重難點(diǎn)10圓錐曲線綜合（定點(diǎn)定值最值范圍存在性問(wèn)題）-【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全程規(guī)劃（上海地區(qū)專用）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

考法1：定點(diǎn)、定值問(wèn)題
考法2：最值、范圍問(wèn)題
考法3：存在性問(wèn)題
二、命題規(guī)律與備考策略
圓錐曲線綜合是高考必考的解答題，難度較大．考查圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查定值、定直線、面積最值、存在性與恒成立等問(wèn)題．考查運(yùn)算求解能力、邏輯推導(dǎo)能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．
三、題型方法
考法1：定點(diǎn)、定值問(wèn)題
1.求解直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的基本思路
（1）把直線或曲線方程中的變量x ,y 當(dāng)作常數(shù)看待,把方程一端化為零，既然是過(guò)定點(diǎn),那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立,這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x ,y 的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn).
（2）由直線方程確定其過(guò)定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)?y0=k(x?x0) ，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0,y0) ;若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)=kx+m ，則直線必過(guò)定點(diǎn)(0,m) .
（3）從特殊情況入手，先探究定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).
2.求解定值問(wèn)題的常用方法
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.
一．解答題（共10小題）
1．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（1）設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，是橢圓與雙曲線的公共點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為6，求橢圓的方程；
（2）如圖，已知“盾圓” 的方程為設(shè)“盾圓” 上的任意一點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值．
【分析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，結(jié)合橢圓定義和條件列方程求，，可得橢圓方程；
（2）根據(jù)“盾圓” 的方程，分別討論當(dāng)和時(shí)的表達(dá)式，進(jìn)而即可求解．
【解答】解：（1）不妨設(shè)橢圓的半焦距為，
因?yàn)椤鞯闹荛L(zhǎng)為6，
所以，①
因?yàn)闄E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，
所以，②
聯(lián)立①②，
解得，
則，
故橢圓的方程為；
（2）證明：不妨設(shè)“盾圓” 上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
當(dāng)時(shí)，，，
即；
當(dāng)時(shí)，，，
即．
所以為定值．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
2．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線．是平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，垂足為，且滿足．
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）記點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)作直線，與曲線交于、兩點(diǎn)，求證：為定值．
【分析】（1）設(shè)則，又，再根據(jù)，即可求解；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可證明．
【解答】解：（1）設(shè)則，又，
，，，，
又，
，
，
點(diǎn)的軌跡方程為；
（2）證明：根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，
設(shè)，，，，
聯(lián)立，可得，
，，
．
故為定值．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求解，拋物線的幾何性質(zhì)，屬中檔題．
3．（2023春?上海期中）焦距為的橢圓滿足、、成等差數(shù)列，稱為“等差橢圓”．
（1）求的離心率；
（2）過(guò)作直線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求此直線的斜率的值；
（3）設(shè)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上異于點(diǎn)的任一點(diǎn)，為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也異于，直線、分別與軸交于、兩點(diǎn)，判斷以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？說(shuō)明理由．
【分析】（1）通過(guò)且，求解離心率即可．
（2）設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，通過(guò)△，結(jié)合離心率即可求解．
（3）設(shè)，．直線的斜率，直線的方程，求出的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，設(shè)，通過(guò)，推出．說(shuō)明無(wú)論、取何值，當(dāng)時(shí)，總有，得到結(jié)果．
【解答】解：（1）由題意，且，所以代入可得．
即，解得舍去）．
（2）顯然，斜率存在，設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立代入化簡(jiǎn)得①
方程①的△，
令△，化簡(jiǎn)得，所以．
由（1）的結(jié)論可知，．
（3）設(shè)，．
直線的斜率，直線的方程，
令，解得，即．
直線的斜率，直線的方程，
令，解得，即．
設(shè)，則，，，代入化簡(jiǎn)得②．
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．
于是方程②化為．
無(wú)論、取何值，當(dāng)時(shí)總有，所以，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
4．（2023秋?楊浦區(qū)期末）已知雙曲線，是雙曲線上一點(diǎn)．
（1）若橢圓以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)是第一象限中雙曲線漸近線上一點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，且，求的面積為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（3）當(dāng)直線（常數(shù)與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)時(shí)，分別記直線、的斜率為、，求證：為定值．
【分析】（1）先確定雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由此求解出的值，結(jié)合的值可求，，則橢圓方程可求；
（2）先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線可求，坐標(biāo)，計(jì)算出以及到的距離則可求；
（3）設(shè)出，坐標(biāo)，聯(lián)立直線與雙曲線得到對(duì)應(yīng)韋達(dá)定理形式，然后將表示為坐標(biāo)形式，結(jié)合韋達(dá)定理完成證明．
【解答】解：（1）因?yàn)殡p曲線的方程為，所以雙曲線的左右頂點(diǎn)為，
設(shè)橢圓方程為，所以，，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，
不妨設(shè)，，
又，所以，
所以，又因?yàn)槭请p曲線上一點(diǎn)，
所以，解得，
所以，，
所以，
又到直線的距離，
所以；
（3）設(shè)，，，，
聯(lián)立直線與雙曲線方程得，消去得，
△，即，
所以，，
又因?yàn)?，為左支上兩點(diǎn)，所以，所以，
所
，
所以，
所以，
所以，
所以為定值0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了聯(lián)立直線與雙曲線方程求解綜合問(wèn)題，考查了方程思想及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題．
5．（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與圓內(nèi)切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（2）設(shè)軌跡與軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)，，點(diǎn)為軌跡上異于，的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)交直線于點(diǎn)，連結(jié)交軌跡于點(diǎn)．直線、的斜率分別為、．
求證：為定值；
證明直線經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)定點(diǎn)和圓心的位置關(guān)系，利用兩圓內(nèi)切即可得出半徑之和等于圓心距，再根據(jù)橢圓定義即可求得軌跡的方程；（2）易知，即為橢圓的左右頂點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)，坐標(biāo)，利用共線時(shí)斜率相等即可得出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得出；根據(jù)中的結(jié)論，寫出直線的方程，將表達(dá)式化簡(jiǎn)即可得出直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意得圓的圓心為，半徑；
