一、單選題（本大題共8道小題，共40分，在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】先求，再求補集可得答案.
【詳解】集合，
則.
故選：A.
2. 已知命題：是素數(shù)，則為（ ）
A. 不是素數(shù)B. 不是素數(shù)
C. 不是素數(shù)D. 不是素數(shù)
【正確答案】D
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可得解.
【詳解】因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，
所以為不是素數(shù).
故選：D.
3. 以下對數(shù)式中，與指數(shù)式等價的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】
根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系即可得出.
【詳解】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系，等價于.
故選：A.
4. 函數(shù)（ 且 ）的圖像大致為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】由函數(shù)圖像過的定點和函數(shù)的值域可判斷正確選項.
【詳解】，函數(shù)定義域，
有，函數(shù)圖像過原點，AD選項不符合，，B選項不符合.
故選：C.
5. 下列函數(shù)中與是同一個函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)相等的定義是：定義域相同且對應(yīng)關(guān)系相同，逐個分析可得答案.
【詳解】對于A，的定義域為，與的定義域為不同，故A不正確；
對于B，與是同一函數(shù)，故B正確；
對于C，與的對應(yīng)關(guān)系不同，故C不正確；
對于D，與的定義域不同，故D不正確.
故選：B
6. （ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由誘導(dǎo)公式可得答案.
【詳解】
.
故選：C
7. 已知弧長為cm的弧所對的圓心角為，則這條弧所在的扇形面積為（ ）cm2．
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)弧長計算出半徑，再利用面積公式得到答案.
【詳解】弧長為cm的弧所對的圓心角為，則

故選
本題考查了扇形的面積，求出半徑是解題的關(guān)鍵.
8. 已知函數(shù)，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由對任意，可知， 為減函數(shù)，再列出不等式可求得a的取值范圍．
【詳解】由題意，函數(shù)對任意的都有成立，
即函數(shù)為上的減函數(shù)，
可得解得，
故選：A.
二、多選題（本大題共四個小題，共20分，每小題有多項符合題目要求）
9. 判斷下列每組對象，能組成一個集合的是（ ）
A. 某校高一年級成績優(yōu)秀的學(xué)生
B. 直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點
C. 不小于3的自然數(shù)
D. 2022年第24屆冬季奧運會金牌獲得者
【正確答案】BCD
【分析】判斷是否滿足集合三要素中的確定性，得到答案.
【詳解】A中“成績優(yōu)秀”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能組成一個集合；
B、C、D中的對象都滿足確定性，所以能組成集合．
故選：BCD
10. 下列命題正確是（ ）
A. 若集合有個元素，則的真子集的個數(shù)為
B. 函數(shù)的零點可以用二分法求得
C. 函數(shù)的零點為
D. 函數(shù)的最小值為
【正確答案】AD
【分析】根據(jù)集合真子集個數(shù)得公式即可判斷A；根據(jù)二分法適用的條件即可判斷B；根據(jù)零點的定義即可判斷C；利用基本不等式即可判斷D.
【詳解】對于A，由題意真子集的個數(shù)為，故A正確；
對于B，，
且零點的兩側(cè)同號，
所以函數(shù)的零點不可以用二分法求得，故B錯誤；
對于C，令，得或，
所以函數(shù)的零點為，故C錯誤；
對于D，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以函數(shù)的最小值為，故D正確.
故選：AD.
11. 下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A. 冪函數(shù)的圖象都通過點
B. 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C. 函數(shù)恒過定點
D. 函數(shù)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)反函數(shù)的定義即可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定值即可判斷C；根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.
【詳解】對于A，冪函數(shù)不過，故A錯誤；
對于B，互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；
對于C，令，則，
所以函數(shù)恒過定點，故C正確；
對于D，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，故D錯誤.
故選：BC.
12. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的定義域為B. 的圖象關(guān)于軸對稱
C. 的值域為D. 是減函數(shù)
【正確答案】AC
【分析】由，解出不等式解集即為的定義域，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷B；化簡函數(shù)為，進而判斷D；求出的值域，進而判斷C.
