1. 實(shí)數(shù)9的相反數(shù)等于（ ）
A. ﹣9B. +9C. D. ﹣
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：實(shí)數(shù)9的相反數(shù)是-9，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)的定義，熟知相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. b+b2＝b3B. b6÷b3＝b2C. （2b）3＝6b3D. 3b﹣2b＝b
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)積的乘方“把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘”，合并同類項(xiàng)“把同類項(xiàng)的系數(shù)相減，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變”，同底數(shù)冪的除法“底數(shù)不變，指數(shù)相減”進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：A、，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，選項(xiàng)說法正確，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的除法，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．
3. 孫權(quán)于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山東麓營(yíng)建吳王城，并取“以武而昌”之意，改鄂縣為武昌，下面四個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合，進(jìn)行解答即可得．
【詳解】解：A、“以”不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、“武”不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
C、“而”不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、“昌”是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)說法正確，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的概念．
4. 如圖所示的幾何體是由5個(gè)完全相同的小正方體組成，它的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)從正面看到的圖形是主視圖，即可得．
【詳解】解：從前面看，第一層是兩個(gè)小正方形，第二層左邊一個(gè)小正方形，第三層左邊1個(gè)小正方形，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握從正面看到的圖形是主視圖．
5. 如圖，直線l1l2，點(diǎn)C、A分別在l1、l2上，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交l1于點(diǎn)B，連接AB．若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（ ）
A. 10°B. 15°C. 20°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】由作圖得為等腰三角形，可求出，由l1l2得，從而可得結(jié)論．
【詳解】解：由作圖得，，
∴為等腰三角形，
∴
∵∠BCA＝150°，
∴
∵l1l2
∴
故選B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，求出是解答本題的關(guān)鍵．
6. 生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請(qǐng)你推算22022的個(gè)位數(shù)字是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知得出數(shù)字個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是：4．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，根據(jù)題意得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
7. 數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），當(dāng)kx+b＜x時(shí)，x的取值范圍是（ ）
A. x＞3B. x＜3C. x＜1D. x＞1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)不等式kx+b＜x的解集即為一次函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象下方的自變量的取值范圍求解即可
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知不等式kx+b＜x的解集即為一次函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象下方的自變量的取值范圍，
∴當(dāng)kx+b＜x時(shí)，x的取值范圍是，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)兩直線的交點(diǎn)求不等式的解集，利用圖象法解不等式是解題的關(guān)鍵．
8. 工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，則這種鐵球的直徑為（ ）
A. 10cmB. 15cmC. 20cmD. 24cm
【答案】C
【解析】
【分析】連接OA，OE，設(shè)OE與AB交于點(diǎn)P，根據(jù)，，得四邊形ABDC是矩形，根據(jù)CD與切于點(diǎn)E，OE為的半徑得，，即，，根據(jù)邊之間的關(guān)系得，，在，由勾股定理得，，進(jìn)行計(jì)算可得，即可得這種鐵球的直徑．
【詳解】解：如圖所示，連接OA，OE，設(shè)OE與AB交于點(diǎn)P，
∵，，，
∴四邊形ABDC是矩形，
∵CD與切于點(diǎn)E，OE為的半徑，
∴，，
∴，，
∵AB=CD=16cm，
∴，
∵，
在，由勾股定理得，
解得，，
則這種鐵球的直徑＝，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．
9. 如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖像頂點(diǎn)為P（1，m），經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）；有以下結(jié)論：①a1時(shí)，y隨x的增大而減小；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（ ）
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】①根據(jù)拋物線的開口方向向下即可判定；②先運(yùn)用二次函數(shù)圖像的性質(zhì)確定a、b、c的正負(fù)即可解答；③將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可解答；④根據(jù)函數(shù)圖像即可解答；⑤運(yùn)用作差法判定即可．
【詳解】解：①由拋物線開口方向向下，則a＜0，故①正確；
②∵拋物線的頂點(diǎn)為P（1，m）
∴，b=-2a
∵a＜0
∴b＞0
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸
∴c＞0
∴abc＜0，故②錯(cuò)誤；
③∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）
∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正確；
④∵拋物線的頂點(diǎn)為P（1，m），且開口方向向下
∴x>1時(shí)，y隨x的增大而減小，即④正確；
⑤∵a＜0
∴at2+bt-（a+b）
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，則⑤正確
綜上，正確的共有4個(gè)．
故答案為C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖像的性質(zhì)以及掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．
10. 如圖，定直線MNPQ，點(diǎn)B、C分別為MN、PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC=12，BC在兩直線間運(yùn)動(dòng)過程中始終有∠BCQ=60°．點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)D是PQ下方一定點(diǎn)，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，當(dāng)線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（ ）
A. 24B. 24C. 12D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】如圖所示，過點(diǎn)F作交BC于H，連接EH，可證明四邊形CDFH是平行四邊形，得到CH=DF=8，CD=FH，則BH=4，從而可證四邊形ABHE是平行四邊形，得到AB=HE，即可推出當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延長(zhǎng)AE交PQ于G，過點(diǎn)E作ET⊥PQ于T，過點(diǎn)A作AL⊥PQ于L，過點(diǎn)D作DK⊥PQ于K，證明四邊形BEGC是平行四邊形，∠EGT=∠BCQ=60°，得到EG=BC=12，然后通過勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的長(zhǎng)即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)F作交BC于H，連接EH，
∵，
∴四邊形CDFH是平行四邊形，
∴CH=DF=8，CD=FH，
∴BH=4，
∴BH=AE=4，
又∵，
∴四邊形ABHE是平行四邊形，
∴AB=HE，
∵，
∴當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，
延長(zhǎng)AE交PQ于G，過點(diǎn)E作ET⊥PQ于T，過點(diǎn)A作AL⊥PQ于L，過點(diǎn)D作DK⊥PQ于K，
∵，
∴四邊形BEGC是平行四邊形，∠EGT=∠BCQ=60°，
∴EG=BC=12，
∴，
同理可求得，，
∴，
∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，
∴，
∴△ALO∽△DKO，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正確作出輔助線推出當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）
11. 化簡(jiǎn)：= .