所以，，
則．
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
因此軌跡方程為．
（2）證明：設(shè)，，，，．
由題可知，，如下圖所示：
則，，
而，于是，
所以，
又，則，
因此為定值．
設(shè)直線的方程為，，，，．
由，得，
所以．
由可知，，即，
化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），
所以直線的方程為，
因此直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的綜合，考查圓錐曲線中的定值定點(diǎn)問(wèn)題，解決定值或定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到設(shè)而不求的方法，即首先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)或直線方程，再根據(jù)題目條件尋找等量關(guān)系即可實(shí)現(xiàn)整體代換求得定值或定點(diǎn)，屬于難題．
6．（2023春?青浦區(qū)期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．
（1）若為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，求雙曲線的方程；
（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在第一象限，且在上，若，求直線的方程；
（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、分別與相交于點(diǎn)、．試探究：以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．
【分析】由拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線．
（1）由為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，可得，解得，即可得出雙曲線的離心率．
（2）與軸的交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)點(diǎn)在上，，可得，，解得，，進(jìn)而得出直線的方程．
（3）設(shè)，，，，直線的方程為：，，與拋物線方程聯(lián)立化為：，可得根與系數(shù)的關(guān)系，直線的方程為：，可得坐標(biāo)，直線的方程為：，可得坐標(biāo)，可得線段的中點(diǎn)，進(jìn)而得出以線段為直徑的圓方程，即可判斷出結(jié)論．
【解答】解：由拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線．
（1）為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，
，解得，
故，
故雙曲線的方程為；
（2）與軸的交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，，
點(diǎn)在上，，
，，解得，，
，
直線的方程為：，化為：．
（3）設(shè)，，，，
直線的方程為：，，
聯(lián)立，化為：，
，，
直線的方程為：，可得，
直線的方程為：，可得，
線段的中點(diǎn)，
，
．
其半徑．
以線段為直徑的圓方程為：，化為，
令，則，或1．
以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線相交問(wèn)題、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
7．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）曲線，第一象限內(nèi)點(diǎn)在上，的縱坐標(biāo)為．
（1）若到準(zhǔn)線距離為3，求；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為上異于的兩點(diǎn)，且直線與斜率乘積為4．證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
（3）直線，令是第一象限上異于的一點(diǎn)，直線交于，是在上的投影，若點(diǎn)滿足“對(duì)于任意都有”，求的取值范圍．
【分析】（1）代入求出，利用拋物線定義即可求出值；
（2）由題設(shè)求得，設(shè)，討論斜率，根據(jù)，得，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線并整理得，聯(lián)立兩式確定定點(diǎn)，即可證；
（3）設(shè)，寫出直線的方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，由，分和討論即可．
【解答】解：（1）令，解得，即，而拋物線的準(zhǔn)線方程為，
根據(jù)拋物線的定義有，解得，
因?yàn)闉榈谝幌笙薜狞c(diǎn)，所以；
（2）證明：由題意，，即，
若，所以，同理有，
所以，即①，
若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，
所以，整理得②，
聯(lián)立①②可得，
令，
所以直線恒過(guò)；
若直線斜率不存在時(shí)，
此時(shí)，直線也過(guò)，
綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．
（3）設(shè)，又，
所以，則直線方程為，
化簡(jiǎn)得，
令，得，即，又，
所以，
即對(duì)任意的，，恒成立．
則，結(jié)合，得，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，不等式成立．
綜上，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，第三問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線的方程，得到，再轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，分類討論求解，屬難題．
8．（2023?徐匯區(qū)二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的上方），與軸交于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為橢圓上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)，求△的周長(zhǎng)；
（2）當(dāng)且直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，求證：為定值，并求出該值；
（3）若橢圓的離心率為，當(dāng)為何值時(shí)，恒為定值；并求此時(shí)面積的最大值．
【分析】（1）△的周長(zhǎng)為，計(jì)算得到答案．
（2）確定橢圓和直線方程，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)向量的關(guān)系得到，代入化簡(jiǎn)得到答案．
（3）根據(jù)離心率得到橢圓方程，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)和為定值得到，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)面積公式結(jié)合均值不等式計(jì)算得到最值．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，橢圓，△的周長(zhǎng)為；
（2）證明：當(dāng)且直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，橢圓，直線斜率存在，，
聯(lián)立，消去得：，△恒成立，
設(shè)，，，，則，
由，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，
考慮向量橫坐標(biāo)得到，，
從而
，所以為定值3；
（3），解得，故橢圓方程，聯(lián)立，
消元得，△，即，
設(shè)，，，，則，，
則
，
當(dāng)為定值時(shí)，即與無(wú)關(guān)，故，得，
此時(shí)，
又點(diǎn)到直線的距離，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)△成立，所以面積的最大值為1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓方程，定值問(wèn)題，面積的最值的問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，此方法是考試的?？挤椒?，需要熟練掌握．
9．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知平面曲線滿足：它上面任意一定到的距離比到直線的距離小1．
（1）求曲線的方程；
（2）為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
（3）在（2）的條件下，以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求四邊形的面積．
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可求得方程，或設(shè)曲線上的點(diǎn)為，然后根據(jù)題意列方程化簡(jiǎn)可得答案；
（2）設(shè)，，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可求得切線的斜率，從而可求出切線方程，則可得直線方程，進(jìn)而可求得直線過(guò)的定點(diǎn)；
（3）思路一：利用公共邊，結(jié)合韋達(dá)定理求面積，設(shè)的中點(diǎn)為，，，，，由，結(jié)合拋物線的方程可得或，從而可求出四邊形的面積；思路二：利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合面積公式求面積，設(shè)，由拋物線的定義可表示出，求出直線的方程，再分別求出點(diǎn)，到直線的距離，從而可求出四邊形的面積；思路三：結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)求面積，在圖5中，可得，再由三角形全等可得點(diǎn)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)，于點(diǎn)，可證得為的中點(diǎn)，從而可求出四邊形的面積；思路四：結(jié)合弦長(zhǎng)公式和向量的運(yùn)算求面積，將直線方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)后利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可表示出，再表示出點(diǎn)，到直線的距離，從而可表示出四邊形的面積，由列方程可求出的值，從而可求出的面積．
