上，當(dāng)時(shí)，的解集為；
當(dāng)時(shí)，無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，的解集為.
（2）對(duì)于，恒有，
轉(zhuǎn)化為對(duì)于，，
因?yàn)椋?br>利用對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減.
所以，即，
即，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.計(jì)費(fèi)額x（單位：萬(wàn)元）
500
700
1000
收費(fèi)基價(jià)（單位：萬(wàn)元）
16.5
30.1

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