2024年湖北省荊州市中考數(shù)學模擬試卷（解析版）

這是一份2024年湖北省荊州市中考數(shù)學模擬試卷（解析版），共25頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 化簡a－2a的結(jié)果是（ ）
A. －aB. aC. 3aD. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)整式的加減運算中合并同類項計算即可；
【詳解】解：；
故選：A．
【點睛】本題主要考查整式加減中的合并同類項，掌握相關運算法則是解本題的關鍵．
2. 實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應點的位置如圖，其中有一對互為相反數(shù)，它們是（ ）
A. a與dB. b與dC. c與dD. a與c
【答案】C
【解析】
【分析】互為相反數(shù)的兩個數(shù)（除0在外）它們分居原點的兩旁，且到原點的距離相等，根據(jù)相反數(shù)的含義可得答案．
【詳解】解：分居原點的兩旁，且到原點的距離相等，
互為相反數(shù)，
故選C
【點睛】本題考查的是相反數(shù)的含義，掌握“互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上的分布”是解本題的關鍵．
3. 如圖，直線，AB＝AC，∠BAC＝40°，則∠1＋∠2的度數(shù)是（ ）
A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】由AB＝AC，∠BAC＝40°得∠ABC=70°，在由得即可求解；
【詳解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC=（180°-∠BAC）＝（180°-40°）=70°，
∵
∴
∴
故選：B．
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關性質(zhì)并靈活應用是解題的關鍵．
4. 從班上13名排球隊員中，挑選7名個頭高的參加校排球比賽．若這13名隊員的身高各不相同，其中隊員小明想知道自己能否入選，只需知道這13名隊員身高數(shù)據(jù)的（ ）
A 平均數(shù)B. 中位數(shù)C. 最大值D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，只要知道13名隊員身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可判斷小明是否入選．
【詳解】解：入選規(guī)則是個頭高則入選，則需要將13名隊員的身高進行降序排序，取前7名進行參賽，根據(jù)中位數(shù)的概念，知道第7名的成績，即中位數(shù)即可判斷小明是否入選；
故選：B．
【點睛】本題主要考查中位數(shù)的概念，掌握中位數(shù)的概念是解本題的關鍵．
5. “愛勞動，勞動美．”甲、乙兩同學同時從家里出發(fā)，分別到距家6km和10km的實踐基地參加勞動．若甲、乙的速度比是，結(jié)果甲比乙提前20min到達基地，求甲、乙的速度．設甲的速度為3xkm/h，則依題意可列方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設甲的速度為3xkm/h，則乙的速度為4xkm/h，由甲所花的時間加上小時等于乙所花的時間建立方程即可．
【詳解】解：設甲的速度為3xkm/h，則乙的速度為4xkm/h，則
，
故選：A．
【點睛】本題考查的是分式方程的應用，理解題意，確定相等關系是解本題的關鍵．
6. 如圖是同一直角坐標系中函數(shù)和的圖象．觀察圖象可得不等式的解集為（ ）
A. B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖象進行分析即可得結(jié)果；
【詳解】解：∵
∴
由圖象可知，函數(shù)和分別在一、三象限有一個交點，交點的橫坐標分別為，
由圖象可以看出當或時，函數(shù)在上方，即，
故選：D．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的應用，掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解本題的關鍵．
7. 關于x的方程實數(shù)根的情況，下列判斷正確的是（ ）
A. 有兩個相等實數(shù)根B. 有兩個不相等實數(shù)根C. 沒有實數(shù)根D. 有一個實數(shù)根
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)根的判別式直接判斷即可得出答案．
【詳解】解：對于關于x的方程，
∵，
∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選B．
【點睛】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
8. 如圖，以邊長為2的等邊△ABC頂點A為圓心、一定的長為半徑畫弧，恰好與BC邊相切，分別交AB，AC于D，E，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作AF⊥BC，再根據(jù)勾股定理求出AF，然后根據(jù)陰影部分的面積=得出答案．
【詳解】過點A作AF⊥BC，交BC于點F．
∵△ABC是等邊三角形，BC=2，
∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中，．