【解答】解：（1）思路一：由題意知，曲線是一個(gè)以為焦點(diǎn)，以的拋物線，
故的方程為：．
思路二：設(shè)曲線上的點(diǎn)為，則，
由題意易知，，整理得，．
（2）證明：設(shè)，則．
又因?yàn)?，所以．則切線的斜率為，
故，整理得．
設(shè)，，同理得．
，，，都滿足直線方程．
于是直線過(guò)點(diǎn)，，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，
所以直線方程為，即，
當(dāng)，時(shí)等式恒成立．
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．
（3）思路一：利用公共邊，結(jié)合韋達(dá)定理求面積
設(shè)的中點(diǎn)為，，，，，則，．
由，得，
將代入上式并整理得，
因?yàn)?，所以或?br>由（1）知，所以軸，
則
設(shè)．
當(dāng)時(shí)，，即，；
當(dāng)時(shí)，，
即．
綜上，四邊形的面積為3或．
思路二：利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合面積公式求面積
設(shè)，由（1）知拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．
由拋物線的定義，得．
線段的中點(diǎn)為．
當(dāng)時(shí)，，軸，，
；
當(dāng)時(shí)，，由，得，即．
所以，直線的方程為．
根據(jù)對(duì)稱性考慮點(diǎn)和直線的方程即可．
到直線的距離為，
到直線的距離為．
所以．
綜上，四邊形的面積為3或．
思路三：結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)求面積
圖5中，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)易得，又，所以．
因?yàn)椋?，所以△?br>所以，，．
同理，所以，即點(diǎn)為中點(diǎn)．
圖6中已去掉坐標(biāo)系和拋物線，并延長(zhǎng)，于點(diǎn)．
因?yàn)椋?，所以?br>又因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，
故為平行四邊形，從而，．
因?yàn)榍遥詾榈闹悬c(diǎn)，
從而．
．
當(dāng)直線平行于準(zhǔn)線時(shí)，易得．
綜上，四邊形的面積為3或．
思路四：結(jié)合弦長(zhǎng)公式和向量的運(yùn)算求面積
由（1）得直線的方程為．
由，可得，
于是
設(shè)，分別為點(diǎn)，到直線的距離，則．
因此，四邊形的面積．
設(shè)為線段的中點(diǎn)，則，
由于，而與向量平行，所以，解得或．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)
因此，四邊形的面積為3或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線的軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線問(wèn)題，考查拋物線中的面積問(wèn)題，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是利用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，從而可表示出切線方程，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題．
10．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)期中）17世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)了多種圓錐曲線規(guī)，其中的一種如圖1所示．四根等長(zhǎng)的桿用鉸鏈?zhǔn)孜叉溄樱瑯?gòu)成菱形．帶槽桿長(zhǎng)為，點(diǎn)，間的距離為2，轉(zhuǎn)動(dòng)桿一周的過(guò)程中始終有．點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且．
（1）建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．記直線，的斜率為，，證明：為定值；
（3）過(guò)點(diǎn)作直線垂直于直線，在上任取一點(diǎn)，對(duì)于（2）中的，兩點(diǎn)，試證明：直線，，的斜率成等差數(shù)列．
【分析】（1）根據(jù)已知可得，即可得出軌跡為橢圓．根據(jù)已知求出，，，即可得出答案；
（2）（?。┊?dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)．聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出坐標(biāo)關(guān)系，表示出，，整理化簡(jiǎn)，即可得出；（ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性也可求出，即可得出證明；
（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，．當(dāng)直線斜率存在時(shí)，表示出，，根據(jù)韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理可得；（ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求出，的坐標(biāo)，即可得出答案．
【解答】解：（1）由已知可得，，
又，
所以點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓．
設(shè)橢圓的方程為，
則，所以，
，，，
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）證明：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，如圖1，
設(shè)，
聯(lián)立直線與橢圓方程，
可得，顯然△，
設(shè)，，，，
則，
所以
．
由已知可得，，則，，
所以，
即為定值；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線垂直于軸，如圖2，
顯然，可得，即．
綜上所述，為定值．
（3）由已知的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則．
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，如圖3，
有，，
，
此時(shí)有；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，
代入橢圓方程可得，
不妨設(shè)，，
則，
也有．
綜上所述，，
根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知，直線，，的斜率成等差數(shù)列．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合，數(shù)列與解析幾何的綜合，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于難題．
考法2：最值、范圍問(wèn)題
圓錐曲線中最值與范圍的求解方法
一．解答題（共10小題）
1．（2023?楊浦區(qū)校級(jí)三模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)．
（1）若直線垂直于軸，求線段的長(zhǎng)；
（2）若直線與軸不重合，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值；
（3）若橢圓上存在點(diǎn)使得，且的重心在軸上，求此時(shí)直線的方程．
【分析】（1）根據(jù)直線垂直軸，可得，坐標(biāo)，進(jìn)而可求線段長(zhǎng)度；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得根與系數(shù)關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)三角形面積求表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)最值進(jìn)行求面積最大值；（3）聯(lián)立直線和橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得根與系數(shù)關(guān)系，以及重心坐標(biāo)公式，即可求解．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?，得，所以，所以?br>（2）設(shè)直線，，，，，不妨設(shè)，，
由，得，
△，，，
，
，
令，則，，
記，可得在，上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即面積的最大值為；
（3）①當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線，，，，，中點(diǎn)為．
由，得，
，，
因?yàn)榈闹匦脑谳S上，所以，
所以，
又，，
因?yàn)椋裕?br>故直線，
所以，
從而，，
代入得，
所以，，
或．
②當(dāng)直線與軸重合時(shí)，點(diǎn)位于橢圓的上、下頂點(diǎn)顯然滿足條件，此時(shí)．
綜上，直線的方程為，或或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一直線與橢圓的綜合應(yīng)用，也考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
2．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線和曲線有公共點(diǎn)，直線與曲線的左支相交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．
（1）若曲線和有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，求曲線的離心率和漸近線方程．
（2）若，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程．
（3）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，且直線經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)，求證：．
