一、填空題
1. （2024四川內(nèi)江）已知實數(shù)a，b滿足，那么的值為________．
【答案】1
【解析】先根據(jù)異分母的分式相加減的法則把原式化簡，再把ab=1代入進行計算即可．
∵
∴原式．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉化已知條件后整體代入求值；轉化所求問題后將條件整體代入求值；既要轉化條件，也要轉化問題，然后再代入求值．
2. （2024湖南省）如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知于點B，與水平線l相交于點O，．若分米，分米．，則點C到水平線l的距離為________分米（結果用含根號的式子表示）．
【答案】##
【解析】題目主要考查解三角形及利用三角形等面積法求解，延長交l于點H，連接，根據(jù)題意及解三角形確定，，再由等面積法即可求解，作出輔助線是解題關鍵．
【詳解】解：延長交l于點H，連接，如圖所示：
在中，，
，
即，
解得：．
故答案為：．
二、解答題
1. （2024廣西）如圖1，△ABC中，∠B=90°，AB=6．AC的垂直平分線分別交AC，AB于點M，O，CO平分∠ACB.
（1）求證：；
（2）如圖2，將繞點O逆時針旋轉得到，旋轉角為．連接，
①求面積的最大值及此時旋轉角的度數(shù)，并說明理由；
②當是直角三角形時，請直接寫出旋轉角的度數(shù)．
【答案】（1）見解析 （2）①，；②或
【解析】【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出，利用等邊對等角得出，結合角平分線定義可得出，最后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
（2）先求出，然后利用含的直角三角形性質(zhì)求出，，，利用勾股定理求出，，取中點，連接，，作于N，由旋轉的性質(zhì)知，為旋轉所得線段，則，，，根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短知，三角形三邊關系得出，故當M、O、三點共線，且點O在線段時，取最大值，最大值為，此時，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可；
②先利用三角形三邊關系判斷出，，則當為直角三角形時，只有，然后分A和重合，和C重合，兩種情況討論即可．
小問1詳解】
證明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∴，
又；
∴；
【小問2詳解】
解：①∵∠B=90°
∴，
∴，
∴，
又，
∴，，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
取中點，連接，，作于N，
由旋轉的性質(zhì)知，為旋轉所得線段，
∴，，，
根據(jù)垂線段最短知，
又，
∴當M、O、三點共線，且點O在線段時，取最大值，最大值為，
此時，
∴面積的最大值為；
②∵，，
∴，
同理
∴為直角三角形時，只有，
當A和重合時，如圖，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三點共線，
∴為直角三角形，
此時旋轉角；
當和C重合時，如圖，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三點共線，
又
∴為直角三角形，
此時旋轉角；
綜上，旋轉角的度數(shù)為或時，為直角三角形．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉的性質(zhì)等知識，明確題意，正確畫出圖形，添加輔助線，合理分類討論是解題的關鍵．
2. （2024河北省）如圖，拋物線過點，頂點為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點為P．
（1）直接寫出a的值和點Q的坐標．
（2）嘉嘉說：無論t為何值，將的頂點Q向左平移2個單位長度后一定落在上．
淇淇說：無論t為何值，總經(jīng)過一個定點．
請選擇其中一人的說法進行說理．
（3）當時，
①求直線PQ的解析式；
②作直線，當l與的交點到x軸的距離恰為6時，求l與x軸交點的橫坐標．
（4）設與的交點A，B的橫坐標分別為，且．點M在上，橫坐標為．點N在上，橫坐標為．若點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．
【答案】（1），
（2）兩人說法都正確，理由見解析
（3）①；②或
（4）
【解析】【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再化為頂點式即可得到頂點坐標；
（2）把向左平移2個單位長度得到對應點的坐標為：，再檢驗即可，再根據(jù)函數(shù)化為，可得函數(shù)過定點；
（3）①先求解的坐標，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；②如圖，當（等于6兩直線重合不符合題意），可得，可得交點，交點，再進一步求解即可；
（4）如圖，由題意可得是由通過旋轉，再平移得到的，兩個函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，可得四邊形是平行四邊形，當點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，此時與重合，與重合，再進一步利用中點坐標公式解答即可．
【小問1詳解】
解：∵拋物線過點，頂點為Q．
∴，
解得：，
∴拋物線為：，
∴；
【小問2詳解】
解：把向左平移2個單位長度得到對應點的坐標為：，
當時，
∴，
∴在上，
∴嘉嘉說法正確；
∵
，
當時，，
∴過定點；
∴淇淇說法正確；
【小問3詳解】
解：①當時，
，
∴頂點，而，
設為，
∴，
解得：，
∴為；
②如圖，當（等于6兩直線重合不符合題意），
∴，
∴交點，交點，
由直線，設直線，
∴，
解得：，
∴直線為：，
當時，，
此時直線與軸交點橫坐標為，
同理當直線過點，
直線為：，
當時，，
此時直線與軸交點的橫坐標為，
【小問4詳解】
解：如圖，∵，，
∴是由通過旋轉，再平移得到的，兩個函數(shù)圖象的形狀相同，
如圖，連接交于，連接，，，，
∴四邊形是平行四邊形，
當點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，
此時與重合，與重合，
∵，，
∴的橫坐標為，
∵，，
∴的橫坐標為，
∴，
解得：；
【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應用，二次函數(shù)的平移與旋轉，以及特殊四邊形的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．
3. （2024江蘇揚州）在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，猜想結論，然后再研究一般情況，證明結論．
如圖，已知，， 是的外接圓，點在上（），連接、、．
【特殊化感知】
