1. 設(shè)全集為，集合，則_______．
【答案】
【解析】由，
則．
故答案為：.
2. 已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則該圓錐的體積是_______（結(jié)果保留π）．
【答案】
【解析】如下圖做出軸截面：
代入圓錐體積公式：.
故答案為：
3. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________.
【答案】
【解析】，
當(dāng)時(shí)，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
故答案為：.
4. 以為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______.
【答案】
【解析】由題得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
5. 投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)，則擲得的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是_______．
【答案】
【解析】一枚骰子的點(diǎn)數(shù)有6種情況，則兩枚骰子點(diǎn)數(shù)所對(duì)應(yīng)總情況為36種.
又注意到點(diǎn)數(shù)之和為7的情況有：1，6；6，1；2，5；5，2；3，4；4，3共6種，
則擲得的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是.
故答案為：
6. 的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_______．
【答案】
【解析】由題的二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)為.
令，則常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：.
7. 已知函數(shù)的大致圖像如圖所示，則_______．
【答案】
【解析】因?yàn)閳D像關(guān)于軸對(duì)稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)；
又因?yàn)閳D像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，所以指數(shù)為負(fù)數(shù).綜上所述，.
故答案為：.
8. 已知向量，則向量在方向上的投影的坐標(biāo)是_______．
【答案】
【解析】由題得，
所以，
與向量的同向單位向量為，
所以向量在向量方向上的投影的坐標(biāo)為
．
故答案為：．
9. 已知，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】設(shè)，
則在單調(diào)遞增，又，
所以，即，
故.
則.
由題意是的充分條件，
則，
所以有，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
10. 若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是__________.
【答案】9
【解析】方法一:，
則，
等號(hào)成立時(shí).
所以的最小值是9.
方法二:，
則，
等號(hào)成立時(shí)
所以的最小值是9.
故答案為：9.
11. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，從集合中任取兩個(gè)不同的元素x、y，組成A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則的概率為_______．
【答案】
【解析】設(shè)與直線的交點(diǎn)為，由題意知A，B關(guān)于對(duì)稱，
可知為線段的中點(diǎn)，且，
則，
可得，
，
則，
即，
列表可得：
設(shè)樣本空間為，為事件A，
可得，
所以所求概率為．
故答案為：．
12. 點(diǎn)P、M、N分別位于正方體的面上，，則的最小值是_______．
【答案】
【解析】如圖建立以D為原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，其中.
則.
則
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
則為使最小，則應(yīng)使盡量的大，且P為中點(diǎn).
又點(diǎn)P、M、N均位于正方體表面上，則P、M、N在正方體同一面上，
則當(dāng)為正方體一面的對(duì)角線，P為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，滿足題意，
此時(shí)，則.
故答案為：
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．
13. 已知復(fù)數(shù)z和，則下列說法正確的是（ ）
A. 一定是實(shí)數(shù)B. 一定是虛數(shù)
C. 若，則是純虛數(shù)D. 若，則是純虛數(shù)
【答案】A
【解析】設(shè),則故為實(shí)數(shù)，故A正確，
對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)為實(shí)數(shù)，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)為實(shí)數(shù)，C錯(cuò)誤，
對(duì)于D, ，則，則是實(shí)數(shù)，故D錯(cuò)誤，
故選：A
14. 已知非零空間向量和，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若則
C. 若，則D. 若，則
【答案】D
【解析】若，則或與不共線，故選項(xiàng)A與B錯(cuò)誤；
若，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.
故選：D.
15. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
因在（其中）上單調(diào)遞增，
則，.
又因，則取，則.
故選：A
16. 數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則稱數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”．
①存在等差數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”；
②任意等比數(shù)列，若首項(xiàng)，則滿足“性質(zhì)Ω”；
下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A. ①是真命題，②是真命題；B. ①是真命題，②是假命題；
C. ①是假命題，②是真命題；D. ①是假命題，②是假命題．
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為，
若等差數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”；
由可得，故，即，故只需要即可滿足“性質(zhì)Ω”；故①是真命題，
設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別為，
若，，則顯然不成立，
因此存在等比數(shù)列不滿足“性質(zhì)Ω”；故②是假命題
故選：B
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．
17. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若的面積為，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．
解：（1）由正弦定理可得,
因?yàn)?，所以，B∈0，π,所以.
（2）,
所以,
由余弦定理，得,
即，解得,
所以是等邊三角形.
18. 如圖所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，．

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
（1）證明：因?yàn)槭钦叫?，所以?br>
因?yàn)榈酌妫?br>所以，又，,在平面內(nèi)，
所以平面,在平面內(nèi)，
所以，
由底面，
可得，
所以，即有，
因?yàn)?，所以?br>和BD在平面內(nèi)，且，
所以平面．
（2）解：方法1：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由題可知,,.
所以．