∴．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了求陰影部分的面積，涉及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及扇形面積計算等知識，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積-扇形的面積是解題的關鍵．
9. 如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，，連接AC，過點O作交AC的延長線于P．若，則的值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由可知，OP與x軸的夾角為45°，又因為，則為等腰直角形，設OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他線段進而求解．
【詳解】∵P點坐標為（1，1），
則OP與x軸正方向的夾角為45°，
又∵，
則∠BAO=45°，為等腰直角形，
∴OA=OB，
設OC=x，則OB=2OC=2x，
則OB=OA=3x，
∴．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點坐標推出特殊角是解題的關鍵．
10. 如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為a，b，進行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形；第二次，順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形；…如此反復操作下去，則第n次操作后，得到四邊形的面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用中位線、菱形、矩形的性質(zhì)可知，每一次操作后得到的四邊形面積為原四邊形面積的一半，由此可解．
【詳解】解：如圖，連接AC，BD，，．
∵ 四邊形ABCD矩形，
∴，，．
∵ ，，，分別是矩形四個邊的中點，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
∵ ，，
∴四邊形的面積為：．
同理，由中位線的性質(zhì)可知，
，，
，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴四邊形的面積為：．
∴每一次操作后得到的四邊形面積為原四邊形面積的一半，
∴四邊形的面積是．
故選:A．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，證明四邊形是菱形，四邊形是矩形是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11. 一元二次方程配方為，則k的值是______．
【答案】１
【解析】
【分析】將原方程變形成與相同的形式，即可求解．
【詳解】解：
∴
故答案為：1．
【點睛】本題主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解題步驟是解本題的關鍵．
12. 如圖，點E，F(xiàn)分別在□ABCD的邊AB，CD的延長線上，連接EF，分別交AD，BC于G，H．添加一個條件使△AEG≌△CFH，這個條件可以是______．（只需寫一種情況）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得： 證明 再補充兩個三角形中的一組相對應的邊相等即可．
【詳解】解： ，


所以補充：
△AEG≌△CFH，
故答案為：（答案不唯一）
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握“平行四邊形的性質(zhì)與利用ASA證明三角形全等”是解本題的關鍵．
13. 若的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】先由得到，進而得出a和b，代入求解即可．
【詳解】解：∵ ，
∴，
∵ 的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，
∴，．
∴，
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查無理數(shù)及代數(shù)式化簡求值，解決本題的關鍵是要熟練掌握無理數(shù)估算方法和無理數(shù)整數(shù)和小數(shù)部分的求解方法．
14. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若，則CD＝______．
【答案】
【解析】
【分析】先求解AE，AC，再連結(jié)BE，證明 利用勾股定理求解BC，AB，從而可得答案．
【詳解】解： ，

如圖，連結(jié)
由作圖可得：是的垂直平分線，





故答案為：
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖與性質(zhì)，勾股定理的應用，二次根式的化簡，熟悉幾何基本作圖與基本圖形的性質(zhì)是解本題的關鍵．
15. 如圖，將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高AB＝20cm，底面直徑BC＝12cm，球的最高點到瓶底面的距離為32cm，則球的半徑為______cm（玻璃瓶厚度忽略不計）．
【答案】7.5
【解析】
【分析】如詳解中圖所示，將題中主視圖做出來，用垂徑定理、勾股定理計算即可.
