目錄
TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc32070" 二級結(jié)論背記01 集合 PAGEREF _Tc32070 \h 3
\l "_Tc27759" 1. 德摩根公式 PAGEREF _Tc27759 \h 3
\l "_Tc26149" 2. 容斥定理之集合中元素個(gè)數(shù) PAGEREF _Tc26149 \h 3
\l "_Tc26844" 二級結(jié)論背記02 復(fù)數(shù) PAGEREF _Tc26844 \h 4
\l "_Tc224" 1. 復(fù)數(shù)的模 PAGEREF _Tc224 \h 4
\l "_Tc18766" 二級結(jié)論背記03 平面向量 PAGEREF _Tc18766 \h 4
\l "_Tc11207" 1. 爪子定理 PAGEREF _Tc11207 \h 4
\l "_Tc18817" 2. 爪平面向量的系數(shù)和（等和線）（等值線） PAGEREF _Tc18817 \h 4
\l "_Tc30610" 3. 極化恒等式 PAGEREF _Tc30610 \h 5
\l "_Tc5013" 4. 奔馳定理 PAGEREF _Tc5013 \h 6
\l "_Tc22811" （1）奔馳定理的證明 PAGEREF _Tc22811 \h 6
\l "_Tc22346" （2）奔馳定理的推論及四心問題 PAGEREF _Tc22346 \h 7
\l "_Tc24109" 二級結(jié)論背記04 不等式與基本不等式 PAGEREF _Tc24109 \h 8
\l "_Tc15393" 1. 基本不等式鏈 PAGEREF _Tc15393 \h 8
\l "_Tc9630" 2. 權(quán)方和不等式的二維形式 PAGEREF _Tc9630 \h 8
\l "_Tc3468" 3. 糖水不等式定理 PAGEREF _Tc3468 \h 8
\l "_Tc7490" 4. 糖水不等式的倒數(shù)形式: PAGEREF _Tc7490 \h 8
\l "_Tc14737" 5. 對數(shù)型糖水不等式 PAGEREF _Tc14737 \h 8
\l "_Tc23680" 二級結(jié)論背記05 三角函數(shù)與三角恒等變換 PAGEREF _Tc23680 \h 9
\l "_Tc15756" 1. 常見三角不等式 PAGEREF _Tc15756 \h 9
\l "_Tc26770" 2. 半角公式 PAGEREF _Tc26770 \h 9
\l "_Tc14833" 3. 萬能公式 PAGEREF _Tc14833 \h 9
\l "_Tc22451" 4. 和差化積與積化和差公式 PAGEREF _Tc22451 \h 9
\l "_Tc27970" 二級結(jié)論背記06 解三角形 PAGEREF _Tc27970 \h 10
\l "_Tc12998" 1. 常見三角恒等式 PAGEREF _Tc12998 \h 10
\l "_Tc6038" 2. 常見平面幾何結(jié)論 PAGEREF _Tc6038 \h 10
\l "_Tc12610" 3. 三角形中常見不等式 PAGEREF _Tc12610 \h 10
\l "_Tc4956" 4. 內(nèi)切圓半徑 PAGEREF _Tc4956 \h 10
\l "_Tc2400" 5. 海倫-秦九韶公式 PAGEREF _Tc2400 \h 10
\l "_Tc5448" 6. 海倫-秦九韶公式推廣 PAGEREF _Tc5448 \h 11
\l "_Tc7908" 7. 三倍角公式 PAGEREF _Tc7908 \h 11
\l "_Tc21638" 8. 射影定理 PAGEREF _Tc21638 \h 11
\l "_Tc27890" 9. 角平分線定理 PAGEREF _Tc27890 \h 11
\l "_Tc9639" 10. 張角定理 PAGEREF _Tc9639 \h 11
\l "_Tc11217" 11. 倍角定理 PAGEREF _Tc11217 \h 11
\l "_Tc9705" 12. 中線長定理 PAGEREF _Tc9705 \h 12
\l "_Tc31117" 13. 三角恒等式 PAGEREF _Tc31117 \h 12
\l "_Tc16839" 二級結(jié)論背記07 函數(shù)的基本性質(zhì) PAGEREF _Tc16839 \h 13
\l "_Tc17620" 1. 周期性（差為常數(shù)有周期） PAGEREF _Tc17620 \h 13
\l "_Tc30961" 2. 對稱性（和為常數(shù)有對稱軸） PAGEREF _Tc30961 \h 13
\l "_Tc29565" （1）軸對稱 PAGEREF _Tc29565 \h 13
\l "_Tc4894" （2）點(diǎn)對稱 PAGEREF _Tc4894 \h 13
\l "_Tc19105" 3. 周期性對稱性綜合問題 PAGEREF _Tc19105 \h 13
\l "_Tc21588" 4. 奇偶性對稱性綜合問題 PAGEREF _Tc21588 \h 14