得直線與平面所成角的正弦值.
方法2：（建系）

以為原點(diǎn)，射線為軸、軸、軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
可得
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令x=1，可得，
直線與平面所成角的正弦值等于向量與平面法向量的夾角余弦值的絕對(duì)值：.
19. 2024年第七屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)（簡稱進(jìn)博會(huì)）于11月5日至10日在上海國家會(huì)展中心舉行.為了解進(jìn)博會(huì)參會(huì)者的年齡結(jié)構(gòu)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的200名參會(huì)者進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區(qū)間為.把年齡落在區(qū)間內(nèi)的人稱為“青年人”，把年齡落在區(qū)間內(nèi)的人稱為“中年人”，把年齡落在內(nèi)的人稱為“老年人”.

（1）求所抽取的“青年人”的人數(shù)；
（2）以分層抽樣的方式從“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名參會(huì)者做進(jìn)一步訪談，發(fā)現(xiàn)其中女性共4人，這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會(huì)者中任選2人.
①簡述如何采用抽簽法任選2人；
②設(shè)事件A：2人均為“中年人”，事件B：2人中至少有1人為男性，判斷事件A與事件B是否獨(dú)立，并說明理由.
解：（1）由頻率分布直方圖可得，解得：，
又“青年人”占比為，
所以所抽取的“青年人”人數(shù)為人；
（2）①先將10名參會(huì)者進(jìn)行編號(hào)：1、2、、10，并將10個(gè)號(hào)碼寫在完全相同紙片上，
放入某容器中充分混合均勻，再取出2張，2張紙片上所對(duì)應(yīng)的參會(huì)者就是要選取的人，
②“青年人”“中年人”“老年人”的人數(shù)之比為，
所以10人中“中年人”共有5人，
2人均為“中年人”的概率，
2人中至少有1人為男性的概率，
2人均為“中年人”且至少有1人為男性的概率，
因，所以事件A與事件B不獨(dú)立.
20. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求該橢圓的離心率；
（2）點(diǎn)Q為橢圓上一點(diǎn)，且位于第三象限，若的面積為3，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）A，B，C，D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，AB與CD相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍．
解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，由已知可得，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
又，所以，，
所以橢圓方程為，
所以；
（2）①，直線的解析式為，
因?yàn)榈拿娣e為3，所以邊上的高為，
過做的平行線，則直線的解析式為，

聯(lián)立方程組，
解得：或，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）①若或垂直于軸，則，
②若和不垂直于軸，
設(shè)直線的解析式為，點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立方程組，得，
從而，，
，
同理，
，
因?yàn)椋裕?br>綜上，的取值范圍是.
21. 雙曲余弦函數(shù)，雙曲正弦函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上的最小值是，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：（1）由，，
則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則雙曲余弦函數(shù)在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則雙曲余弦函數(shù)在單調(diào)遞減；
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．
（2）.
令，
所以在上是嚴(yán)格增函數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格增，，舍去，
當(dāng)時(shí)，，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為.
（3）①先證明：，
令，
則，
所以在上單調(diào)增，則，
則當(dāng)，，即成立；
令，
則，
所以在上單調(diào)增，則，
則當(dāng)，，即成立；
故，得證.
②再證明：，
令，
令為偶函數(shù).
令，且，
則當(dāng)時(shí)，由①結(jié)論可知，，
則，即當(dāng)時(shí)，，
由偶函數(shù)性質(zhì)得，從而單調(diào)增，又，
所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
從而，即有．
③再證明：任意，當(dāng)時(shí)，恒成立.
設(shè)，，其中，
當(dāng)時(shí)，，成立；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
則，由②已證，
故，
即任意，當(dāng)時(shí)，恒成立.
④再證明：對(duì)任意的，都存在實(shí)數(shù)，使得.
令，
令為偶函數(shù)，
令，
則當(dāng)時(shí)，，
所以單調(diào)遞增，
由于，所以，且當(dāng)，
(由于是偶函數(shù)，由對(duì)稱性以下只需要考慮時(shí).)
所以存在，使得，
從而當(dāng)時(shí)，，即，則在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即，則在單調(diào)遞增；
又時(shí)，，
所以存在，使得，
即有當(dāng)時(shí)，，即，則在時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即，則在時(shí)單調(diào)遞增；
又時(shí)，，
所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，.
對(duì)任意的，都存在，使得，得證.
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．x
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
╱
3
8
15
24
35
48
63
80
2
3
╱
5
12
21
32
45
60
77
3
8
5
╱
7
16
27
40
55
72
4
15
12
7
╱
9
20
33
48
65
5
24
21
16
9
╱
11
24
39
56
6
35
32
27
20
11
╱
13
28
45
7
48
45
40
33
24
13
╱
15
32
8
63
60
55
48
39
28
15
╱
17
9
80
77
72
65
56
45
32
17
╱

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