【詳解】如下圖所示，設球的半徑為rcm，
則OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG過圓心，且垂直于AD，
∴G為AD的中點，
則AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解方程得r=7.5，
則球的半徑為7.5cm．
【點睛】本題考查了主視圖、垂徑定理和勾股定理的運用，準確做出立體圖形的主視圖是解題的關鍵．
16. 規(guī)定：兩個函數(shù)，的圖象關于y軸對稱，則稱這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)與的圖象關于y軸對稱，則這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)（k為常數(shù)）的“Y函數(shù)”圖象與x軸只有一個交點，則其“Y函數(shù)”的解析式為______．
【答案】或
【解析】
【分析】分兩種情況，根據(jù)關于y軸對稱的圖形的對稱點的坐標特點，即可求得．
【詳解】解：函數(shù)（k為常數(shù)）的“Y函數(shù)”圖象與x軸只有一個交點，
函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象與x軸也只有一個交點，
當k=0時，函數(shù)解析為，它的“Y函數(shù)”解析式為，它們的圖象與x軸只有一個交點，
當時，此函數(shù)是二次函數(shù)，
它們的圖象與x軸都只有一個交點，
它們的頂點分別在x軸上，
，得，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函數(shù)解析式為，
故它的“Y函數(shù)”解析式為，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了新定義，二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，坐標與圖形變換-軸對稱，求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，理解題意和采用分類討論的思想是解決本題的關鍵．
三、解答題（本大題共有8個小題，共72分）
17. 已知方程組的解滿足，求k的取值范圍．
【答案】
【解析】
【分析】先求出二元一次方程組的解，代入中即可求k；
【詳解】解：令①+②得，，
解得：，
將代入①中得，，
解得：，
將，代入得，，
解得：．
【點睛】本題主要考查解二元一次方程組、解一元一次不等式，掌握相關運算法則和方法是解本題的關鍵．
18. 先化簡，再求值：
，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】先合并括號里的分式，再將分式各部分因式分解并化簡，代值求解即可；
【詳解】解：原式=
=
=
=
∵，，
∴．
【點睛】本題主要考查分式的化簡并求值，掌握分式化簡的相關運算法則是解本題的關鍵．
19. 為弘揚荊州傳統(tǒng)文化，我市將舉辦中小學生“知荊州、愛荊州、興荊州”知識競賽活動．某校舉辦選拔賽后，隨機抽取了部分學生的成績，按成績（百分制）分為A，B，C，D四個等級，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表．
根據(jù)圖表信息，回答下列問題：
（1）表中m＝______；扇形統(tǒng)計圖中，B等級所占百分比是______，C等級對應的扇形圓心角為______度；
（2）若全校有1400人參加了此次選拔賽，則估計其中成績?yōu)锳等級的共有______人；
（3）若全校成績?yōu)?00分的學生有甲、乙、丙、丁4人，學校將從這4人中隨機選出2人參加市級競賽．請通過列表或畫樹狀圖，求甲、乙兩人至少有1人被選中的概率．
【答案】（1）12；40%；84
（2）280 （3）
【解析】
【分析】（1）先求出抽查總?cè)藬?shù)，再求B等級所占百分比、C等級對應的扇形圓心角、m的值；
（2）用1400乘以成績?yōu)锳等級的學生人數(shù)的占比即可得結(jié)果；
（3）根據(jù)列表法求概率即可.