\l "_Tc3123" 5. 與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù) PAGEREF _Tc3123 \h 14
\l "_Tc29856" 6. 與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù) PAGEREF _Tc29856 \h 14
\l "_Tc7786" 7. 奇函數(shù)+常函數(shù) PAGEREF _Tc7786 \h 14
\l "_Tc32336" 二級結(jié)論背記08 導(dǎo)數(shù) PAGEREF _Tc32336 \h 14
\l "_Tc29571" 1. 幾個(gè)常用極限 PAGEREF _Tc29571 \h 14
\l "_Tc3880" 2. 兩個(gè)重要的極限 PAGEREF _Tc3880 \h 15
\l "_Tc23725" 3. 函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則 PAGEREF _Tc23725 \h 15
\l "_Tc7220" 4. 常用的近似計(jì)算公式 PAGEREF _Tc7220 \h 15
\l "_Tc2320" 5. 二階導(dǎo)的定義 PAGEREF _Tc2320 \h 15
\l "_Tc5402" 6. 函數(shù)極值的第二判定定理 PAGEREF _Tc5402 \h 15
\l "_Tc14928" 7. 曲線的凹凸性 PAGEREF _Tc14928 \h 16
\l "_Tc27425" 8. 曲線的拐點(diǎn) PAGEREF _Tc27425 \h 16
\l "_Tc16900" 9. 利用曲線的切線進(jìn)行放縮證明不等式 PAGEREF _Tc16900 \h 17
\l "_Tc24902" 10. 利用曲線的相切曲線進(jìn)行放縮證明不等式 PAGEREF _Tc24902 \h 17
\l "_Tc14319" 11. 恒成立問題常見類型 PAGEREF _Tc14319 \h 18
\l "_Tc30226" 12. 能成立（有解）問題常見類型 PAGEREF _Tc30226 \h 18
\l "_Tc5892" 13. 端點(diǎn)效應(yīng)的類型 PAGEREF _Tc5892 \h 19
\l "_Tc32016" 14. 洛必達(dá)法則： PAGEREF _Tc32016 \h 19
\l "_Tc8053" 15. 常見的指對放縮 PAGEREF _Tc8053 \h 19
\l "_Tc27930" 16. 常見的三角函數(shù)放縮 PAGEREF _Tc27930 \h 19
\l "_Tc3683" 17. 其他放縮 PAGEREF _Tc3683 \h 19
\l "_Tc20942" 18. 放縮程度綜合 PAGEREF _Tc20942 \h 20
\l "_Tc32745" 19. 常見函數(shù)的泰勒展開式 PAGEREF _Tc32745 \h 21
\l "_Tc493" 20. 常見函數(shù)的泰勒展開式的結(jié)論 PAGEREF _Tc493 \h 21
\l "_Tc13973" 21. 極值點(diǎn)偏移的含義 PAGEREF _Tc13973 \h 22
\l "_Tc2418" 22. 極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式 PAGEREF _Tc2418 \h 22
\l "_Tc7051" 23. 極值點(diǎn)偏移的判定定理 PAGEREF _Tc7051 \h 23
\l "_Tc28066" 24. 對數(shù)平均不等式 PAGEREF _Tc28066 \h 24
\l "_Tc9447" 25. 拉格朗日（Lagrange）中值定理 PAGEREF _Tc9447 \h 25
\l "_Tc25193" 二級結(jié)論背記09 數(shù)列 PAGEREF _Tc25193 \h 26
\l "_Tc31776" 1. 等差數(shù)列任意前n項(xiàng)和的關(guān)系 PAGEREF _Tc31776 \h 26
\l "_Tc951" 2. 等比數(shù)列任意前n項(xiàng)和的關(guān)系 PAGEREF _Tc951 \h 26
\l "_Tc19566" 3. 數(shù)列不動點(diǎn) PAGEREF _Tc19566 \h 26
\l "_Tc31427" 4. 錯(cuò)位相減---萬能公式求和 PAGEREF _Tc31427 \h 27
\l "_Tc8586" 5. 通項(xiàng)公式的構(gòu)造 PAGEREF _Tc8586 \h 27
\l "_Tc30294" 二級結(jié)論背記10 立體幾何 PAGEREF _Tc30294 \h 27
\l "_Tc16701" 1. 內(nèi)切球體積 PAGEREF _Tc16701 \h 27
\l "_Tc22163" 2. 三垂線法求二面角 PAGEREF _Tc22163 \h 28
\l "_Tc32411" 3. 垂面法求二面角 PAGEREF _Tc32411 \h 28
