結(jié)論一1.子集、交集、并集、補集之間的一個關(guān)系式:A?B?A∩B=A?A∪B=B?A∩?IB=??IA∪B=I,其中I為全集.(1)當A=B時,顯然成立.(2)當A?B時,Venn圖如圖1所示,結(jié)論正確.圖12.子集個數(shù)的問題:若一個集合A含有n(n∈N*)個元素,則集合A的子集有2n個,非空子集有2n-1個,真子集有2n-1個,非空真子集有2n-2個.理解:A的子集有2n個,從每個元素的取舍來理解,例如每個元素都有兩種選擇,則n個元素共有2n種選擇,該結(jié)論需要掌握并會靈活應用.結(jié)論二交、并、補(且、或、非)之間的關(guān)系在集合中的表達形式:?I(A∩B)=(?IA)∪(?IB),?I(A∪B)=(?IA)∩(?IB).結(jié)論三奇函數(shù)的最值性質(zhì):已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù),則對任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特別地,若奇函數(shù)f(x)在定義域Df上有最值,則f(x)max+f(x)min=0,且若0∈Df,則f(0)=0.證明:因為f(x)為奇函數(shù),所以?x∈D,-x∈D,且f(-x)=-f(x),即f(x)+f(-x)=0.若0∈Df,令x=0,則有f(0)+f(-0)=0,即f(0)=0.若奇函數(shù)f(x)在Df上有最值,設(shè)f(x)max=f(x0),則f(x0)≥f(x)(x∈D),所以f(-x0)=-f(x0)≤-f(x)(-x∈D),即f(x)min=f(-x0).由f(x0)+f(-x0)=0,得f(x)max+f(x)min=0.結(jié)論四函數(shù)周期性問題:已知定義在R上的函數(shù)f(x),若對任意的x∈R,總存在非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x),則稱f(x)是周期函數(shù),T為一個周期.除周期函數(shù)的定義外,還有一些常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=6a.證明:(1),(2),(3)略.(4)若f(x)=f(x+a)+f(x-a),①則f(x+a)=f(x+2a)+f(x),②①+②得,f(x)+f(x+a)=f(x+a)+f(x-a)+f(x+2a)+f(x),即f(x-a)+f(x+2a)=0,f(x+2a)=-f(x-a),所以f(x+6a)=f[(x+4a)+2a]=-f[(x+4a)-a]=-f(x+3a)=-f[(x+a)+2a]=f[(x+a)-a]=f(x).故f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=6a.結(jié)論五復合函數(shù)單調(diào)性:已知函數(shù)y=f[g(x)]是定義在D上的函數(shù),若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同,則y=f[g(x)]在D上單調(diào)遞增;若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反,則y=f[g(x)]在D上單調(diào)遞減,即“同增異減”.特別地,若f(x)是定義在D上的單調(diào)函數(shù),且方程f[f(x)]=x在D上有解為x0,則f(x0)=x0.結(jié)論六1.二次函數(shù)解析式的三種表達式:f(x)(a≠0)=2.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì):(1)當a>0時,f(x)在(-∞,-]上單調(diào)遞減,在[-,+∞)上單調(diào)遞增,且在x=-處取得最小值f(-)=,無最大值.(2)當a<0時,f(x)在(-∞,-]上單調(diào)遞增,在[-,+∞)上單調(diào)遞減,且在x=-處取得最大值f(-)=,無最小值.(3)對稱軸為x=-,若f(x1)=f(x2),則x1+x2=-.(4)拋物線y=f(x)與y軸的交點為(0,c).結(jié)論七“切線”不等式:(1)對數(shù)形式:ln(x+1)≤x(x>-1),當且僅當x=0時,取等號.(2)指數(shù)形式:ex≥x+1(x∈R),當且僅當x=0時,取等號.證明:(1)令f(x)=ln(x+1)-x(x>-1),則f′(x)=-1=.令f′(x)=0,解得x=0,故f′(x),f(x)隨x的變化如表所示,x(-1,0)0(0,+∞)f′(x)+0-f(x)↗極大值↘所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且當x=0時,f(x)有最大值為0,即?x>-1,ln(x+1)-x≤f(0)=0,所以ln(x+1)≤x(x>-1)恒成立,當且僅當x=0時,取等號.