【小問1詳解】
解：抽查總?cè)藬?shù)為：（人）；
；
B等級所占百分比是：；
C等級對應的扇形圓心角為；
【小問2詳解】
（人）；
∴若全校有1400人參加了此次選拔賽，則估計其中成績?yōu)锳等級的共有280人；
【小問3詳解】
P（甲、乙兩人至少有1人被選中）=．
【點睛】本題主要考查統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖、根據(jù)樣本所占比估計總量、概率的求解，掌握相關計算公式和概率的求解方法是解題的關鍵．
20. 如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中△ABC為格點三角形．請按要求作圖，不需證明．
（1）在圖1中，作出與△ABC全等所有格點三角形，要求所作格點三角形與△ABC有一條公共邊，且不與△ABC重疊；
（2）在圖2中，作出以BC為對角線的所有格點菱形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】對于（1），以AC為公共邊的有2個，以AB為公共邊的有2個，以BC為公共邊的有1個，一共有5個，作出圖形即可；
對于（2），△ABC是等腰直角三角形，以BC為對角線的菱形只有1個，作出圖形即可．
【小問1詳解】
如圖所示．
【小問2詳解】
如圖所示．
【點睛】本題主要考查了作格點三角形和菱形，理解題意是解題的關鍵．
21. 荊州城徽“金鳳騰飛”立于古城東門外．如圖，某校學生測量其高AB（含底座），先在點C處用測角儀測得其頂端A的仰角為32°，再由點C向城徽走6.6m到E處，測得頂端A的仰角為45°，已知B，E，C三點在同一直線上，測角儀離地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】城徽的高AB約為米．
【解析】
【分析】如圖，延長DF交AB于M，由題意可得： 所以四邊形BMFE，四邊形EFCD，四邊形BMDC都為矩形；設再表示 再利用銳角的正切建立方程，解方程即可．
【詳解】解：如圖，延長DF交AB于M，由題意可得：
所以四邊形BMFE，四邊形EFCD，四邊形BMDC都為矩形；
設 而

由

解得： 經(jīng)檢驗符合題意，
所以
答：城徽的高AB約為米．
【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應用，作出適當?shù)妮o助線構建直角三角形是解本題的關鍵．
22. 小華同學學習函數(shù)知識后，對函數(shù)通過列表、描點、連線，畫出了如圖1所示的圖象．
請根據(jù)圖象解答：
（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①寫出函數(shù)的兩條性質(zhì)：______；______；②若函數(shù)圖象上的兩點，滿足，則一定成立嗎？______．（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如圖2，將過，兩點的直線向下平移n個單位長度后，得到直線l與函數(shù)的圖象交于點P，連接PA，PB．
①求當n＝3時，直線l的解析式和△PAB的面積；
②直接用含n的代數(shù)式表示△PAB的面積．
【答案】（1）①當x>0時，y隨x的增大而減小； 兩段圖象關于原點對稱；（答案不唯一）
②不一定； （2）①y=-x+3；；②．
【解析】
【分析】（1）①直接觀察圖象寫出兩條性質(zhì)即可（答案不唯一）；②不成立舉出反例即可；
（2）求出AB所在直線解析式，利用函數(shù)圖象平移規(guī)律即可求得直線l的解析式；求解△PAB的面積時，以AB為底邊，設直線AB與y軸交點記為C，如詳解中圖所示，過點C向直線l作垂線，垂足記為Q，因為平行線之間的距離處處相等，所以AB邊上的高為CQ，表示出CQ即可求出三角形面積．
【小問1詳解】
①觀察函數(shù)圖像可得其性質(zhì)：當x>0時，y隨x的增大而減?。?兩段圖象關于原點對稱；
②不一定，當時，，當時，，此時；
【小問2詳解】
①設AB所在直線解析式為：y=kx+b，
將，代入得，，
解方程組得，
則AB所在直線解析式為：y=-x+3，
∵n=3，向下平移三個單位后，
直線l解析式為：y=-x，
如下圖所示，設直線AB與y軸交點記為C，則C點坐標為（0，3），
過點C向直線l作垂線，垂足記為Q，
易知直線l過原點，且k=-1，
∴直線AB、直線l與x軸負方向夾角都為45°，
則∠COQ=90°-45°=45°，且OC=3，
在等腰直角中，CQ=OCsin45°=，
則A、B兩點之間距離為，
在中以AB為底邊，因為平行線之間的距離處處相等，所以AB邊上的高為CQ=，
則，
故直線l的解析式為y=-x+3，△PAB的面積為；
②如下圖所示，直線l與y軸交點記為D，則CD的長度即為向下平移的距離n，
由①知為等腰直角三角形，
則，
．
【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、函數(shù)與三角形結(jié)合、函數(shù)圖象平移等知識點，題目比較綜合，根據(jù)平行線之間垂線段處處相等，尋找到中AB邊上的高是解題的關鍵．