【分析】（1）根據(jù)曲線和有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得曲線和的兩公共點(diǎn)為左右頂點(diǎn)，從而可求出，再根據(jù)雙曲線的離心率公式即可得解；
（2）設(shè)，，，，將曲線的方程與直線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式運(yùn)算求解；
（3）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得，同理可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）因?yàn)榍€和有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，
所以曲線和的兩公共點(diǎn)為左右頂點(diǎn)，
此時(shí)，曲線的半焦距，
所以曲線的離心率，漸近線方程為；
（2）若，此時(shí)曲線，直線，
不妨設(shè)，，，，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時(shí)，
由韋達(dá)定理得，
解得，
因?yàn)椋?br>所以，
解得或（舍去），
則，
故直線的方程；
（3）證明：聯(lián)立，消去并整理得，
此時(shí)，
由韋達(dá)定理得，
解得，
所以，
此時(shí)，
則，
聯(lián)立，
同理得，
因?yàn)椋?br>所以，
又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
3．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，的最小值；
（3）為曲線上一點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)大于4．過(guò)作圓的兩條切線，分別交軸于點(diǎn)、，求三角形面積的取值范圍．
【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息以及拋物線的定義進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)出，，，的坐標(biāo)以及直線，的方程，將直線，的方程與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及拋物線的定義再進(jìn)行求解即可；
（3）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線，的方程，推出直線，的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理和三角形面積公式再進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）因?yàn)橐粍?dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切，
所以該動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)與到直線的距離相等，
因?yàn)辄c(diǎn)不在直線上，
由拋物線的定義可知該動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線的方程為；
（2）不妨設(shè)，，，，，，，，
已知直線，的斜率存在且不為0，
不妨直線，的斜率分別為，，且，
此時(shí)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時(shí)△，
由韋達(dá)定理得，
同理得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則的最小值為16；
（3）不妨設(shè)，，
因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，
所以且，
易知直線，的斜率存在且不為0，
不妨設(shè)直線的方程為，
令，可得，
不妨設(shè)直線的方程為，
令，可得，
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以，
即，
因?yàn)橹本€與圓相切，
同理得，
所以，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理得，，，
則
，
因?yàn)椋?br>所以，
易得當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為32，
故三角形面積的取值范圍為，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
4．（2023秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）如圖，曲線由兩個(gè)橢圓和橢圓組成，當(dāng)橢圓，的離心率相等時(shí)，稱曲線為“貓眼曲線”
（1）求橢圓的方程；
（2）任作斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為，直線、直線的斜率分別為、，試問(wèn)：是否為與無(wú)關(guān)的定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點(diǎn)，，為橢圓上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），求面積的最大值．
【分析】（1）由題意，根據(jù)兩橢圓的離心率相等，列出等式求出的值，進(jìn)而可得橢圓的的方程；
（2）利用點(diǎn)差法以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求導(dǎo)即可；
（3）根據(jù)直線與圓相切，利用根的判別式為零求出切線方程，結(jié)合三角換元以及點(diǎn)到直線的距離公式和三角形面積公式進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）已知橢圓，
此時(shí)橢圓離心率，
因?yàn)闄E圓，的離心率相等，
所以橢圓的離心率，
解得，
則橢圓的方程為；
（2）不妨設(shè)斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，，，，線段中點(diǎn)為，，
可得，，
因?yàn)?，在橢圓上，
所以，
整理得，
因?yàn)榇嬖谇遥?br>所以，，
此時(shí)，
即，
同理得，
所以，
則是與無(wú)關(guān)的定值；
（3）不妨設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
因?yàn)樾甭蕿榈闹本€為橢圓的切線，
所以△，
解得，
不妨設(shè)直線，
聯(lián)立，消去并整理得，
不妨設(shè)，，，，
由韋達(dá)定理得，，
所以，
不妨設(shè)，
此時(shí)點(diǎn)到直線的距離，其中，，
所以，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
5．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，，，分別為的左、右頂點(diǎn)．
（1）若，且橢圓的焦距為2，求的準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是和的一個(gè)共同焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的一條直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，，若直線的斜率為1，求的值；
（3）設(shè)直線，直線分別與直線交于，兩點(diǎn)，與的面積分別為，，若的最小值為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）由題意，根據(jù)焦距和求出橢圓方程和，從而得到，求出準(zhǔn)線方程；
（2）先得到，和直線方程，分別聯(lián)立后，得到相應(yīng)的弦長(zhǎng)，從而分兩向量方向相同和相反求出答案；
（3）由三點(diǎn)共線得到和，從而表達(dá)出，，得到，換元后得到，結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)求出最小值，得到方程，求出，進(jìn)一步求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓的焦距為2，
所以，
解得，
則，
解得，
則橢圓，
因?yàn)?，在第一象限，?br>所以，
所以，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，
解得，
則的準(zhǔn)線方程為；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)是和的一個(gè)共同焦點(diǎn)，
所以，
解得，，
則，，
此時(shí)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
設(shè)，，，，
由韋達(dá)定理得，，
所以，
聯(lián)立，消去并整理得，
設(shè)，，，，
由韋達(dá)定理得，，
所以，
若方向相同，
此時(shí)，
若方向相反，
此時(shí)，
故；
（3）因?yàn)?，，，三點(diǎn)共線，
所以，
解得，
同理，由，，，三點(diǎn)共線，
可得，
此時(shí)
，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又，
則，
因?yàn)椋?br>令，
此時(shí)，
所以，
其中，
因?yàn)椋?br>所以的開口向下，對(duì)稱軸為，
其中，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，
最大值為，
則的最小值為，
令，
解得，負(fù)值舍去，
所以，
解得，
此時(shí)，
又，
所以，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
6．（2023秋?嘉定區(qū)期末）拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，．過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，再過(guò)點(diǎn)作直線，使得，直線和拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為．
（1）當(dāng)時(shí)，求切線的直線方程；
（2）當(dāng)直線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)在軸上時(shí)，求三角形的面積（點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（3）求出線段關(guān)于的表達(dá)式，并求的最小值．
