新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)鞏固訓(xùn)練專題11《直線與圓》小題綜合練（2份，原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

點(diǎn)到直線的距離公式
點(diǎn)，直線，點(diǎn)到直線的距離為：
兩條平行線間的距離公式
，，
直線與圓的位置關(guān)系
直線，圓
代數(shù)關(guān)系，幾何關(guān)系
圓上一點(diǎn)的切線方程
圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓的半徑為，設(shè)圓的半徑為，兩圓的圓心距為
若，兩圓外離，若，兩圓外切，若，兩圓內(nèi)切
若，兩圓相交，若，兩圓內(nèi)含，若，同心圓
兩圓外離，公切線的條數(shù)為4條；兩圓外切，公切線的條數(shù)為3條；
兩圓相交，公切線的條數(shù)為2條；兩圓內(nèi)切，公切線的條數(shù)為1條；
兩圓內(nèi)含，公切線的條數(shù)為0條；
弦長(zhǎng)公式，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，有：
則
或：
沖刺訓(xùn)練
1.若過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦最短時(shí)直線的方程為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由條件可知，當(dāng)最短時(shí)，直線，即可得到，從而得到結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)最短時(shí)，直線，所以.又，所以，
所以的方程為，即.故選：D
2.已知圓C：，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，互相垂直，圓心C到直線，的距離分別為，，則的最大值為（）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【分析】由四邊形是矩形，應(yīng)用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案.
【詳解】過(guò)圓心C分別作直線，的垂線，垂足分別為，．，互相垂直，所以四邊形為矩形．由圓C：，可得，又，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為1，故選：B.

3.已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為（）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再求出點(diǎn)P到直線距離的最大值作答.
【詳解】圓的圓心，半徑，直線的方程為：，于是點(diǎn)到直線：的距離，而點(diǎn)在圓上，因此點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以面積的最大值為.故選：D.

4.設(shè)a，b為正數(shù)，若直線被圓截得弦長(zhǎng)為4，則的最小值為（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，再由均值不等式求解即可.
【詳解】由可得，故圓的直徑是4，所以直線過(guò)圓心，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.
5.若兩條直線：，：與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等，得到等量關(guān)系求解即可.
【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以，故選：A.
6．（多選）已知圓和兩點(diǎn)，．若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值可以為（）
A． B．4 C． D．6
【答案】BCD
【分析】由，得的軌跡是以為直徑的圓O，故點(diǎn)P是兩圓的交點(diǎn)，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可求解m的范圍．
【詳解】∵，∴點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓O，半徑為，故點(diǎn)P是圓O與圓C的交點(diǎn)，
圓心和半徑分別為，，因此兩圓相切或相交，即，解得．故選：BCD

7．（多選）如圖所示，該曲線W是由4個(gè)圓：，，，的一部分所構(gòu)成，則下列敘述正確的是（）

A．曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2π
B．若圓與曲線W有8個(gè)交點(diǎn)，則
C．與的公切線方程為
D．曲線W上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為4
【答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)可將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，即可判斷；B選項(xiàng)可直接由圖討論判斷對(duì)錯(cuò)；C選項(xiàng)可由圓心到直線的距離等于半徑，求出公切線；D選項(xiàng)可先找到，的公切線方程為，曲線W上的點(diǎn)到直線的距離的最小值即為平行線間的距離.
【詳解】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，
所以其面積為，故A選項(xiàng)正確.
當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為B，D，F(xiàn)，H；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為A，C，E，G；當(dāng)或時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為8，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
設(shè)與的公切線方程為，由直線和圓相切的條件可得，
解得，（舍去），
則其公切線方程為，即，故C選項(xiàng)正確.
同理可得，的公切線方程為，則兩平行線的距離，故D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
8．（多選）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)P，圓，則下列說(shuō)法正確的有（）
A．直線過(guò)定點(diǎn)（1，3） B．直線與圓C相交最短弦長(zhǎng)為2
C．動(dòng)點(diǎn)P的曲線與圓C相切 D．最大值為5
【答案】AB
【分析】根據(jù)直線方程求出定點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷A正確；當(dāng)時(shí)，直線與圓C相交最短弦長(zhǎng)，由幾何法求弦長(zhǎng)可判斷B正確；根據(jù)，可得動(dòng)點(diǎn)P的曲線是圓，利用圓心距和兩圓半徑的關(guān)系可判斷C錯(cuò)誤；根據(jù)及不等式知識(shí)求出最大值，可判斷D錯(cuò)誤.
【詳解】因?yàn)閯?dòng)直線過(guò)原點(diǎn)，所以,由，得，則，故A正確；
當(dāng)時(shí)，圓心到直線：的最大值為，所以直線與圓C相交最短弦長(zhǎng)為，故B正確；
因?yàn)?，，所以，所以，所以?dòng)點(diǎn)P的曲線是以為直徑的圓，該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)閮蓤A圓心距為，兩圓半徑之和為，兩圓半徑之差為，且，所以動(dòng)點(diǎn)P的曲線與圓C相交，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以最大值為，故D錯(cuò)誤.

故選：AB
9.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，若直線l與直線平行，則．
【答案】
【分析】由題意，利用兩直線平行的性質(zhì)，直線的斜率公式，求得m的值．
【詳解】∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且與直線平行，∴，求得，
故答案為：．
10.在中，的內(nèi)角平分線方程為，，，則角的正切值為．
【答案】
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，關(guān)于的內(nèi)角平分線所在直線方程的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線上，據(jù)此可以求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出
【詳解】由題意得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線上，
設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，記，則是中垂線，于是，解得，
故，又，故直線方程為，于是和的交點(diǎn)為的坐標(biāo)，
由，則，故，
則，.故答案為：

11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，則的最大值為 .
【答案】
【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)知直線過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)題意確定在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，并寫出圓的方程，由點(diǎn)到圓心距離求的最大值.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以直線過(guò)定點(diǎn).點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，的中點(diǎn)為，該圓的方程為，所以的最大值為.故答案為：.

