2024年湖北省襄陽市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A. ℃B. ℃C. ℃D. ℃
【答案】D
【解析】
【分析】首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．
【詳解】解：如果溫度上升2℃記作+2℃，那么溫度下降3℃記作-3℃．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查正負(fù)數(shù)的意義，運(yùn)用正負(fù)數(shù)來描述生活中的實(shí)例．
2. 襄陽牛雜面因襄陽籍航天員聶海勝的一句“最想吃的還是我們襄陽的牛雜面”火爆出圈，引發(fā)了全國人民的聚焦和關(guān)注．襄陽某品牌牛雜面的包裝盒及對應(yīng)的立體圖形如圖所示，則該立體圖形的主視圖為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)主視圖的意義，從正面看該立體圖形所得到的圖形進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：從正面看，是一個矩形，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查簡單幾何體的主視圖，理解三視圖的意義，掌握三視圖的畫法是正確判斷的關(guān)鍵．
3. 2021年，襄陽市經(jīng)濟(jì)持續(xù)穩(wěn)定恢復(fù)，綜合實(shí)力顯著增強(qiáng)，人均地區(qū)生產(chǎn)總值再上新臺階，突破100000元大關(guān)．將100000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
【詳解】解：將100000用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法．解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4. 已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如圖方式放置，點(diǎn)A，B分別落在直線m，n上．若∠1＝70°．則∠2的度數(shù)為（）
A. 30°B. 40°C. 60°D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABD，再根據(jù)角的和差關(guān)系求得結(jié)果．
【詳解】解：∵mn，∠1=70°，
∴∠1=∠ABD=70°，
∵∠ABC=30°，
∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．
5. 襄陽市正在創(chuàng)建全國文明城市，某社區(qū)從今年6月1日起實(shí)施垃扱分類回收．下列圖形分別是可回收物、廚余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的標(biāo)志，其中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選不符合題意；
B、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．
6. 下列說法正確的是（）
A. 自然現(xiàn)象中，“太陽東方升起”是必然事件
B. 成語“水中撈月”所描述的事件，是隨機(jī)事件
C. “襄陽明天降雨的概率為0.6”，表示襄陽明天一定降雨
D. 若抽獎活動的中獎概率為，則抽獎50次必中獎1次
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)概率意義，概率公式，隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，即可解答．
【詳解】解：A、自然現(xiàn)象中，“太陽東方升起”是必然事件，故A符合題意；
B、成語“水中撈月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合題意；
C、襄陽明天降雨的概率為0.6”，表示襄陽明天降雨的可能性是60%，故C不符合題意；
D、若抽獎活動的中獎概率為，則抽獎50次不一定中獎1次，故D不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了概率的意義，概率公式，隨機(jī)事件，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（）
A. 若OB＝OD，則?ABCD是菱形B. 若AC＝BD，則?ABCD是菱形
C. 若OA＝OD，則?ABCD是菱形D. 若AC⊥BD，則?ABCD是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，
∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．
8. 《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多一天：如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少3天．已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時間．設(shè)規(guī)定時間為x天，則可列方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意找出題目中的等量關(guān)系列出方程即可．
【詳解】設(shè)規(guī)定時間為x天，
則可列方程為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出題目中的等量關(guān)系列出方程．
9. 若點(diǎn)A（-2，y1），B（-1，y2）都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系是（）
A. y1＜y2B. y1＝y(tǒng)2C. y1＞y2D. 不能確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)A（-2，y1），B（-1，y2）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，k=2＞0，
∴在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
∵-2＜-1，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx+c和反比例函數(shù)y＝在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向下得到a＜0，再根據(jù)對稱軸確定出b，根據(jù)與y軸的交點(diǎn)確定出c＜0，然后確定出一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的情況，即可得解．
【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口方向向下，
∴a＜0，
∵對稱軸為直線＞0，
∴b＞0，
∵與y軸的負(fù)半軸相交，
∴c＜0，
∴y=bx+c圖象經(jīng)過第一、三、四象限，
反比例函數(shù)y=圖象在第二四象限，