(2)令g(x)=ex-x-1(x∈R),則g′(x)=ex-1,令g′(x)=0,解得x=0,故g′(x),g(x)隨x的變化如表所示,x(-∞,0)0(0,+∞)g′(x)-0+g(x)↘極小值↗所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且當x=0時g(x)有最小值為0,即?x∈R,ex-x-1≥g(0)=0,所以ex≥x+1(x∈R)恒成立,當且僅當x=0時,取等號.結(jié)論八函數(shù)的對稱性:已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù).(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱.特別地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,則y=f(x)的圖象關(guān)于點(,)中心對稱.特別地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)中心對稱.結(jié)論九三點共線結(jié)論:設(shè)平面上O,A,B三點不共線,則平面上任意一點P與A,B共線的充要條件是存在實數(shù)λ與μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特別地,當P為線段AB的中點時,=+.證明:先證必要性.如圖2所示,因為P,A,B三點共線,所以∥,即存在t∈R,使得=t,故-=t(-),所以=+t-t=(1-t)+t.設(shè)1-t=λ,t=μ,則=λ+μ,且λ+μ=1.再證充分性.若=λ+μ,且λ+μ=1,λ,μ∈R,則(λ+μ)=λ+μ,圖2即λ-λ=μ-μ,也即λ=μ,所以∥,故A,P,B三點共線.綜上所述,P,A,B三點共線的充要條件是存在實數(shù)λ與μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.結(jié)論十1.若向量,不共線,且點P為線段AB的中點,則·=||2-||2=||2-||2=|2-.2.在矩形ABCD所在平面內(nèi),||2+||2=||2+||2(點O為平面內(nèi)一點).證明:1.如圖3所示,在△OAB中,因為點P為線段AB的中點,所以+=0,故·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-|2=||2-||2=||2-.2.如圖4所示,設(shè)矩形ABCD的對角線AC與BD的交點為P,則點P為AC和BD的中點.因為+=2,-=,則(+)2+(-)2=4||2+||2,即2(||2+||2)=4||2+||2,所以||2+||2=2||2+.同理,||2+||2=2||2+,又||=||,所以||2+||2=|2+||2.
圖3　　　
圖4結(jié)論十一若數(shù)列{an}為等差數(shù)列?an-an-1=d(n≥2,n∈N*)?an+1-an=d(n∈N*)?2an+1=an+an+2對任意n∈N*恒成立?通項公式an=kn+b(k,b為常數(shù),n∈N*)?前n項和公式Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),n∈N*)?數(shù)列也為等差數(shù)列.已知等差數(shù)列{an},其公差為d,前n項和為Sn,求證:也為等差數(shù)列,證明:由通項公式an=a1+(n-1)d知,其前n項和為Sn==na1+·d=n2+(a1-)n(n∈N*),所以=n+a1-,①當n≥2時,=(n-1)+(a1-),②①-②得,-=(n≥2,n∈N*),所以數(shù)列是以=a1為首項,為公差的等差數(shù)列.結(jié)論十二1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn,m,n,t∈N*.(1)若m+n=2t,則am+an=2at,bm·bn=.(2)S2n-1=(2n-1)·an,T2n-1=.2.等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則=.結(jié)論十三已知等比數(shù)列{an},其公比為q(q≠0),前n項和為Sn.(1)數(shù)列也為等比數(shù)列,其公比為.(2)若q=1,則Sn=na1,且{an}同時為等差數(shù)列.(3)若q≠1,則Sn===-·qn=λ-λ·qn,其中λ=.結(jié)論十四已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,前n項積為Tn.(1)若{an}為等差數(shù)列,公差為d,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍為等差數(shù)列,公差為n2d.(2)若{an}為等比數(shù)列,公比為q(q≠0),則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍為等比數(shù)列(當n為偶數(shù)時,q≠-1),公比為qn.