【分析】（1）利用求導(dǎo)解決點(diǎn)在拋物線上的切線問(wèn)題；
（2）利用第一問(wèn)的計(jì)算結(jié)果，得到直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出，，計(jì)算面積即可；
（3）利用求導(dǎo)得到直線的方程，從而得到直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立得到的表達(dá)式，再根據(jù)求導(dǎo)研究表達(dá)式的增減性，從而得到的最小值．
【解答】解：（1）因?yàn)?，所以點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，
，所以切線的斜率為，
所以的直線方程為，
將代入，則的直線方程為．
（2）設(shè)，，將代入方程，得，
而直線的方程為，
將代入，則直線的方程為，
與聯(lián)立，可得，
由韋達(dá)定理得，而，
所以，
所以三角形的面積．
（3）設(shè)，，，
與拋物線方程聯(lián)立，得，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)?，?br>所以，
對(duì)于，，
因?yàn)?，；，；，?br>所以，
，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．
7．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）已知橢圓，，為左右焦點(diǎn)，直線過(guò)左焦點(diǎn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，記，，，，．
（1）若橢圓的離心率為，三角形的周長(zhǎng)為6，求橢圓的方程；
（2）求證：；
（3）直線與橢圓交于另一點(diǎn)，，若，求的最大值．
【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義和離心率的定義建立方程組，解之即可求解；
（2）由題意可得直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，，代入式子，化簡(jiǎn)計(jì)算即可證明；
（3）由題意可得直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，進(jìn)而可得表達(dá)式，寫出的表達(dá)式，同理可得的表達(dá)式，由可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解．
【解答】解：（1）由橢圓的定義知，，
由題意知，，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，故直線的斜率一定存在，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立方程組得，消去得，，
由韋達(dá)定理有，，，
所以
．
即．
（3）由題意知，，所以，所以橢圓的方程為，
則，，
得直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去得，，
由韋達(dá)定理得，，所以，
則，
同理，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的綜合，考查了計(jì)算能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．
8．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知半圓與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，半橢圓的上焦點(diǎn)為，并且是面積為的等邊三角形，將由、構(gòu)成的曲線，記為“”．
（1）求實(shí)數(shù)、的值；
（2）直線與曲線交于、兩點(diǎn)，在曲線上再取兩點(diǎn)、、分別在直線兩側(cè)），使得這四個(gè)點(diǎn)形成的四邊形的面積最大，求此最大面積；
（3）設(shè)點(diǎn)，，是曲線上任意一點(diǎn)，求的最小值．
【分析】（1）根據(jù)等邊的面積公式列方程求出，再計(jì)算；
（2）分別求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，計(jì)算，求出點(diǎn)、到直線的最大距離，計(jì)算四邊形的面積最大值；
（3）討論的取值范圍，寫出的表達(dá)式，從而求出的解析式．
【解答】解：（1）如圖1所示，
由等邊的面積為，所以，
解得，所以，
又，解得，即；
（2）如圖2所示，
設(shè)點(diǎn)在半圓上，且在第三象限內(nèi)，在半橢圓上，且在第一象限內(nèi)，
由，解得，，
由，解得，；
所以；
設(shè)在半圓上，且在第二象限，，到直線的距離為，
，
，到直線的最大距離為1，
所以四邊形的面積最大值為
；
（3）如圖3所示，
顯然時(shí)，，
時(shí)，；
當(dāng)在曲線內(nèi)部時(shí)，曲線上一點(diǎn)滿足取得最小值，
設(shè)，其中，，
則；
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
綜上知，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓錐曲線方程的綜合應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力與思維能力，是難題．
9．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為上的一點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，，求△的面積；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且直線與交于不同的兩點(diǎn)、，求證：為定值，并求出該定值；
（3）如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作圓（其中為定值，且的兩條切線，分別交于點(diǎn)，，直線，的斜率分別記為，如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時(shí)圓的方程．
【分析】（1）將點(diǎn)，代入求出，再求出左、右焦點(diǎn)即可求解．
（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．
（3）設(shè)出直線，直線，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得、是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，根據(jù)題意為定值，可得，設(shè)，，，，將直線，直線與橢圓聯(lián)立，求出，即求．
【解答】解：（1）由已知條件可得，因?yàn)椋裕?br>又，的坐標(biāo)分別為，，，，
因此△的面積為；
（2）證明：設(shè)，，，，
由可得，
△，且，，
又，，
所以，，
，
即有為定值；
（3）因?yàn)橹本€與相切，則，即，
同理，由直線與相切，可得，
于是、是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，
注意到，且，故，
因?yàn)槎ㄖ担什环猎O(shè)（定值），
于是有，即．
依題意可知，變化，而、均為定值，即有，解得，
設(shè)，，，，
由得，
同理，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因此，解得，所以的范圍為，
當(dāng)或時(shí)，直線，關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，此時(shí)圓心為橢圓頂點(diǎn)，所以圓的方程為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓中的定值和圓錐曲線的綜合，屬于難題．
10．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）曲線，第一象限內(nèi)點(diǎn)在上，的縱坐標(biāo)為．
（1）若到準(zhǔn)線距離為3，求；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為上異于的兩點(diǎn)，且直線與斜率乘積為4．證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
（3）直線，令是第一象限上異于的一點(diǎn)，直線交于，是在上的投影，若點(diǎn)滿足“對(duì)于任意都有”，求的取值范圍．
【分析】（1）代入求出，利用拋物線定義即可求出值；
（2）由題設(shè)求得，設(shè)，討論斜率，根據(jù)，得，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線并整理得，聯(lián)立兩式確定定點(diǎn)，即可證；
（3）設(shè)，寫出直線的方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，由，分和討論即可．
【解答】解：（1）令，解得，即，而拋物線的準(zhǔn)線方程為，
根據(jù)拋物線的定義有，解得，
因?yàn)闉榈谝幌笙薜狞c(diǎn)，所以；
（2）證明：由題意，，即，
若，所以，同理有，
所以，即①，
若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，
所以，整理得②，
聯(lián)立①②可得，
令，
所以直線恒過(guò)；
若直線斜率不存在時(shí)，
此時(shí)，直線也過(guò)，
綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．
（3）設(shè)，又，
所以，則直線方程為，
化簡(jiǎn)得，
令，得，即，又，
所以，
即對(duì)任意的，，恒成立．
則，結(jié)合，得，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，不等式成立．
綜上，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，第三問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線的方程，得到，再轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，分類討論求解，屬難題．
考法3：存在性問(wèn)題
此類問(wèn)題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立,再驗(yàn)證結(jié)論是否成立,成立則存在，否則不存在;若探究結(jié)論,則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論,往往涉及對(duì)參數(shù)的討論.
