【備戰(zhàn)2025年中考】一輪復(fù)習(xí) 初中數(shù)學(xué) 真題分項(xiàng)匯編專題訓(xùn)練33 新定義型（含高中知識銜接）問題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
1. （2024四川眉山）定義運(yùn)算：，例如，則函數(shù)的最小值為（）
A. B. C. D.
2. （2024四川宜賓）如果一個(gè)數(shù)等于它的全部真因數(shù)（含單位1，不含它本身）的和，那么這個(gè)數(shù)稱為完美數(shù)．例如：6的真因數(shù)是1、2、3，且，則稱6為完美數(shù)．下列數(shù)中為完美數(shù)的是（）
A. 8B. 18C. 28D. 32
3. （2024山東威海）定義新運(yùn)算：
①在平面直角坐標(biāo)系中，表示動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著軸正方向（）或負(fù)方向（）．平移個(gè)單位長度，再沿著軸正方向（）或負(fù)方向（）平移個(gè)單位長度．例如，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著軸負(fù)方向平移個(gè)單位長度，再沿著軸正方向平移個(gè)單位長度，記作．
②加法運(yùn)算法則：，其中，，，為實(shí)數(shù)．
若，則下列結(jié)論正確的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. （2024湖南省）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，若x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為“整點(diǎn)”．特別地，當(dāng)（其中）的值為整數(shù)時(shí)，稱“整點(diǎn)”P為“超整點(diǎn)”，已知點(diǎn)在第二象限，下列說法正確的是（）
A. B. 若點(diǎn)P為“整點(diǎn)”，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3個(gè)
C. 若點(diǎn)P為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為1個(gè)D. 若點(diǎn)P為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和大于10
5. （2024四川遂寧）如圖1，與滿足，，，，我們稱這樣的兩個(gè)三角形為“偽全等三角形”如圖2，在中，，點(diǎn)在線段上，且，則圖中共有“偽全等三角形”（）
A. 1對B. 2對C. 3對D. 4對
二、填空題
1. （2024甘肅威武）定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則________．
2. （2024上海市）對于一個(gè)二次函數(shù)（）中存在一點(diǎn)，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為__________．
3. （2024山東棗莊）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)中的，分別按照“冰雹猜想”同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中，均為正整數(shù)．例如，點(diǎn)經(jīng)過第1次運(yùn)算得到點(diǎn)，經(jīng)過第2次運(yùn)算得到點(diǎn)，以此類推．則點(diǎn)經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)________．
4. （2024四川廣元）若點(diǎn)滿足，則稱點(diǎn)Q為“美好點(diǎn)”，寫出一個(gè)“美好點(diǎn)”的坐標(biāo)______．
5. （2024重慶市A）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)能寫成，其中與都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為，則稱為“方減數(shù)”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因?yàn)?，與的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字與的和為，所以是“方減數(shù)”，分解成的過程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是______．把一個(gè)“方減數(shù)”進(jìn)行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)，若除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)為______．
6. （2024四川瀘州）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)圖形先向上平移個(gè)單位，再繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的變換．如：點(diǎn)按照變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)按照變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
7. （2024重慶市B）一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)，若滿足，則稱這個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵，∴1278是“友誼數(shù)”．若是一個(gè)“友誼數(shù)”，且，則這個(gè)數(shù)為________；若是一個(gè)“友誼數(shù)”，設(shè)，且是整數(shù)，則滿足條件的的最大值是________．
8. （2024四川樂山）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．
（1）下列三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是______（填序號）；
①；②；③．
（2）若一次函數(shù)圖象上存在“近軸點(diǎn)”，則m的取值范圍為______．
三、解答題
1. （2024北京市）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對于的弦和不在直線上的點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．
（1）如圖，點(diǎn)，．
①在點(diǎn)，，中，點(diǎn)___________是弦的“可及點(diǎn)”，其中____________；
②若點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為__________；
（2）已知是直線上一點(diǎn)，且存在的弦，使得點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直接寫出的取值范圍．
2. （2024深圳）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．
（1）如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；
（2）如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說明理由；
（3）①如圖3所示，在中，，，交于點(diǎn)，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；
②若關(guān)于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點(diǎn)，連接，請直接寫出的值．
3. （2024內(nèi)蒙古赤峰）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)，滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的等和點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)，在，，中，是點(diǎn)等和點(diǎn)的有_____；
（2）若點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，求的值；
（3）已知，雙曲線和直線，滿足的取值范圍是或．若點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的等和點(diǎn)在直線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
4. （2024山東威海）定義
我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a，b的點(diǎn)A，B之間的距離．特別的，當(dāng)時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于．當(dāng)時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于．
應(yīng)用
如圖，在數(shù)軸上，動(dòng)點(diǎn)A從表示的點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)B從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．
（1）經(jīng)過多長時(shí)間，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長度？
（2）求點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值．
5. （2024四川樂山）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點(diǎn)A．
（1）若，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若線段（含端點(diǎn)）上“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；
（3）若拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．

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