注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；
4.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】由，且，則，
所以，可得其在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，即該點在第四象限.
故選：D.
2. “”是“直線與直線平行”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】當(dāng)時且，
解得，
當(dāng)時，兩條直線方程分別為：，，
此時，
故是的充要條件.
故選：C
3. 現(xiàn)有一種檢驗方法，對患疾病的人化驗結(jié)果呈陽性，對未患疾病的人化驗結(jié)果呈陰性．我們稱檢驗為陽性的人中未患病比例為誤診率．已知一地區(qū)疾病的患病率為，則這種檢驗方法在該地區(qū)的誤診率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】記事件檢查結(jié)果呈陽性，事件被檢查確實患疾病，
由題意可知，，，，，
所以，
因此，這種檢驗方法在該地區(qū)的誤診率為，
故選：A.
4. 已知雙曲線的左右焦點分別為，且，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的交點為，若的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，
由對稱性，不妨令與平行的漸近線為，
則直線方程為：，即，
設(shè)的內(nèi)切圓與三邊相切的切點分別為，，，
如圖所示，

則，
即，而軸，圓半徑為，則，
點到直線的距離：，整理得，
且，解得，
又因為，可得，
所以雙曲線的離心率，
故選：D.
5. 在平行四邊形中，，是平行四邊形內(nèi)（包括邊界）一點，，若，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因為
得，即
所以點在的角平分線上，設(shè)的中點為

因為，所以點在線段上，
不妨設(shè)，
所以
易知
所以
因為
所以
因為
所以
故選：B
6. 已知三棱錐的三個側(cè)面的面積分別為5，5，6，底面積為8，且每個側(cè)面與底面形成的二面角大小相等，則三棱錐的體積為（ ）
A. 4B. C. 6D.
【答案】B
【解析】過向底面作垂線，垂足為，分別過向三邊作垂線，垂足分別為，
連接，
因為平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，所以為二面角的平面角，
同理可得為二面角的平面角，為二面角的平面角，
因為每個側(cè)面與底面形成的二面角大小相等，所以，
所以，所以為三角形的內(nèi)心，
由三棱錐的三個側(cè)面的面積分別為5，5，6，
所以，設(shè)三邊的長為，則邊上的高長為，
由底面的面積為8，所以，解得，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以，
由側(cè)面的面積為6，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故選：B.
7. 已知函數(shù)，若有兩個零點.，則的值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】易知，
令，則，所以或；
可得或，
因此或，
又因為，所以；
所以.
故選：B
8. 已知函數(shù)，且有兩個不同的零點，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，即，
由題意，函數(shù)和有兩個交點，
畫出函數(shù)的圖象，如圖，
當(dāng)時，顯然函數(shù)和沒有兩個交點，不符合題意，
則，當(dāng)時，函數(shù)和有一個交點，
則當(dāng)時，和只有一個交點.
設(shè)與相切于點，，
由，得，即，
又，則，解得，
因此，要使當(dāng)時，和只有一個交點，
則，即的取值范圍為.
故選：D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 如圖是數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，截面分別與球，球切于點，（，是截口橢圓的焦點）.設(shè)圖中球，球的半徑分別為3和1，球心距，則（ ）