一．解答題（共12小題）
1．（2023秋?黃浦區(qū)期中）設(shè)為實(shí)數(shù)，是以點(diǎn)為頂點(diǎn)，以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，是以點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓位于軸右側(cè)且在直線下方的部分．
（1）求與的方程；
（2）若直線被所截得的線段的中點(diǎn)在上，求的值；
（3）是否存在，滿足：在的上方，且有兩條不同的切線被所截得的線段長(zhǎng)相等？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）設(shè)的方程為，又，進(jìn)而可得，的方程．
（2）設(shè)直線與的交點(diǎn)為，，，，線段的中點(diǎn)為，，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，，把點(diǎn)代入方程，解得，即可得出答案．
（3）設(shè)為上任意一點(diǎn)，則，點(diǎn)在的上方等價(jià)于，即對(duì)于恒成立，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：（1）設(shè)的方程為，又，
所以，
所以的方程為，
因?yàn)槭且渣c(diǎn)為圓心、半徑為1的圓，
所以的方程為．
（2）設(shè)直線與的交點(diǎn)為，，，，線段的中點(diǎn)為，，
由，可得，
所以，，
由點(diǎn)在上，可知且，
解得．
（3）設(shè)為上任意一點(diǎn)，則，
點(diǎn)在的上方等價(jià)于，即對(duì)于恒成立，
令，由，可得，
所以的最大值為，
所以，
設(shè)直線與相切，被截得的線段長(zhǎng)為，
則，，且，
可得，
又由，可得，
設(shè)它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，
則，
設(shè)，則，，，
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，存在，使得在與，上，
分別小于0和大于0，
所以分別嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減，
所以在上必存在兩個(gè)不同的值，對(duì)應(yīng)的相等，
即存在兩個(gè)不同的正數(shù)，使得對(duì)應(yīng)的值相等，
所以存在滿足題中條件，且的取值范圍為，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓，拋物線的方程，直線與拋物線的相交問(wèn)題，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
2．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓，，為左、右焦點(diǎn)，直線過(guò)交橢圓于、兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（2）若，求直線的方程；
（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由題意的方程可得，的值，進(jìn)而求出的值，可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率的值；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)在橢圓上，可得的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，再由數(shù)量積，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程；
（3）設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，求出△的面積的表達(dá)式，設(shè)直線的方程，令，可得的縱坐標(biāo)，同理可得的縱坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，進(jìn)而求出△的面積的表達(dá)式，由題意可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出直線的方程．
【解答】解：（1）由橢圓方程可知：，，，
所以，，
所以橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，離心率；
（2）由，設(shè)，，則，
即
所以，，，即，
可得，即，，
所以或或或，
所以直線的方程為或或，
即或或；
（3）假設(shè)存在直線，由題意可知直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，
聯(lián)立，整理可得：，
可得，，
，
設(shè)直線的方程為，令，可得，
即，
同理可得，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
即，可得，解得，
即，所以直線的方程為，
即存在這樣的直線，且直線的方程為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，三角形面積的求法，屬于中檔題．
3．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知雙曲線，直線交雙曲線于，兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線的虛軸長(zhǎng)與離心率；
（2）若過(guò)原點(diǎn)，為雙曲線上異于，的一點(diǎn)，且直線、的斜率、均存在，求證：為定值：
（3）若過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無(wú)論怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)：若不存在．請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由題意，根據(jù)所給雙曲線方程，結(jié)合虛軸長(zhǎng)和離心率公式再進(jìn)行求解即可；
（2）由直線的斜率公式和點(diǎn)滿足雙曲線的方程，化簡(jiǎn)整理可得證明；
（3）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，通過(guò)，聯(lián)立直線與雙曲線方程推出，利用判別式以及韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：（1）已知雙曲線，
所以雙曲線的虛軸長(zhǎng)，離心率；
（2）證明：易知，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
不妨設(shè)，，
此時(shí)，
不妨設(shè)，
可得，
即，
所以為定值；
（3）雙曲線的右焦點(diǎn)為，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，
不妨設(shè)直線的方程為：，，，，，
因?yàn)椋?br>所以，
此時(shí)，，
整理得，①
聯(lián)立，消去并整理得，
因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
此時(shí)△且，
解得．
因?yàn)棰偈綄?duì)任意的總成立，
由韋達(dá)定理得，，
此時(shí)，
整理得對(duì)任意的總成立，
所以，，
解得，
即所求的定點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，
此時(shí)的方程為，，或，，
易得．
綜上，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
4．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別交曲線于，兩點(diǎn)，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；
（3）若曲線交軸正半軸于點(diǎn)，直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別交軸于，兩點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)骄浚狠S上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由題意，設(shè)，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓中，化簡(jiǎn)求得曲線的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，將直線，的方程與曲線的方程聯(lián)立，求得，的坐標(biāo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此可得直線過(guò)定點(diǎn)并求得定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)使得，先求得，設(shè)出，的坐標(biāo)，利用直線和直線的方程求得，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合在曲線上求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）不妨設(shè)，，，
此時(shí)，，，
因?yàn)椋?br>所以，
此時(shí)，，，
即
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，
所以，
則，
故曲線的方程為；
（2）證明：易知直線，與坐標(biāo)軸不平行，
不妨設(shè)直線的方程為，
此時(shí)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
解得或（舍去），
所以，
此時(shí)，
同理得，
當(dāng)時(shí)，直線的斜率存在，
此時(shí)，
所以直線的方程為，
易知直線過(guò)定點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，
此時(shí)直線的方程為，
則直線過(guò)定點(diǎn)，
綜上，直線過(guò)定點(diǎn)；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得，
不妨設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，
此時(shí)，
即，
所以，