(3)若{an}為等比數(shù)列,公比為q(q≠0),則Tn,,,…仍為等比數(shù)列,公比為.結(jié)論十五1.已知圓O的方程為(x-m)2+(y-n)2=R2,點P(a,b),直線l:(a-m)(x-m)+(b-n)(y-n)=R2.(1)若點P在圓O上,則直線l與圓O相切,點P為切點,l為切線.(2)若點P在圓O外,則直線l與圓O相交,兩交點分別為過點P作圓的兩切線的切點,l為切點弦所在的直線.(3)若點P在圓O內(nèi)(不是圓心),則直線l與圓O相離,圓心到直線l的距離d滿足R2=|OP|·d.2.過圓或圓錐曲線上一點P(x0,y0)的切線方程.(1)過圓C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一點P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)·(y-b)=R2.(2)過橢圓+=1上一點P(x0,y0)的切線方程為+=1.(3)過拋物線C:y2=2px(p>0)上一點P(x0,y0)的切線方程為y0y=p(x+x0).3.已知點M(x0,y0),拋物線C:y2=2px(p>0)和直線l:y0y=p(x+x0).(1)當點M在拋物線C上時,直線l與拋物線C相切,其中點M為切點,l為切線.(2)當點M在拋物線C外時,直線l與拋物線C相交,其中兩交點與點M的連線分別是拋物線的切線,即直線l為切點弦所在的直線.(3)當點M在拋物線C內(nèi)時,直線l與拋物線C相離.理解:(1)求過圓錐曲線上(或外)一點的切線方程時,可以借助直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解題套路(聯(lián)立方程,看判別式).(2)在求過圓外一點P(x0,y0)的圓的切線方程時,應注意理解如下兩點:①所求切線一定有兩條;②設(shè)直線方程之前,應對所求直線的斜率是否存在加以討論.結(jié)論十六1.在橢圓E:+=1(a>b>0)中.(1)如圖5所示,若直線y=kx(k≠0)與橢圓E交于A,B兩點,過A,B作橢圓的切線l,l′,有l(wèi)∥l′,設(shè)其斜率為k0,則k0·k=-.(2)如圖6所示,若直線y=kx與橢圓E交于A,B兩點,點P為橢圓上異于A,B的點,若直線PA,PB的斜率存在,且分別為k1,k2,則k1·k2=-.(3)如圖7所示,若直線y=kx+m(k≠0,且m≠0)與橢圓E交于A,B兩點,點P為弦AB的中點,設(shè)直線PO的斜率為k0,則k0·k=-.注:(1)常變形為:橢圓+=1上任意一點(x0,y0)處的切線方程為+=1.(3)常變形為:橢圓+=1內(nèi)以任意一點(x0,y0)為中點的弦AB的斜率k=-·.
圖5　
圖6圖72.在雙曲線E:-=1(a>0,b>0)中,類比上述結(jié)論有:(1)k0·k=;(2)k1·k2=;(3)k0·k=.3.在拋物線C:y2=2px(p>0)中類比1.(3)的結(jié)論有k=(y0≠0).證明:1.(1)首先由橢圓的對稱性知l∥l′,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由結(jié)論十五2.知直線l的方程為+=1,則k0=-,又k=,則k0·k=·(-)=-(切線問題).(2)設(shè)A(x0,y0),則B(-x0,-y0),P(x,y),x≠±x0,則+=1,+=1,則+=0,所以k1·k2=·==-(中心弦問題).圖8(3)如圖8所示,連接BO并延長,交橢圓E于另一點Q,連接AQ,因為點P為AB的中點,由橢圓的對稱性知點O為BQ的中點,則OP為△BAQ的中位線,所以k0=kAQ,又k=kAB,所以由結(jié)論十六1.(2)知,kAQ·kAB=-,即k0·k=-(中點弦問題).2與3中的證明略.結(jié)論十七在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中,曲線上的一定點P(非頂點)與曲線上的兩動點A,B滿足直線PA與直線PB的斜率互為相反數(shù)(傾斜角互補),則直線AB的斜率為定值.(1)如圖9所示,已知橢圓+=1(a>b>0),定點P(x0,y0)(x0y0≠0)在橢圓上,設(shè)A,B是橢圓上的兩個動點,直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB=0,則直線AB的斜率kAB為定值.(2)如圖10所示,已知雙曲線-=1(a>0,b>0),定點P(x0,y0)(x0y0≠0)在雙曲線上,設(shè)A,B是雙曲線上的兩個動點,直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB=0,則直線AB的斜率kAB為定值-.(3)如圖11所示,已知拋物線y2=2px(p>0),定點P(x0,y0)(x0y0≠0)在拋物線上,設(shè)A,B是拋物線上的兩個動點,直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB=0,則直線AB的斜率kAB為定值-.