【答案】２
【解析】
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是求一個(gè)正數(shù)x，使得x2=a，則x就是a的算術(shù)平方根， 特別地，規(guī)定0的算術(shù)平方根是0.
【詳解】∵22=4，∴=2.
【點(diǎn)睛】本題考查求算術(shù)平方根，熟記定義是關(guān)鍵.
12. 為了落實(shí)“雙減”，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，陽光學(xué)校籃球興趣小組開展投籃比賽活動(dòng)．6名選手投中籃圈的個(gè)數(shù)分別為2，3，3，4，3，5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：2，3，3，4，3，5這組數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴2，3，3，4，3，5這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，熟知眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
13. 若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)題意可以把a(bǔ)、b看做是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=4，ab=3，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a(bǔ)、b看做是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a+b=4，ab=3，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14. 中國(guó)象棋文化歷史久遠(yuǎn)．某校開展了以“縱橫之間有智意 攻防轉(zhuǎn)換有樂趣”為主題的中國(guó)象棋文化節(jié)，如圖所示是某次對(duì)弈的殘局圖，如果建立平面直角坐標(biāo)系，使“帥”位于點(diǎn)（﹣1，﹣2），“馬”位于點(diǎn)（2，﹣2），那么“兵”在同一坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是_____．
【答案】（-3，1）
【解析】
【分析】根據(jù)“帥”和“馬”的坐標(biāo)建立正確的坐標(biāo)系即可得到答案．
【詳解】解：由題意可建立如下平面直角坐標(biāo)系，
∴“兵”的坐標(biāo)是（-3，1），
故答案為：（-3，1）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)的實(shí)際應(yīng)用，正確建立坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，已知直線y＝2x與雙曲線（k為大于零的常數(shù)，且x＞0）交于點(diǎn)A，若OA=，則k的值為 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2m），根據(jù)OA的長(zhǎng)度，利用勾股定理求出m的值即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此即可求出k．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2m），
∴，
∴或（舍去），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），
∴，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，勾股定理，正確求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，若BD=CE=2，則△ABP的周長(zhǎng)為 _____．
【答案】
【解析】
【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，從而求出BF，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，證明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再證明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，從而求出AP，由此即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周長(zhǎng)，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共計(jì)72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17 先化簡(jiǎn)，再求值：﹣，其中a＝3．
【答案】，2
【解析】
【分析】先根據(jù)同分母分式的減法計(jì)算法則化簡(jiǎn)，然后代值計(jì)算即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟知同分母分式的減法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
18. ．為慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校舉行了“青年大學(xué)習(xí)，強(qiáng)國(guó)有我”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．李老師賽后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（單位：分，均為整數(shù)），按成績(jī)劃分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，并制作了如下統(tǒng)計(jì)圖表（部分信息未給出）：
（1）表中a＝ ，C等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為 ；
（2）若全校共有600名學(xué)生參加了此次競(jìng)賽，成績(jī)A等級(jí)的為優(yōu)秀，則估計(jì)該校成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生共有多少人？
（3）若A等級(jí)15名學(xué)生中有3人滿分，設(shè)這3名學(xué)生分別為T1，T2，T3，從其中隨機(jī)抽取2人參加市級(jí)決賽，請(qǐng)用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．
【答案】（1）60；108°；
（2）150 （3）樹狀圖見解析，
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)A等級(jí)的人數(shù)和人數(shù)占比求出此次抽取的學(xué)生人數(shù)，即可求出a的值；用360度乘以C等級(jí)的人數(shù)占比即可求出C等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；
（2）用600乘以樣本中A等級(jí)的人數(shù)占比即可得到答案；
（3）先畫樹狀圖得到所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，然后找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．
【小問1詳解】
解：人，
∴此次抽取的學(xué)生人數(shù)為60人，
∴，
∴C等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為，
故答案為：60；108°；
【小問2詳解】
解：人，
∴估計(jì)該校成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生共有150人，
答：估計(jì)該校成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生共有150人；
【小問3詳解】
解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中抽到T1，T2的結(jié)果數(shù)有2種，
∴恰好抽到T1，T2的概率為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，樹狀圖或列表法求解概率，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表是解題關(guān)鍵．