因?yàn)橹本€與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，
易知、關(guān)于軸對(duì)稱，
不妨設(shè)，，，，，
易知，
所以直線方程為，
令，
解得，
而直線方程為，
令，
解得，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，
所以，
解得，
故存在點(diǎn)，使得．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理、分類討論和運(yùn)算能力．
5．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)開學(xué)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)軸正半軸上點(diǎn)的直線交于不同的兩點(diǎn)和．
（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若，求證：原點(diǎn)總在以線段為直徑的圓的內(nèi)部；
（3）若，且直線，與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，問(wèn)：的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（三角形面積公式：在中，設(shè)，，則的面積為．
【分析】（1）由題意，設(shè)，，根據(jù)拋物線方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線，結(jié)合拋物線的定義得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入拋物線方程中即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)，，，，若，設(shè)出直線的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得證；
（3）不妨設(shè)，，若，可得，此時(shí)，，推出直線的斜率，結(jié)合直線與直線平行，設(shè)直線的方程為，將直線的方程代入拋物線方程中，結(jié)合根的判別式得到，設(shè)，，得到其橫、縱坐標(biāo)的表達(dá)式，代入三角形面積公式中，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，
不妨設(shè)，，
若，
所以，
此時(shí)，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，或；
（2）證明：不妨設(shè)，，，，
若，
不妨設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
由韋達(dá)定理得，，
此時(shí)，
所以為鈍角，
則原點(diǎn)總在以線段為直徑的圓的內(nèi)部；
（3）不妨設(shè)，，
此時(shí)，
若，
此時(shí)，
又，
所以，
則，，
可得直線的斜率，
因?yàn)橹本€與直線平行，
不妨設(shè)直線的方程為，
將該直線方程代入拋物線方程中，
可得，
易知△，
解得，
不妨設(shè)，，
此時(shí)，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)，
解得或（舍去），
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的面積存在最小值，最小值為2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)和直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
6．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知雙曲線的焦距為4，虛軸長(zhǎng)為2，左右焦點(diǎn)分別為和．直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、．
（1）求雙曲線的方程及其離心率；
（2）如果直線過(guò)點(diǎn)且，求直線的方程；
（3）是否存在直線使得，兩點(diǎn)都在以為圓心的圓上？如果存在，求的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用焦距和虛軸長(zhǎng)直接求出，，從而求出雙曲線方程；
（2）聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式即可求出直線的斜率，從而求出直線方程；
（3）把、兩點(diǎn)都在以為圓心的圓上轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)與的直線與直線垂直，分類討論，當(dāng)時(shí)，可取不等于0的一切實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由題意得，，，所以，，所以，
所以雙曲線的方程為，離心率；
（2）設(shè)，設(shè)，，，，
聯(lián)立，
整理可得：，
則，，
所以，
可得，則或，
解得：或，所以直線方程或或；
（3）當(dāng)時(shí)，可取不等于0的一切實(shí)數(shù)，
設(shè)，，，，
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程，整理可得：，
則，，，
所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為：，
即，，
所以，即，
化簡(jiǎn)得，代入△得：，解得或，
又，所以，所以，或，即，，，
綜上，當(dāng)時(shí)，可取不等于0的一切實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程的求法及雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
7．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率2，直線交雙曲線于、兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若過(guò)原點(diǎn)，為雙曲線上異于、的一點(diǎn)，且直線、的斜率、均存在，求證：為定值；
（3）若過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無(wú)論怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由雙曲線的離心率公式和點(diǎn)滿足雙曲線的方程，聯(lián)立方程組，即可求解；
（2）設(shè)，，，，，，由點(diǎn)差法和直線的斜率公式，即可證明；
（3）假設(shè)存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無(wú)論怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立．設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合定值思想解方程可得所求定點(diǎn)．
【解答】解：（1）由題意可得，解得，，，
則雙曲線的方程為；
（2）證明：若過(guò)原點(diǎn)，設(shè)，，，，，，
則，，
上面兩式相減可得，
即有；
（3）雙曲線的右焦點(diǎn)，
假設(shè)存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無(wú)論怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立．
可設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，可得，
設(shè)，，，，則，，
由，，，，，，
可得，
即，
即，
即為，
可令，且，解得，
所以存在，且的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．
8．（2024?上海）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng)；
（2）設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記△的面積為，△的面積為，若，求的取值范圍．
（3）若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由題意，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中再結(jié)合公式進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積公式以及題目所給信息，列出等式再進(jìn)行求解即可；
（3）設(shè)出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的運(yùn)算以及題目所給信息求出，設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及點(diǎn)在直線上，即可求出滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
不妨設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，
所以，
解得，
易知，
所以；
（2）不妨設(shè)，，
此時(shí)，
因?yàn)椋?br>所以，
即，
又，
所以，
解得，
則，
故的范圍為；
（3）不妨設(shè)，，，，，
由對(duì)稱性可得、關(guān)于軸對(duì)稱，
所以，，
又，，
此時(shí)，
所以，
同理得，
因?yàn)椋?br>所以，
解得或（無(wú)解），
不妨設(shè)直線，
聯(lián)立，消去并整理得，
由韋達(dá)定理得，
解得，
此時(shí)，
又，
解得，
此時(shí)．
故存在軸上方的點(diǎn)，使得成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
9．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知曲線的方程是，其中，，直線的方程是．
（1）請(qǐng)根據(jù)的不同取值，判斷曲線是何種圓錐曲線；
（2）若直線交曲線于兩點(diǎn)，，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求的值；