\l "_Tc12246" 4. 射影面積法求二面角 PAGEREF _Tc12246 \h 28
\l "_Tc15323" 5. 三余弦定理 PAGEREF _Tc15323 \h 28
\l "_Tc9625" 6. 三射線定理 PAGEREF _Tc9625 \h 28
\l "_Tc14379" 7. 空間兩點(diǎn)間的距離公式 PAGEREF _Tc14379 \h 29
\l "_Tc25989" 8. 點(diǎn)到直線距離 PAGEREF _Tc25989 \h 29
\l "_Tc28917" 9. 異面直線間的距離 PAGEREF _Tc28917 \h 29
\l "_Tc3102" 10. 點(diǎn)到平面的距離 PAGEREF _Tc3102 \h 29
\l "_Tc23144" 11. 異面直線上兩點(diǎn)距離公式 PAGEREF _Tc23144 \h 29
\l "_Tc18341" 12. 歐拉定理(歐拉公式) PAGEREF _Tc18341 \h 29
\l "_Tc4431" 13. 球的組合體 PAGEREF _Tc4431 \h 30
\l "_Tc29472" 二級結(jié)論背記11 解析幾何（直線與圓+圓錐曲線） PAGEREF _Tc29472 \h 30
\l "_Tc30830" 1. 點(diǎn)關(guān)于線對稱的一般性結(jié)論 PAGEREF _Tc30830 \h 30
\l "_Tc29364" 2. 直徑端點(diǎn)圓的方程 PAGEREF _Tc29364 \h 30
\l "_Tc1536" 3. 解析幾何中的切線方程 PAGEREF _Tc1536 \h 30
\l "_Tc9135" 4. 解析結(jié)合中的切點(diǎn)弦方程 PAGEREF _Tc9135 \h 30
\l "_Tc27160" 5. 相切的條件 PAGEREF _Tc27160 \h 31
\l "_Tc1521" 6. 斜率關(guān)系 PAGEREF _Tc1521 \h 31
\l "_Tc15583" 7. 常見不等式 PAGEREF _Tc15583 \h 31
\l "_Tc12695" 8. 橢球體積 PAGEREF _Tc12695 \h 31
\l "_Tc7189" 9. 縱坐標(biāo)之和 PAGEREF _Tc7189 \h 31
\l "_Tc795" 10. 漸近線圍成的四邊形面積 PAGEREF _Tc795 \h 31
\l "_Tc6457" 11. 帕斯卡定理 PAGEREF _Tc6457 \h 31
\l "_Tc31039" 12. 斜率定值 PAGEREF _Tc31039 \h 32
\l "_Tc9790" 13. 橢圓和雙曲線的結(jié)論匯總 PAGEREF _Tc9790 \h 32
\l "_Tc23420" 14. 補(bǔ)充結(jié)論1 PAGEREF _Tc23420 \h 34
\l "_Tc23749" 15. 拋物線的結(jié)論 PAGEREF _Tc23749 \h 35
\l "_Tc13521" 16. 補(bǔ)充結(jié)論2 PAGEREF _Tc13521 \h 36
\l "_Tc7206" 二級結(jié)論背記12排列組合、二項(xiàng)式定理、概率統(tǒng)計(jì) PAGEREF _Tc7206 \h 37
\l "_Tc20006" 1. 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) PAGEREF _Tc20006 \h 37
\l "_Tc7385" 2. 二項(xiàng)式系數(shù)和 PAGEREF _Tc7385 \h 37
\l "_Tc27803" 3. 單條件排列 PAGEREF _Tc27803 \h 37
\l "_Tc19443" 4. 分配問題 PAGEREF _Tc19443 \h 38
\l "_Tc31613" 5. “錯(cuò)位問題”及其推廣 PAGEREF _Tc31613 \h 38
\l "_Tc6109" 6. 不定方程的解的個(gè)數(shù) PAGEREF _Tc6109 \h 39
\l "_Tc18102" 7. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) PAGEREF _Tc18102 \h 39
\l "_Tc24429" 8. 方差的性質(zhì) PAGEREF _Tc24429 \h 39
\l "_Tc20981" 9. 方差與期望的關(guān)系 PAGEREF _Tc20981 \h 39
\l "_Tc32513" 10. 正態(tài)分布密度函數(shù) PAGEREF _Tc32513 \h 39
二級結(jié)論背記01 集合
德摩根公式
容斥定理之集合中元素個(gè)數(shù)
二級結(jié)論背記02 復(fù)數(shù)
復(fù)數(shù)的模
已知，且，
則，
二級結(jié)論背記03 平面向量
爪子定理
形如“爪”字型圖及性質(zhì)：
（1）已知為不共線的兩個(gè)向量，則對于向量，必存在，使得。則三點(diǎn)共線
當(dāng)，則與位于同側(cè)，且位于與之間
當(dāng)，則與位于兩側(cè)