只有D選項(xiàng)圖象符合．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖形，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等確定出a、b、c的情況是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．
11. 化簡分式：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)同分母的分式加法運(yùn)算法則求解后約分即可得到結(jié)論．
詳解】解：
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡，掌握同分母的分式求和及約分是解決問題的關(guān)鍵．
12. 不等式組的解集是_____．
【答案】x＞2
【解析】
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，確定不等式組的解集．
【詳解】解：
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式組的解集為x＞2，
故答案為：x＞2．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，掌握求不等式公共解集的方法是解題的關(guān)鍵．
13. 經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，假設(shè)這三種可能性大小相同，那么兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口，一輛向左轉(zhuǎn)，一輛向右轉(zhuǎn)的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】列舉出所有情況，讓一輛向左轉(zhuǎn)，一輛向右轉(zhuǎn)的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的可能性．
【詳解】
一輛向左轉(zhuǎn)，一輛向右轉(zhuǎn)的情況有兩種，則概率是．
【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點(diǎn)為：可能性=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
14. 在北京冬奧會自由式滑雪大跳臺比賽中，我國選手谷愛凌的精彩表現(xiàn)讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺滑出后的運(yùn)動路線是一條拋物線，設(shè)她與跳臺邊緣的水平距離為xm，與跳臺底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），當(dāng)她與跳臺邊緣的水平距離為_____m時，豎直高度達(dá)到最大值．
【答案】8
【解析】
【分析】把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，由函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴當(dāng)x=8時， y有最大值，最大值為4，
∴當(dāng)她與跳臺邊緣的水平距離為8m時，豎直高度達(dá)到最大值．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．
15. 已知⊙O的直徑AB長為2，弦AC長為，那么弦AC所對的圓周角的度數(shù)等于_____．
【答案】45°或135°
【解析】
【分析】直徑所對圓周角是直角，勾股定理求出BC，證得△ABC為等腰直角三角形
即可解得．
【詳解】解：如圖
連接BC，
∵⊙O的直徑AB
∴∠ACB=90°
根據(jù)勾股定理得

∴
∴△ABC為等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
=135°
∴弦AC所對的圓周角的度數(shù)等于45°或者135°
【點(diǎn)睛】此題考查了求圓周角，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．
16. 如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為_____．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．證明，設(shè)，證明，設(shè)，則，求出，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．
平分，，，
，
，
，
設(shè)，則，
，，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
的周長，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．
三、解答題（本大題共9個小題，共72分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡上每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．
17. 先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化簡，進(jìn)而合并同類項(xiàng)，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．
【詳解】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算與整式的混合運(yùn)算——化簡求值，正確掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
18. 在“雙減”背景下，某區(qū)教育部門想了解該區(qū)A，B兩所學(xué)校九年級各500名學(xué)生的課后書面作業(yè)時長情況，從這兩所學(xué)校分別隨機(jī)抽取50名九年級學(xué)生的課后書面作業(yè)時長數(shù)據(jù)（保留整數(shù)），整理分析過程如下：
【收集數(shù)據(jù)】A學(xué)校50名九年級學(xué)生中，課后書面作業(yè)時長在70.5≤x＜80.5組的具體數(shù)據(jù)如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80
【整理數(shù)據(jù)】不完整的兩所學(xué)校的頻數(shù)分布表如下，不完整的A學(xué)校頻數(shù)分布直方圖如圖所示：
【分析數(shù)據(jù)】兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如下表：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）本次調(diào)查是調(diào)查（選填“抽樣”或“全面”）；
（2）統(tǒng)計表中，x＝，y＝；
（3）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（4）在這次調(diào)查中，課后書面作業(yè)時長波動較小的是學(xué)校（選填“A”或“B”）；