（3）若，試問(wèn)曲線上是否存在不同的兩點(diǎn)，，使得，關(guān)于直線對(duì)稱，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）由題意，對(duì)曲線的方程進(jìn)行變化，得到即，考慮到和這兩種情況，進(jìn)而即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)，，，，將兩點(diǎn)代入曲線方程中，相減得到，進(jìn)而確定的中點(diǎn)，代入直線方程，進(jìn)而即可得到答案；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)，，，，中點(diǎn)為，，將點(diǎn)代入方程曲線方程，利用點(diǎn)差法得到，結(jié)合點(diǎn)在直線上得到中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線方程，再聯(lián)立得到方程，因?yàn)榉匠虩o(wú)解，進(jìn)而可得假設(shè)不成立．
【解答】解：（1）已知曲線的方程為，
即，
當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；
（2）不妨設(shè)點(diǎn)，，，，，
則，，
兩式相減得，
整理得，
即，
故的中點(diǎn)為，
代入直線得，
解得或，
因?yàn)?，?br>所以；
（3）假設(shè)曲線上存在不同的兩點(diǎn)，，使得，關(guān)于直線對(duì)稱，
此時(shí)直線方程為，雙曲線方程為，
不妨設(shè)點(diǎn)，，，，中點(diǎn)為，，
則，，
兩式相減得，
即，，
又，
解得，，
此時(shí)直線方程為，
即，
聯(lián)立，
化簡(jiǎn)得，
該方程無(wú)解，故不存在曲線上存在不同的兩點(diǎn)，，使得，關(guān)于直線對(duì)稱．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程的應(yīng)用，考查邏輯推理與計(jì)算能力，屬于綜合題．
10．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓的焦距為，離心率為，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，直角坐標(biāo)原點(diǎn)記為．設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為銳角的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）設(shè)線段的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，判別橢圓上是否存在點(diǎn)，使得非零向量與向量平行，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由題意計(jì)算出和的值即可得解；
（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，結(jié)合與點(diǎn)坐標(biāo)范圍計(jì)算即可得；
（3）設(shè)出直線方程后與橢圓方程聯(lián)立得一元二次方程，由直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)可得該方程△，并由方程中的韋達(dá)定理表示出直線斜率，假設(shè)存在該點(diǎn)，則有，借此設(shè)出直線方程，則該直線與橢圓必有交點(diǎn)，即聯(lián)立后有△，結(jié)合前面所得可計(jì)算出的范圍．
【解答】解：（1）橢圓的焦距為，離心率為，
，，可得，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，，
，
，，的取值范圍為；
（3）顯然直線的斜率存在，故可設(shè)直線，
聯(lián)立，消去得，
△，即①，
設(shè)，、，，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，
則，，
則，
故，
若，則有，
設(shè)直線為，
聯(lián)立，消去有，
要使得存在點(diǎn)，則，
整理得，
故②，
由①②式得，，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)，使得．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．
11．（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）平面上，直線和相交于點(diǎn)，它們的夾角為．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線與的距離之積為定值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．我們以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線與夾角的平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖．
（1）求曲線的方程；
（2）當(dāng)，時(shí)，直線與曲線順次交于、、、四點(diǎn)，求證：；
（3）當(dāng)，時(shí)，是否存在直線與曲線只有、、三個(gè)不同公共點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)于，的等式化簡(jiǎn)即可求得；
（2）根據(jù)題意求得曲線的方程，直線與曲線聯(lián)立方程組，消掉一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，即可得證；
（3）根據(jù)題意求得曲線的方程，討論直線斜率與雙曲線漸近線方程斜率的關(guān)系即可求解．
【解答】解：（1）由題意，直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，
根據(jù)題意，可得，整理得，
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）當(dāng)，時(shí)，可得曲線的方程為，
即或，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則△，，
聯(lián)立方程組，整理得，
則△，，
可得，即與的中點(diǎn)重合，所以；
當(dāng)直線不存在時(shí)，顯然線段與的中點(diǎn)重合，所以，
綜上可得，當(dāng)直線與曲線順次交于、、、四點(diǎn)，則成立．
（3）當(dāng)，時(shí)，可得，，
所以曲線的方程為，即，
即曲線的方程為或，
所以雙曲線的漸近線為：．
1、當(dāng)直線的斜率時(shí)，由題意可知，此時(shí)直線與相切于點(diǎn)，于相交于點(diǎn)，，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
故，，，，可得，，
因?yàn)?，可得，即?br>可得，
可得，
整理可得：，即，此時(shí)方程無(wú)解，
2、當(dāng)直線的斜率時(shí)，由題意可知，此時(shí)直線與相切于點(diǎn)，于相交于點(diǎn)，．
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則△，整理得①，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)，，，可得，，
因?yàn)椋傻?，即?br>可得，
可得，整理可得：，即②，
由①②可知，此方程無(wú)解，
3、當(dāng)時(shí)，直線與漸近線平行，此時(shí)直線與曲線有且最多只有兩個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意，
綜上所述：直線方程不存在．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐曲線與直線的綜合，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．
12．（2023春?上海月考）把右半個(gè)橢圓和圓弧合成的封閉曲線稱為“曲圓”，“曲圓”與軸的左、右交點(diǎn)依次記為、，與軸的上、下交點(diǎn)依次記為、，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與“曲圓”交于、兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，求△的周長(zhǎng)；
（2）當(dāng)、兩點(diǎn)都在半橢圓時(shí)，是否存在以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，求△的面積的最大值．
【分析】（1）由焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)求解即可；
（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線的方程聯(lián)立方程組，由判斷可知不存在；
（3）分類討論由求△面積的最大值即可．
【解答】解：（1）圓弧的左頂點(diǎn)，
剛好是半橢圓的左焦點(diǎn)，
則點(diǎn)與重合時(shí)，△的周長(zhǎng)為；
（2）假設(shè)存在直線，
、兩點(diǎn)都在半橢圓上，或，
．
聯(lián)立，得，
設(shè)，、，，則△恒成立．
，．
以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，即，
即，
可得，
即，解得．
不存在直線，滿足題意．
（3）①由（2）知，當(dāng)、兩點(diǎn)都在半橢圓時(shí)，
設(shè)直線的方程為，當(dāng)在第一象限時(shí)，．
且，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)脮r(shí)等號(hào)成立，即△的面積為；
②當(dāng)、兩點(diǎn)分別在半橢圓與圓弧上時(shí)，當(dāng)與重合時(shí)取得最大值，
此時(shí)，．
綜上，△的面積的最大值為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查圓與橢圓、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬難題．
幾何法
若題目的條件和結(jié)論明顯能體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決.
代數(shù)法
若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù),則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.

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