（1）如圖1，若，點在延長線上，則與的數(shù)量關系為________；
【一般化探究】
（2）如圖2，若，點、在同側，判斷與的數(shù)量關系并說明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接寫出、、滿足的數(shù)量關系．（用含的式子表示）
【答案】（1）；（2）（3）當在上時，；當在上時，
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出等邊三角形，則，進而由四邊形是圓內(nèi)接四邊形，設交于點，則，設，則，分別求得，即可求解；
（2）在上截取，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得出結論；
（3）分兩種情況討論，①當在上時，在上截取，證明，，得出，作于點，得出，進而即可得出結論；②當在上時，延長至，使得，連接，證明，，同①可得，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴是等邊三角形，則
∵是的外接圓，
∴是的角平分線，則
∴
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
∴
∴
設交于點，則，
設，則
在中，
∴
∴，
∵是直徑，則，
在中，
∴
∴
（2）如圖所示，在上截取，
∵
∴
∴是等邊三角形，
∴，則
∴
∵四邊形圓內(nèi)接四邊形，
∴
∴；
∵，，
∴是等邊三角形，則
∴，
又∵
∴
在中
∴
∴，
∴
即；
（3）解：①如圖所示，當在上時，
在上截取，
∵
∴
又∵
∴，則
∴即
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
如圖所示，作于點，
在中，，
∴
∴
∴，即
②當在上時，如圖所示，延長至，使得，連接，
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
∴
又∵
∴，則
∴即，
又∵
∴
∴
∴，
∵
同①可得
∴
∴
綜上所述，當在上時，；當在上時，．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定理，同弧所對的圓周角相等，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握截長補短的輔助線方法是解題的關鍵．
3. （2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學問題進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設計了以下三個問題，請你解決．
（1）如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為______；
（2）如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關于點B成中心對稱．
①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；
②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；
（3）為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架．現(xiàn)在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結果保留根號）．
【答案】（1）
（2）①此人騰空后的最大高度是米，解析式為；②此人騰空飛出后的落點D在安全范圍內(nèi)，理由見解析
（3）這條鋼架的長度為米
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點坐標為，且過點，設水滑道所在拋物線的解析式為，將代入，計算求出a的值即可；
（2）①根據(jù)題意可設人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，由拋物線的頂點為，即可得出結果；②由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，令，求出的值，即點的坐標，即可得出結論；
（3）根據(jù)題意可得點的縱坐標為4，令中，求出符合實際的x值，得到點M的坐標，求出所在直線的解析式為，設這條鋼架為，與交于點G，與地面交于H，根據(jù)這條鋼架與平行，設該鋼架所在直線的解析式為，由該鋼架與水滑道有唯一公共點，聯(lián)立，根據(jù)方程組有唯一解，求出，即該鋼架所在直線的解析式為，點H與點O重合，根據(jù)，，，利用勾股定理即可求解．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意得到水滑道所在拋物線的頂點坐標為，且過點，
設水滑道所在拋物線的解析式為，
將代入，得：，即，
，
水滑道所在拋物線的解析式為；
【小問2詳解】
解：①人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關于點B成中心對稱，
則設人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，
人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點坐標與拋物線的頂點坐標關于點成中心對稱，
，
人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點坐標為，即，
∴此人騰空后的最大高度是米，人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：；
由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，
令，則，即
或（舍去，不符合題意），
點，
，
，
，
此人騰空飛出后的落點D在安全范圍內(nèi)；
【小問3詳解】
解：根據(jù)題意可得點的縱坐標為4，
令，即，
（舍去，不符合題意）或，
，
設所在直線的解析式為，
將代入得：，
解得：，
所在直線的解析式為，
如圖，設這條鋼架為，與交于點G，與地面交于H，
這條鋼架與平行，
設該鋼架所在直線的解析式為，
聯(lián)立，即，
整理得：，
該鋼架與水滑道有唯一公共點，
，
即該鋼架所在直線的解析式為，
點H與點O重合，
，，，
，
這條鋼架的長度為米．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，其中涉及點的坐標的求法，二次函數(shù)的實際應用，一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題，勾股定理，借助二次函數(shù)解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學建模思想．
4. （2024重慶市A）在中，，點是邊上一點（點不與端點重合）．點關于直線的對稱點為點，連接．在直線上取一點，使，直線與直線交于點．