【詳解】由，即，解得，
所以函數(shù)的定義域為，故A正確；
又，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯誤；
又，
因為函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故D錯誤；
又，所以，即，
所以，即，
所以，
故函數(shù)的值域為，故C正確.
故選：AC.
三、填空題（本大題共4個小題，共20分）
13. 已知，則____________________________．
【正確答案】
【分析】分子、分母同除以，將代入化簡即可.
【詳解】因為，
所以,
故答案為.
本題主要考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.
14. 已知奇函數(shù)，當(dāng)時，，則__________．
【正確答案】1
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)時的解析式,即可求得答案.
【詳解】由題意得,
故答案為:1
15. “”是“”的_________________.（填“充分不必要條件”、“充要條件”、“必要不充分條件”、“既不充分也不必要條件”）
【正確答案】充分不必要條件
【分析】比較與大小關(guān)系，結(jié)合充分條件必要條件的定義判斷結(jié)論.
【詳解】，
所以時一定有，而時不一定有，
“”是“”的充分不必要條件.
故充分不必要條件
16. 若命題“”是假命題，則a的取值范圍是_______.
【正確答案】
【分析】依題意可得是真命題，參變分離得到，再利用基本不等式計算可得；
【詳解】解：因為命題“”是假命題，所以命題“”是真命題，即，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以，即
故
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答過程應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 計算：
（1）+；
（2）
【正確答案】（1）0 （2）6
【分析】（1）由對數(shù)的運算性質(zhì)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可得答案
（2）由對數(shù)的運算法則和性質(zhì)可得出答案.
【小問1詳解】
原式=
【小問2詳解】
原式=3+lg23?lg32+lg100=3+1+2=6．
18. 已知集合.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求的取值范圍.
【正確答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）解一元二次不等式求集合B，再由交運算求.
（2）根據(jù)包含關(guān)系，討論、求參數(shù)范圍即可.
【小問1詳解】
由題設(shè)，
所以.
【小問2詳解】
由，
當(dāng)，則；
當(dāng)，則；
綜上，
19. 已知，α是第三象限角，求：
（1）的值；
（2）的值．
【正確答案】（1）2 （2）
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡求值.
【小問1詳解】
因為，α是第三象限角，
則，
所以tan；
【小問2詳解】
.
20. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，其中，且.
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)的值域.
【正確答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）利用給定函數(shù)結(jié)合，求解作答.
（2）由（1）求出函數(shù)解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性計算作答.
【小問1詳解】
因函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則，解得，
所以a的值為.
【小問2詳解】
由（1）知，，則函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，
所以函數(shù)的值域為.
21. 已知函數(shù)，其中且.
（1）判斷的奇偶性，并說明理由；
（2）若，求使成立的x的集合.
【正確答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析；（2）.
【分析】（1）先求得函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，結(jié)合對數(shù)的運算，化簡得到，即可得到結(jié)論；
（2）由，列出方程求得，得到，根據(jù)，得到不等式，即可求解.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)有意義，
則滿足，解得，即的定義域為關(guān)于原點對稱，
因為，
所以是定義域上的奇函數(shù).
（2）由，可得，解得，
所以函數(shù)，
又由，則，可得，解得，
故不等式的解集為.
22. 某便民超市經(jīng)銷一種小袋裝地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本為6元，預(yù)計當(dāng)一袋桃酥的售價為元時，一年的銷售量為萬袋，并且全年該桃酥食品共需支付萬元的管理費. 一年的利潤一年的銷售量售價（一年銷售桃酥的成本一年的管理費）.（單位：萬元）
（1）求該超市一年的利潤（萬元）與每袋桃酥食品的售價的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每袋桃酥的售價為多少元時，該超市一年的利潤最大，并求出的最大值.
【正確答案】（1）；
（2）售價為9元時，利潤最大為9萬元
【分析】（1）直接由題目所給關(guān)系即可求得利潤（萬元）與售價的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將函數(shù)關(guān)系式變形整理得，結(jié)合基本不等式即可求出最大值.
【小問1詳解】
由題意知，分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關(guān)系式為；
【小問2詳解】
，因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，此時最大為9萬元.當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為9元時，該分公司一年的利潤最大，且最大利潤9萬元.

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