19. 如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．
（1）求證：DF=CF；
（2）若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先證明△DCF≌△DCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性質(zhì)證明OC=OD，即可證明DF=CF=OC=OD；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得到∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，即可證明△OCD是等邊三角形，得到CD=OD=6，然后解直角三角形BCD求出BC的長(zhǎng)即可得到答案．
【小問1詳解】
解：在△DCF和△DCO中，
，
∴△DCF≌△DCO（ASA），
∴DF=DO，CF=CO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，
∴DF=CF=OC=OD；
【小問2詳解】
解：∵△DCF≌△DCO，
∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，
又∵OD=OC，
∴△OCD是等邊三角形，
∴CD=OD=6，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20. 亞洲第一、中國(guó)唯一的航空貨運(yùn)樞紐一一鄂州花湖機(jī)場(chǎng)，于2024年3月19日完成首次全貨運(yùn)試飛，很多市民共同見證了這一歷史時(shí)刻．如圖，市民甲在C處看見飛機(jī)A的仰角為45°，同時(shí)另一市民乙在斜坡CF上的D處看見飛機(jī)A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比=1：3，鉛垂高度DG=30米（點(diǎn)E、G、C、B在同一水平線上）．求：
（1）兩位市民甲、乙之間的距離CD；
（2）此時(shí)飛機(jī)的高度AB，（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)斜坡CF的坡比=1：3，求出CG的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)即可；
（2）如圖所示，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，則四邊形BHDG是矩形，BH=DG=30米，DH=BG，證明AB=BC，設(shè)AB=BC=x米，則米，米，解直角三角形得到據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
解：∵斜坡CF的坡比=1：3，鉛垂高度DG=30米，
∴，
∴米，
∴米；
【小問2詳解】
解：如圖所示，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，則四邊形BHDG是矩形，
∴BH=DG=30米，DH=BG，
∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
設(shè)AB=BC=x米，則米，米，
在Rt△ADH中，，
∴，
解得，
∴米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確理解題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
21. 在“看圖說故事”話動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)問題情境：小明從家跑步去體育場(chǎng)，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家．小明離家的距離y（km）與他所用的時(shí)間x（min）的關(guān)系如圖所示：
（1）小明家離體育場(chǎng)的距離為 km，小明跑步的平均速度為 km/min；
（2）當(dāng)15≤x≤45時(shí)，請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)小明離家2km時(shí)，求他離開家所用的時(shí)間．
【答案】（1）2.5；；
（2）
（3）當(dāng)小明離家2km時(shí)，他離開家所用的時(shí)間為12min或37.5min
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合路程=時(shí)間×速度進(jìn)行求解即可；
（2）分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)兩種情況討論求解即可；
（3）分當(dāng)小明處在去體育館途中離家2km時(shí)，當(dāng)小明從體育館去商店途中離家2kn時(shí)兩種情況討論求解即可．
【小問1詳解】
解：由函數(shù)圖象可知小明在離家15分鐘時(shí)到底體育館，此時(shí)離家的距離為2.5km，
∴小明家離體育館的距離為2.5km，小明跑步的平均速度為，
故答案為：2.5；；
【小問2詳解】
解：由函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)y是關(guān)于x一次函數(shù)，設(shè)，
∴，
解得，
∴此時(shí)，
綜上所述，
【小問3詳解】
解：當(dāng)小明處在去體育館的途中離家2km時(shí)，
；
當(dāng)小明從體育館去商店途中離家2km時(shí)，
∴，
解得；
綜上所述，當(dāng)小明離家2km時(shí)，他離開家所用的時(shí)間為12min或37.5min．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確讀懂函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠PCB=∠OAC，過點(diǎn)O作BC的平行線交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．
【答案】（1）PC與⊙O相切，理由見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明∠ACB=90°，然后推出∠PCB=∠OCA，即可證明∠PCO=90°即可；
（2）先證明，再證明△PBC∽△PCA，從而求出，AB=3，，，最后證明△PBC∽△POD，求出，則CD=6，由此求解即可．
【小問1詳解】
解：PC與⊙O相切，理由如下：
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠OCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠PCB=∠OAC，
∴∠PCB=∠OCA，
∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC與⊙O相切；
【小問2詳解】
解：∵∠ACB=90°，，
∴，
∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴，
∴，
∴AB=6，
∴，
∴，
∵，
∴△PBC∽△POD，
∴，即，
∴，
∴CD=6，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，等邊對(duì)等角證明，解直角三角形，直徑所對(duì)的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握?qǐng)A切線的判定是解題的關(guān)鍵．
23. 某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn) F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣上的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF= ，例如，拋物線y＝x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣．其中MF=MN，F(xiàn)H=2OH=1．
（1）【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
請(qǐng)分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程： ， ．
（2）【技能訓(xùn)練】
如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）【能力提升】
如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點(diǎn)A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
（4）【拓展升華】