（5）按規(guī)定，九年級學(xué)生每天課后書面作業(yè)時長不得超過90分鐘，估計兩所學(xué)校1000名學(xué)生中，能在90分鐘內(nèi)（包括90分鐘）完成當(dāng)日課后書面作業(yè)的學(xué)生共有人．
【答案】（1）抽樣（2）
（3）見解析（4）A
（5）920
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意知本次調(diào)查是抽樣調(diào)查；
（2）用總數(shù)減去其它組的頻數(shù)求x，利用求中位數(shù)的方法求y；
（3）根據(jù)A學(xué)校的頻數(shù)分布表補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（4）根據(jù)方差即可判斷；
（5）分別求出在90分鐘內(nèi)（包括90分鐘）完成當(dāng)日課后書面作業(yè)的學(xué)生即可．
【小問1詳解】
根據(jù)題意知本次調(diào)查是抽樣調(diào)查；
故答案為：抽樣．
【小問2詳解】
x=50-5-15-8-4=18，
中位數(shù)為第25個和第26個平均數(shù)
故答案為：18，74.5．
【小問3詳解】
補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖：
【小問4詳解】
因?yàn)锳學(xué)校的方差為127.36，B學(xué)校的方差為144.12，
12736＜144.12，
∴課后書面作業(yè)時長波動較小的是A學(xué)校，
故答案為：A．
【小問5詳解】
（人）
故答案為：920．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了統(tǒng)計表，眾數(shù)，中位數(shù)以及方差的綜合運(yùn)用，利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
19. 位于峴山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士的而興建的，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測量烈士塔的高度．無人機(jī)在點(diǎn)A處測得烈士塔頂部點(diǎn)B的仰角為45°，烈士塔底部點(diǎn)C的俯角為61°，無人機(jī)與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）
【答案】烈士塔的高度約為28m．
【解析】
【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，則BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案．
【詳解】解：由題意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，
在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，
∴BD=AD=10m，
在Rt△ACD中，∠DAC=61°，
tan61°=≈1.80，
解得CD≈18，
∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．
∴烈士塔的高度約為28m．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
20. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．
（1）作∠ACB的角平分線，交AB于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求證：AD＝AE．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】（1）按照角平分線的作圖步驟作圖即可．
（2）證明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
【小問1詳解】
解：如圖所示，CE即所求．
【小問2詳解】
證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分線，CE是∠ACB的角平分線，
∴，，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作圖步驟以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
21. 探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請畫出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．
（1）繪制函數(shù)圖象
①列表：下列是x與y的幾組對應(yīng)值，其中a＝．
②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)（x，y），請補(bǔ)充描出點(diǎn)（2，a）；
③連線：請用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象；
（2）探究函數(shù)性質(zhì)，請寫出函數(shù)y＝-|x|的一條性質(zhì)：；
（3）運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)
①寫出方程-|x|＝5的解；
②寫出不等式-|x|≤1的解集．
【答案】（1）①1；②見解析，③見解析
（2）的圖象關(guān)于軸對稱軸（答案不唯一）
（3）①或；②或
【解析】
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描點(diǎn)，連線即可；
（2）觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質(zhì)；
（3）①由函數(shù)圖象可得答案；②觀察函數(shù)圖象即得答案．
【小問1詳解】
①列表：當(dāng)x=2時，，
故答案為：1；
②描點(diǎn)，③連線如下：
【小問2詳解】
觀察函數(shù)圖象可得：的圖象關(guān)于y軸對稱，
故答案為：的圖象關(guān)于y軸對稱；
【小問3詳解】
①觀察函數(shù)圖象可得：當(dāng)y=5時，x=1或x=-1，
的解是x=1或x=-1，
故答案為：x=1或x=-1，
②觀察函數(shù)圖象可得，當(dāng)x≤-2或x≥2時，y≤1，
∴的解集是x≤-2或x≥2，
故答案為：x≤-2或x≥2．
【點(diǎn)睛】本題考查了列表描點(diǎn)畫函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接AC，BC，AD，AD與BC相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作直線DEBC，交AC的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若，CG＝2，求陰影部分的面積．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）連接OD，根據(jù)已知條件，由OD⊥BC ，DEBC，證明OD⊥DE即可；