23. 某企業(yè)投入60萬元（只計入第一年成本）生產(chǎn)某種產(chǎn)品，按網(wǎng)上訂單生產(chǎn)并銷售（生產(chǎn)量等于銷售量）．經(jīng)測算，該產(chǎn)品網(wǎng)上每年的銷售量y（萬件）與售價x（元/件）之間滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝24－x，第一年除60萬元外其他成本為8元/件．
（1）求該產(chǎn)品第一年的利潤w（萬元）與售價x之間的函數(shù)關系式；
（2）該產(chǎn)品第一年利潤為4萬元，第二年將它全部作為技改資金再次投入（只計入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求該產(chǎn)品第一年的售價；②若第二年售價不高于第一年，銷售量不超過13萬件，則第二年利潤最少是多少萬元？
【答案】（1）
（2）①第一年的售價為每件16元，②第二年的最低利潤為萬元．
【解析】
【分析】（1）由總利潤等于每件產(chǎn)品的利潤乘以銷售的數(shù)量，再減去投資成本，從而可得答案；
（2）①把代入（1）的函數(shù)解析式，再解方程即可，②由總利潤等于每件產(chǎn)品的利潤乘以銷售的數(shù)量，再減去投資成本，列函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解利潤范圍即可得到答案．
【小問1詳解】
解：由題意得：


【小問2詳解】
①由（1）得：當時，
則即
解得：
即第一年的售價為每件16元，
② 第二年售價不高于第一年，銷售量不超過13萬件，
解得：
其他成本下降2元/件，
∴
對稱軸為
當時，利潤最高，為77萬元，而
當時，（萬元）
當時， （萬元）

所以第二年的最低利潤為萬元．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的實際應用，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，列出函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題是關鍵．
24. 如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點O是邊AB上一個動點（不與點A重合），連接OD，將△OAD沿OD折疊，得到△OED；再以O為圓心，OA的長為半徑作半圓，交射線AB于G，連接AE并延長交射線BC于F，連接EG，設OA＝x．
（1）求證：DE是半圓O的切線；
（2）當點E落在BD上時，求x的值；
（3）當點E落在BD下方時，設△AGE與△AFB面積的比值為y，確定y與x之間的函數(shù)關系式；
（4）直接寫出：當半圓O與△BCD的邊有兩個交點時，x的取值范圍．
【答案】（1）見詳解 （2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)切線的判定定理求解即可；
（2）如圖，在，根據(jù)勾股定理列方程求解即可；
（3）先證，求出AE，然后證明，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解；
（4）結(jié)合圖形，分情況討論即可求出x的取值范圍．
【小問1詳解】
證明：在矩形ABCD中，，
△OED是△OAD沿OD折疊得到的，
，即，
DE是半圓O的切線；
【小問2詳解】
解：△OED是△OAD沿OD折疊得到的，
，
，
在中，，
，
在中，，
，解得，
答：x的值為．
【小問3詳解】
解：在中，，
△OED是△OAD沿OD折疊得到的，
，
是的直徑，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（）
【小問4詳解】
解：由（2）知，當EDB上時， ，
如圖，當點E在DC上時， ，
∴當時，半圓O與△BCD的邊有兩個交點；
當半圓O經(jīng)過點C時，半圓O與△BCD的邊有兩個交點，
連接OC，在中，，
，
，解得，
∴當時，半圓O與△BCD的邊有兩個交點；
綜上所述，當半圓O與△BCD的邊有兩個交點時，x的取值范圍為：或．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱，勾股定理，切線的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的判定和性質(zhì)是解本題的關鍵．
等級
成績（x）
人數(shù)
A
m
B
24
C
14
D
10
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
(甲，丁)
乙
（甲，乙）
（乙，丙）
(乙，丁)
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丙，?。?br>丁
（甲，?。?br>（乙，?。?br>(丙，丁)
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
1
2
4
1
0
－4
－2
－1
…