古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長(zhǎng)一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項(xiàng)，即滿足：＝＝．后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”把點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn)．
如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)．當(dāng)＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出△HME的面積值．
【答案】（1）（0，），，
（2），4）或（，4 ）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；
（2）先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，然后代入到拋物線解析式中求解即可；
（3）如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，證明△FDB∽△FHC，推出，則，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，從而求出，證明△AEF∽△BDF，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式中求解即可；
（4）如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過點(diǎn)M作MN⊥l于N，則MN=MF，
先證明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），則，求出，然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出，則；同理可求當(dāng)點(diǎn)E是靠近H的黃金分割點(diǎn)時(shí)△HME的面積．
【小問1詳解】
解：由題意得拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程分別為（0，），，
故答案為：（0，），，
【小問2詳解】
解：由題意得拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程為，
∵點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，
∴當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，4）或（，4 ）；
【小問3詳解】
解：如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，
由題意得點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（0，）直線l的解析式為：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，
∴，
解得（負(fù)值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），
∴，
∴，
∴，
解得（負(fù)值舍去）；
【小問4詳解】
解：如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過點(diǎn)M作MN⊥l于N，則MN=MF，
∵在Rt△MNH中，，
∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），
∴，
∴，
∴HN=2，
∵點(diǎn)E是靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)，
∴，
∴；
同理當(dāng)E時(shí)靠近H的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)，，
∴，
∴，
綜上所述，或
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，黃金分割等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA=6，斜邊OB=10，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足∠POB=45°，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，當(dāng)PA'⊥OB時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖3，若F為線段AO上一點(diǎn)，且AF=2，連接FP，將線段FP繞點(diǎn)F順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當(dāng)OG取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出OG的最小值和此時(shí)線段FP掃過的面積．
【答案】（1）（8，6）
（2）（，6）
（3）（，6）
（4）OG的最小值為4，線段FP掃過的面積為
【解析】
【分析】（1）由勾股定理即可求解；
（2）連接OP，過點(diǎn)P作PQ⊥OB于點(diǎn)Q，因?yàn)椤螾OB=45°，所以PQ=OQ，設(shè)PQ=OQ=x，則BQ=10-x，根據(jù)tanB的值，即可求得x的值，再利用勾股定理，即可求解；
（3）令PA'交OB于點(diǎn)D，由點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，可得，，利用折疊的性質(zhì)、正切函數(shù)、勾股定理，即可求解；
（4）當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，OF的長(zhǎng)為半徑畫圓，與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，再將線段FP繞點(diǎn)F順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，此時(shí)OG最小，利用三角函數(shù)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式，即可求解．
【小問1詳解】
解：在Rt△OAB中，，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6）；
【小問2詳解】
解：連接OP，過點(diǎn)P作PQ⊥OB于點(diǎn)Q，如圖，
∵∠POB=45°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠POB=∠OPQ，
∴PQ=OQ，
設(shè)PQ=OQ=x，則BQ=10-x，
在Rt△OAB中，，
在Rt△BPQ中，，
解得，
∴，
在Rt△POQ中，，
在Rt△AOP中，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）；
【小問3詳解】
解：令PA'交OB于點(diǎn)D，如圖，
∵點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，
∴，，
∵，
設(shè)，則，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)，可得，，
∴，
在Rt△中，，即，
解得，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）；
【小問4詳解】
解：以點(diǎn)F為圓心，OF的長(zhǎng)為半徑畫圓，與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，再將線段FP繞點(diǎn)F順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，此時(shí)OG最小，如圖，
由題可知，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴OG的最小值為4，
∴線段FP掃過的面積=．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、三角函數(shù)、直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式．等級(jí)
成績(jī)x/分
人數(shù)
A
90≤x≤100
15
B
80≤x＜90
a
C
70≤x＜80
18
D
x＜70
7

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