時(shí)，當(dāng)，則在線段上；當(dāng)，則在線段延長線上
（2）已知在線段上，且，則
爪平面向量的系數(shù)和（等和線）（等值線）
如圖，為所在平面上一點(diǎn)，過作直線，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根據(jù)點(diǎn)的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若時(shí)，則射線與無交點(diǎn)，由知，存在實(shí)數(shù)，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若時(shí)，
（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過作，交射線于兩點(diǎn)，則
，不妨設(shè)與的相似比為
由三點(diǎn)共線可知：存在使得：
所以
（ii）當(dāng)在左側(cè)時(shí)，射線的反向延長線與有交點(diǎn)，如圖1作關(guān)于的對稱點(diǎn)，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時(shí)，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。
我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因?yàn)槿切蔚母呔€相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設(shè)點(diǎn)在上的射影為，直線交直線于點(diǎn)，則 (的符號由點(diǎn)的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍
極化恒等式
恒等式右邊有很直觀的幾何意義:
向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，
恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系
如圖在平行四邊形 中,
則
在上述圖形中設(shè)平行四邊形 對角線交于 點(diǎn), 則對于三角形來說:
奔馳定理
如圖，已知P為內(nèi)一點(diǎn)，則有.
由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.
（1）奔馳定理的證明
如圖：延長與邊相交于點(diǎn)
則
（2）奔馳定理的推論及四心問題
推論是內(nèi)的一點(diǎn),且,則
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線與對邊垂直.
（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.
（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.
已知點(diǎn)在內(nèi)部，有以下四個(gè)推論：
①若為的重心，則；
②若為的外心，則；或
③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.
④若為的垂心，則，或
二級結(jié)論背記04 不等式與基本不等式
基本不等式鏈
拓展. m>n時(shí)，
權(quán)方和不等式的二維形式
若 則 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等.
(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)
糖水不等式定理
若 , 則一定有
通俗的理解: 就是 克的不飽和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,則糖水更甜;
糖水不等式的倒數(shù)形式:
設(shè) , 則有:
對數(shù)型糖水不等式
（1） 設(shè) , 且 , 則有
（2）設(shè) , 則有
（3）上式的倒數(shù)形式：設(shè) , 則有
二級結(jié)論背記05 三角函數(shù)與三角恒等變換
常見三角不等式
（1）若，則.
（2）若，則.
（3）.
半角公式
(1)sin eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2)).
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2)).
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
以上稱之為半角公式，符號由eq \f(α,2)所在象限決定．
萬能公式
和差化積與積化和差公式
二級結(jié)論背記06 解三角形
常見三角恒等式
在任意內(nèi)，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
推論：在內(nèi)，若tanA+tanB+tanC

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