（1）如圖1，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖1，若，用等式表示線段與之間的數(shù)量關系，并證明；
（3）如圖2，若，點從點移動到點的過程中，連接，當為等腰三角形時，請直接寫出此時的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理及外角定理結合即可求解；
（2）在上截取，連接，交于點H，連接，先證明，再證明四邊形是平行四邊形，可得，記與的交點為點N，則由軸對稱可知：，，再解即可；
（3）連接，記與的交點為點N，由軸對稱知，，，，當點G在邊上時，由于，當為等腰三角形時，只能是，同（1）方法得，，中，，解得，然后，解直角三角形，表示出，，即可求解；當點G在延長線上時，只能是， 設，在中，，解得，設，解直角三角形求出，即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖，

∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：，
在上截取，連接，交于點H，

∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點關于直線的對稱點為點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
記與的交點為點N，
則由軸對稱可知：，，
∴中，，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：連接，記與的交點為點N，

∵，
∴，
由軸對稱知，
當點G在邊上時，由于，
∴當為等腰三角形時，只能是，
同（1）方法得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴中，，解得，
∴，而，
∴為等邊三角形，
∴，
設，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
當點G在延長線上時，只能是，如圖：

設，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴在中，，
解得，
∴，
設，則，，
在中，，由勾股定理求得，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
綜上所述：或．
【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，外角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的分類討論，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．
5. （2024四川德陽）已知的半徑為5，是上兩定點，點是上一動點，且的平分線交于點．
（1）證明：點為上一定點；
（2）過點作的平行線交的延長線于點．
①判斷與的位置關系，并說明理由；
②若為銳角三角形，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）①與相切，理由見解析；②的取值范圍為．
【解析】【分析】（1）由的平分線交于點，，可得，結合是上兩定點，可得結論；
（2）①如圖，連接，證明，結合，可得，從而可得結論；
②分情況討論：如圖，當時，可得；如圖，連接，當，可得，從而可得答案．
【小問1詳解】
證明：∵的平分線交于點，，
∴，
∴，
∵是上兩定點，
∴點為的中點，是一定點；
【小問2詳解】
解：①如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵為半徑，
∴是的切線；
②如圖，當時，
∴為直徑，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴；
如圖，連接，當，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當為銳角三角形，的取值范圍為．
【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，圓周角定理的應用，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，做出合適的輔助線，清晰的分類討論是解本題的關鍵．

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