（2）根據(jù)相等，再由（1）中可得，，從而得到∠CAD=∠BAD=∠ABC=30°，在Rt△ACG中，利用銳角三角函數(shù)求出AC、AG的長，從而求出△CAG的面積，在Rt△ABD中利用銳角三角函數(shù)求出AD的長，根據(jù)DEBC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出，進(jìn)而即可陰影部分的面積．
【小問1詳解】
證明：連接OD，如圖所示，
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC
∵DEBC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．
【小問2詳解】
連接BD，如圖所示，
∴BD=AC
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴∠CAD=∠BAD=30°．
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACG中，，
∴，
∵，
∴，，
∴BD=CA=6，
，
在Rt△ABD中，
∴
∵DE∥BC，
∴△CAG∽△EAD，
∴，
即，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定定理、垂徑定理、圓周角定理以及相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
23. 為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，我市某鎮(zhèn)鼓勵廣大農(nóng)戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產(chǎn)品、某經(jīng)銷商購進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品進(jìn)價為8元/kg；乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨總金額y（單位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的關(guān)系如圖所示．已知甲、乙兩種產(chǎn)品的售價分別為12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若該經(jīng)銷商購進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設(shè)銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤為w元（利潤＝銷售額一成本），請求出w（單位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并為該經(jīng)銷商設(shè)計出獲得最大利潤的進(jìn)貨方案；
（3）為回饋廣大客戶，該經(jīng)銷商決定對兩種產(chǎn)品進(jìn)行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤的進(jìn)貨方案下，甲、乙兩種產(chǎn)品售價分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大值．
【答案】（1）．
（2）；當(dāng)購進(jìn)甲產(chǎn)品2000千克，乙產(chǎn)品4000千克時，利潤最大為288000元．
（3）的最大值為．
【解析】
【分析】（1）分當(dāng)時，當(dāng)時，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)題意可知，分當(dāng)時，當(dāng)時，分別列出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意可知，降價后，與的關(guān)系式，并根據(jù)利潤不低于15000，可得出的取值范圍．
【小問1詳解】
當(dāng)時，設(shè)，根據(jù)題意可得，，
解得，
；
當(dāng)時，設(shè)，
根據(jù)題意可得，，
解得，
．
．
【小問2詳解】
根據(jù)題意可知，購進(jìn)甲種產(chǎn)品千克，
，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，的最大值為；
當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，的最大值為（元，
綜上，；當(dāng)購進(jìn)甲產(chǎn)品2000千克，乙產(chǎn)品4000千克時，利潤最大為288000元．
【小問3詳解】
根據(jù)題意可知，降價后，，
當(dāng)時，取得最大值，
，解得．
的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出函數(shù)關(guān)系式．
24. 矩形ABCD中，＝（k＞1），點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線CF交于點(diǎn)F．
（1）【特例證明】如圖（1），當(dāng)k＝2時，求證：AE＝EF；
小明不完整的證明過程如下，請你幫他補(bǔ)充完整．
（2）【類比探究】如圖（2），當(dāng)k≠2時，求的值（用含k的式子表示）；
（3）【拓展運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)k＝3時，P為邊CD上一點(diǎn)，連接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的長．
【答案】（1）見解析（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）證明△AHE≌△ECF（ASA）即可；
（2）在BA上截取BH=BE，連接EH．證明△AHE∽△ECF，即可求解；
（3）以A為旋轉(zhuǎn)中心，△ADP繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°到△AP'H，設(shè)AB=3a，則BC=2a，連接P'E，HE，延長P'H交CD于點(diǎn)G，連接EG，證明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四邊形APEP'是正方形，再證明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，過點(diǎn)P作PK⊥AE交于K，進(jìn)而證明四邊形PKEF是矩形，則有PF==a，即可求出BC=．
【小問1詳解】
證明：如圖，在BA上截取BH=BE，連接EH．
∵k=2，
∴AB=BC．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠AHE=180°-∠1=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠3=∠DCG=45°，
∴∠ECF=∠3+∠4=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6+∠AEB=90°，
∵∠5+∠AEB=90°，
∴∠5=∠6，
∵AB=BC，BH=BE，