A. 橢圓的中心在直線上
B.
C. 直線與橢圓所在平面所成的角為
D. 橢圓的離心率為
【答案】BD
【解析】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，

點分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，
可知橢圓C的中心（即線段的中點）不在直線上，故A錯誤；
橢圓長軸長，
過作于D，連，顯然四邊形為矩形，
又，
則，
過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，
橢圓焦距，故B正確；
所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C錯誤；
所以橢圓的離心率，故D正確；
故選：BD.
10. 設(shè)，為正數(shù)，且且，則（ ）
A. 的最小值是2B. 的最大值是
C. 的最大值是D. 的最大值是
【答案】ACD
【解析】由，
所以，所以，
對A，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故A正確；
對B，由
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
令，則，解得，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B錯誤；
對C，由，
令，則，
解得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確；
對D，由可得，
所以，
令，由B知，
則由可知當(dāng)時，，
故當(dāng)時，有最大值，故D正確.
故選：ACD
11. 已知動點在直線上，動點在圓上，過點作圓的兩條切線，切點分別為A、，則下列描述正確的有（ ）
A. 直線與圓相交B. 的最小值為
C. 存在點，使得D. 直線過定點
【答案】BCD
【解析】圓的圓心，半徑，連接，
對于A，點到直線的距離，直線l與圓C相離，A錯誤；
對于B，點在圓上，則，B正確；
對于C，由切線長定理知，，而，
又是銳角，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此的最大值為，C正確；
對于D，設(shè)，則以PC為直徑的圓的方程為
即，
與已知圓的方程相減可得直線的方程為，
即，由可得，
即直線AB過定點，故D正確；
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 的展開式中的系數(shù)為______．
【答案】
【解析】當(dāng)取1，取，的系數(shù)為；
當(dāng)取，取時，得的系數(shù)為：.
所以的系數(shù)為：.
故答案為：
13. 將甲桶中的水緩慢注入空桶乙中，min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線.假設(shè)過5 min后甲桶和乙桶中的水量相等，若再過min后甲桶中的水只有，則的值為___________.
【答案】5
【解析】5min后甲桶和乙桶中的水量相等，
函數(shù)，滿足，可得，
令，則，即為，解得，
故.
故答案為：5.
14. 已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得對任意的，始終是某個確定的非零常數(shù)，則______．
【答案】
【解析】由題意知．
不妨設(shè)，其中，
則，
展開化簡得：．
因為上式對任意的，始終成立，則．
若，則，，與矛盾，
因此，則，因此，
又，所以，
因此，即，因此．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列前n項和為，，
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和.
（1）證明：因為，
所以當(dāng)，時，，
即
又時，，
所以數(shù)列為首項為1，公比為3的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知，所以，
又由，可得，
所以
16. 如圖在正方體中，是所在棱上的中點.
（1）求平面與平面夾角的余弦值
（2）補全截面
解：（1）由投影面積法可得，
因為是所在棱上的中點，設(shè)正方體的棱長為2，
則，
，，，
所以在中，邊上的高為，
所以，
所以.
（2）如圖，設(shè)所在直線與所在直線交于點，與所在直線交于點，
連接交于點，連接交于點，連接，
則五邊形是平面截正方體所得的截面.
17. 育才中學(xué)為普及法治理論知識，舉辦了一次法治理論知識闖關(guān)比賽．比賽規(guī)定：三人組隊參賽，按順序依次闖關(guān)，無論成敗，每位隊員只闖關(guān)一次．如果某位隊員闖關(guān)失敗，則由該隊下一隊員繼續(xù)闖關(guān)，如果該隊員闖關(guān)成功，則視作該隊獲勝，余下的隊員無需繼續(xù)闖關(guān)；若三位隊員闖關(guān)均不成功，則視為該隊比賽失敗．比賽結(jié)束后，根據(jù)積分獲取排名，每支獲勝的隊伍積分Y與派出的闖關(guān)人數(shù)X的關(guān)系如下：，比賽失敗的隊伍則積分為0．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為、、，且每人能否闖關(guān)成功互不影響．
（1）已知，，，
（i）若按甲、乙、丙的順序依次參賽，求該隊比賽結(jié)束后所獲積分的期望；
（ii）若第一次闖關(guān)從三人中隨機抽取，求該隊比賽結(jié)束后所獲積分的概率．
（2）若甲只能安排在第二位次參賽，且，要使該隊比賽結(jié)束后所獲積分的期望最大，試確定乙、丙的參賽順序，并說明理由．
解：（1）（i）的可能取值為，
，，
.
所以的分布列為：
所以
（ii）第一次闖關(guān)從三人中隨機抽取，每個人被抽取到的概率都是，且必須闖關(guān)成功，
所以概率為.
（2）若順序為“乙甲丙”：
積分的可能取值為,
.
所以.
.
若順序為“丙甲乙”：
積分的可能取值為,
，，
.
所以
.
，
，
由于，所以，
所以丙先參賽.
18. 已知函數(shù)，.
（1）若，求函數(shù)在點處的切線；
（2）若對任意的，，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1），
當(dāng)時，，，
故切線方程為：，即；
（2）法一：不妨設(shè)，則，
同除以得，
所以在0,+∞單調(diào)遞增，
所以，
①若，恒成立，符合題意；
②若，則恒成立，
令，則，
令，則，
所以Fx在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，所以；
③若，同理，恒成立，
由②可知，當(dāng)時，，
所以不存在滿足條件的，
綜上所述，.
法二：，
令，
則只需在0,+∞單調(diào)遞增，即恒成立，
，
令，則恒成立，
又，
①當(dāng)時，，hx在單調(diào)遞增成立；
②當(dāng)時，h'x>0，hx在單調(diào)遞增，
又當(dāng)時，，故不恒成立，不滿足題意；
③當(dāng)時，由h'x>0得，
則hx在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
因為恒成立，所以，
解得，故；
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
19. 集合是數(shù)學(xué)中的基本概念和重要內(nèi)容.對于實數(shù)集中的兩個非空有限子集和，定義和集.記符號表示集合A中的元素個數(shù).當(dāng)時，設(shè)是集合A中按從小到大排列的所有元素，記集合.
（1）已知集合，，，若，求的值.
（2）已知，記集合或.
（i）當(dāng)時，證明的充要條件是；
（ii）若，，求的所有可能取值．
（1）解：因為，由，
所以，
所以且，
所以必有，所以，所以，所以.
（2）（i）證明：因為，可設(shè)，.
先證充分性：因為，所以且，
從而可以設(shè)，其中0，
此時中元素為，故，
再證必要性，設(shè)，，其中，
注意到和集中的最小元素為，最大元素為，
因為，所以中間三個元素可以是，
也可以是，它們是對應(yīng)相等的，
所以有，，
即，故，得證，
（ii）解：①若，由第(i)小問的分析知，
可以設(shè)，，其中，
此時中的元素為，
這與條件矛盾，
②取，其中，
容易驗證此時中的元素為，符合條件，
所以可以取2，
③若，設(shè)，
其中，
結(jié)合知至少存在兩個不同的正整數(shù)，使得，
不妨設(shè)是符合這一條件最小的正整數(shù)，是符合這一條件最大的正整數(shù)，
注意到
這是中的個不同的元素，
根據(jù)定義我們有，即，
當(dāng)時，由的最小性知，即，
此時我們有，
當(dāng)時，也有，
因此是中的元素，但與(*)式中的個元素均不相等，
同理，根據(jù)的定義有是中的元素，但與(*)式中的個元素均不相等，
因為，所以，此時，矛盾，
綜上，的取值只能為2，

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