圖9　　
圖10圖11下面以雙曲線為例給出證明.證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線PA的方程為y=k(x-x0)+y0,令m=y0-kx0,聯(lián)立方程整理得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,則x1x0=-,解得x1=-,同理,x2=-.故直線AB的斜率kAB====-為定值.結(jié)論十八若圓錐曲線中內(nèi)接直角三角線的直角頂點與圓錐曲線的頂點重合,則斜邊所在直線過定點.具體結(jié)論及證明如下:(1)對于橢圓+=1(a>b>0)上異于右頂點的兩動點A,B,以AB為直徑的圓經(jīng)過右頂點(a,0),則直線lAB過定點(()a,0).同理,當以AB為直徑的圓過左頂點(-a,0)時,則直線lAB過定點(-()a,0).(2)對于雙曲線-=1(a>0,b>0)上異于右頂點的兩動點A,B,以AB為直徑的圓經(jīng)過右頂點(a,0),則直線lAB過定點(()a,0).同理,經(jīng)過左頂點(-a,0),則定點為(-()a,0).(3)對于拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩動點A,B,若·=0,則弦AB所在直線過定點(2p,0).同理,拋物線x2=2py(p>0)上異于頂點的兩動點A,B,若⊥,則弦AB所在直線過定點(0,2p).下面以橢圓為例給出證明.圖12證明:如圖12所示,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),A1(a,0),設(shè)直線l的方程為x=ty+m(m≠a).聯(lián)立消去x得(a2+b2t2)y2+2b2mty+b2m2-a2b2=0,因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點A1,所以·=0,即(x1-a,y1)·(x2-a,y2)=0,即x1x2-a(x1+x2)+a2+y1y2=0,(ty1+m)(ty2+m)-a[t(y1+y2)+2m]+a2+y1y2=0,整理得(t2+1)y1y2+(m-a)t(y1+y2)+(m-a)2=0,將(*)式代入上式得+(m-a)t·+(m-a)2=0,化簡得m=,因此直線l過定點(,0).同理可證,若以AB為直徑的圓過左頂點(-a,0),則直線l過定點(,0).結(jié)論十九AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦(焦點弦),過點A,B分別作準線l:x=-的垂線,垂足分別為點A1,B1,點E為A1B1的中點.(1)如圖13所示,以AB為直徑的圓與準線l相切于點E.(2)如圖14所示,以A1B1為直徑的圓與弦AB相切于點F,且|EF|2=|AA1|·|BB1|.(3)如圖15所示,以AF為直徑的圓與y軸相切.圖13圖14圖15證明:(1)如圖13所示,由拋物線的定義知,|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,設(shè)點P為弦AB的中點,則|EP|==,故點E在以AB為直徑的圓上,又EP∥AA1,所以EP⊥A1B1,故準線與圓P相切,切點為E.(2)如圖14所示,連接A1F,B1F,由拋物線的定義知,|AA1|=|AF|,所以∠AA1F=∠AFA1,同理∠BB1F=∠BFB1.又因為AA1∥BB1,所以∠B1BF+∠A1AF=180°,故2∠AFA1+2∠BFB1=180°,即∠B1FA1=90°,即A1F⊥B1F,因此點F在以A1B1為直徑的圓上,則|EA1|=|EF|=|EB1|,所以∠BFE=∠EFB1+∠BFB1=∠EB1F+∠BB1F=90°,即EF⊥BF,所以EF⊥AB,故以A1B1為直徑的圓與弦AB相切于點F.結(jié)合本結(jié)論(1)可知,AE⊥BE,又在Rt△AEB中,EF⊥AB,所以Rt△BEF∽Rt△EAF,即=,所以|EF|2=|AF|·|BF|=|AA1|·|BB1|.(3)如圖15所示,設(shè)準線與x軸的交點為F1,AF的中點為P,過點P作PQ⊥y軸,垂足為點Q,延長PQ交準線l于點P1,由點P為AF的中點知,|PP1|==+,即PQ==,所以點Q在以AF為直徑的圓上,又PQ⊥y軸,所以以AF為直徑的圓與y軸相切,切點為Q.結(jié)論二十焦點三角形的面積:(1)在橢圓+=1(a>b>0)中,F1,F2分別為左、右焦點,P為橢圓上一點,則△PF1F2的面積=b2·tan,其中θ=∠F1PF2.(2)在雙曲線-=1(a>0,b>0)中,F1,F2分別為左、右焦點,P為雙曲線上一點,則△PF1F2的面積=,其中θ=∠F1PF2.證明:(1)若△PF1F2為一般三角形,如圖16所示,則=|PF1||PF2|sin θ(用θ表示∠F1PF2),由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|(1+cos θ)=4c2,所以2|PF1||PF2|(1+cos θ)=4a2-4c2=4b2,圖16|PF1||PF2|=,所以=|PF1||PF2|·sin θ===b2tan.(2)雙曲線相關(guān)結(jié)論的證明略.

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