∴AH=EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
【小問2詳解】
解：在BA上截取BH=BE，連接EH．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠DCF=∠DCG=45°．
∴∠ECF=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，
∴，
∵，E是BC邊的中點(diǎn)，
∴EC=HB=BC，
∴AH=AB-BC=BC，
∴；
【小問3詳解】
解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，△ADP繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°到△AP'H，
∵k=3，
∴，
設(shè)AB=3a，則BC=2a，
∵∠PAE=45°，
∴∠P'AP=90°，
連接P'E，HE，延長P'H交CD于點(diǎn)M，連接EM，
∵AH=AD=2a，
∴BH=a，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=a，
∴HE=a，∠BHE=45°，
∴∠P'HE=135°，
∵CG=EC=a，
∴∠MEC=45°，
∴∠PME=135°，
∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，
∴△AEP'≌△AEP（SAS），
∴PE=P'E，
∴△PEM≌△P'EH（AAS），
∴∠PEG=∠P'EH，
∵∠HEG=∠EGH=45°，
∴∠HEG=90°，
∴∠PEP'=90°，
∴∠AEP=∠AEP'=45°，
∴∠APE=∠AP'E=90°，
∴四邊形APEP'是正方形，
∴AP=PE，
∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，
∴∠DAP=∠EPC，
∵AP=PE，
∴△APD≌△PEC（AAS），
∴AD=PC=2a，PD=ED=a，
∴PE=a，
由（2）得△AHE∽△ECF，
∴，
∵
∴，
∵∠HEM=∠AEF=90°，
∴∠HEA=∠MEF，
∵∠PEM=∠P'EH，
∴∠PEF=∠P'EH=45°，
過點(diǎn)P作PK⊥AE交于K，
∵EF⊥AE，
∴PKEF，
∵，
∴PK=EF，
∴四邊形PKEF是矩形，
∴PF=KE，
∵，
∴，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形是判定及性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝mx-2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D的拋物線y＝-x2+2mx-m2+2與y軸交于點(diǎn)C．
（1）如圖，當(dāng)m＝2時，點(diǎn)P是拋物線CD段上的一個動點(diǎn)．
①求A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)△PAB面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在y軸上有一點(diǎn)M（0，m），當(dāng)點(diǎn)C在線段MB上時，
①求m的取值范圍；
②求線段BC長度的最大值．
【答案】（1）①A（2，0），B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②△PAB的面積的最大值是3，點(diǎn)P（1，1）；
（2）①或；
②13
【解析】
【分析】對于（1），先求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再將拋物線關(guān)系式配方表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，令
x=0，表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將m的值代入即可得出①的答案；對于②，先求出直線和拋物線的解析式，再作軸，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，即可表示出點(diǎn)P，E的坐標(biāo)，然后表示出PE，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式表示△PAB的面積，再配方討論極值即可；
對于（2），由（1）可知，點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)C在線段MB上，分兩種情況討論，求出①的答案即可；對于②，根據(jù)①中的情況分別表示BC，再配方二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可．
【小問1詳解】
∵直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是D（m，2）．
令x=0，則，
∴．
①當(dāng)m=2時，-2m=-4，則，
∴點(diǎn)B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②由上可知，直線AB的解析式為，拋物線的解析式為，
如圖，過點(diǎn)P作軸交直線AB于點(diǎn)E．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴，，
∴，
∴△PAB的面積=，
∵-1＜0，
∴當(dāng)t=1時，△PAB的面積的最大值為3，此時P（1，1）；
【小問2詳解】
由（1）可知，B（0，-2m），C（0，-m2+2），
①∵y軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)C在線段MB上，
∴需分兩種情況討論：
當(dāng)時，解得：，
當(dāng)時，解得：，
∴m的取值范圍是或；
②當(dāng)時，
∵，
∴當(dāng)m=1時，BC的最大值為3；
當(dāng)時，
∴，
當(dāng)m=-3時，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，BC的最大值為13，
∴BC的最大值是13．
【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合問題，考查了求函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形的綜合，根據(jù)二次函數(shù)關(guān)系式求極值等．組別
50.5≤x＜60.5
60.5≤x＜70.5
70.5≤x＜80.5
80.5≤x＜90.5
90.5≤x＜100.5
A學(xué)校
5
15
x
8
4
B學(xué)校
7
10
12
17
4
特征數(shù)
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
方差
A學(xué)校
74
75
y
127.36
B學(xué)校
74
85
73
144.12
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答題卡對應(yīng)區(qū)域?qū)懗鍪Ｓ嘧C明過程）

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