12.已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為．
【答案】，或，或
【分析】對(duì)切線的是否過(guò)原點(diǎn)進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出參數(shù)的值，即可得出直線的方程.
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€l的橫縱截距相等，所以直線的斜率存在，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€l與圓C相切，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€l與圓C相切，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為或，綜上所述，直線l的方程為，或，或.故答案為：，或，或.
13.在平面直角坐標(biāo)系中，圓為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，若點(diǎn)在以為直徑的圓上，則到軸距離的最大值為 .
【答案】
【分析】設(shè)，可得，當(dāng)位于上方，且軸時(shí)，到軸距離取得最大值，此時(shí)，到軸距離為，設(shè)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】設(shè)，則，，
當(dāng)位于上方，且軸時(shí)，到軸距離取得最大值，此時(shí)，設(shè)到軸距離為，且，設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，故答案為：.
14.若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
【答案】.
【分析】由題意得，圓心到直線的距離，列式求解即可．
【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，所以圓心到直線的距離，所以，解得．故答案為：．
15.已知三點(diǎn)在圓上，的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最大值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)，且點(diǎn)到圓與軸的正半軸交點(diǎn)的距離為4，正好是的關(guān)系，而三角形的重心是中線的三等分點(diǎn)，所以不妨認(rèn)為圓與軸的正半軸交點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，從而可知另兩個(gè)頂點(diǎn)正好是圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，從而可以得到三角形三邊的關(guān)系，進(jìn)而借助基本不等式求出結(jié)果.
【詳解】由圓得圓心，半徑圓，如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在軸的正半軸上，由于的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且,所以為圓的直徑，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為.故答案為：.
直線與圓隨堂檢測(cè)
1.已知圓：，直線：被圓截得的弦長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用弦，弦心距和半徑的關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】圓：的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以直線：被圓截得的弦長(zhǎng)為，故選：C.
2.圓：與直線：交于、，當(dāng)最小時(shí)，的值為（）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】首先求出直線恒過(guò)定點(diǎn)，依題意當(dāng)時(shí)弦最小，求出直線的斜率，即可得解.
【詳解】直線：，即，令，解得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，

所以當(dāng)時(shí)弦最小，因?yàn)?，所以，即，解?故選：B
3.直線與曲線恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】是斜率為的直線，曲線是以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓的右半圓，利用點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合圖形可得答案.
【詳解】是斜率為的直線，曲線是以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓的右半圓，畫出它們的圖象如圖，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，（舍去），當(dāng)直線過(guò)時(shí)，,由圖可以看出：
當(dāng)時(shí)，直線與半圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，故選：

4．（多選）設(shè)直線系，下列命題中的真命題有（）
A．中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)
B．存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上
C．對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上
D．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等
【答案】BC
【分析】根據(jù)條件分析出為圓的全體切線組成的集合，再逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】由題知，點(diǎn)到中每條直線的距離，即為圓的全體切線組成的集合，從而中存在平行的直線，所以A錯(cuò)誤；又因?yàn)辄c(diǎn)不存在任何直線上，所以B正確；對(duì)任意，存在正邊形使其內(nèi)切圓為圓，故C正確；中的直線能組成兩種大小不同的正三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：BC
5．（多選）已知圓的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）
A．存在切點(diǎn)使得為直角 B．直線過(guò)定點(diǎn)
C．的取值范圍是 D．面積的取值范圍是
【答案】BD
【分析】通過(guò)分析知不可能為直角，可判斷A、C錯(cuò)誤；求出直線的方程，令，，即可得直線恒過(guò)的定點(diǎn)可判斷B；求出面積的取值范圍可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，圓的上頂點(diǎn)為，即點(diǎn)，若為直角，則為直徑，顯然同一直徑不能同時(shí)垂直兩條相交直線，所以不可能為直角，故A錯(cuò)誤；同理C選項(xiàng)的數(shù)量積也取不到，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于B,設(shè)，

因?yàn)?，，，則的方程為：，因?yàn)?br>化簡(jiǎn)可得：，同理的方程為：，而在切線，上，所以，，因?yàn)樵谥本€
故直線的方程為，令，，即過(guò)定點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于D，圓心到直線的距離平方為，線段一半的平方為：，
點(diǎn)到直線的距離的平方為：，所以面積的平方為：
①，因?yàn)椋?br>所以由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，①的分母取得最小值，所以面積平方的最大值，故面積的最大值為，故面積的取值范圍是，故D正確.故選：BD.
6.寫出經(jīng)過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為的一條直線的方程．
【答案】或
【分析】根據(jù)圓的一般方程求出圓心和半徑，利用直線的點(diǎn)斜式方程設(shè)出直線及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓中弦長(zhǎng)，半徑及弦心距的關(guān)系即可求解.
【詳解】圓的方程可化為，圓心為，半徑．當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心在直線上，弦長(zhǎng)，不滿足題意，所以過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，即，則圓心到直線的距為，依題意，即，解得或，故所求直線的方程為或．
故答案為：或．
7.若圓與軸相切，與直線也相切，且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則圓的半徑為 .
【答案】1或
【分析】分析出圓心的位置，將點(diǎn)代入解析式，即可求出圓的半徑.
【詳解】由題意，在直線中，傾斜角為，∴圓的圓心在兩切線所成角的角平分線上.
設(shè)圓心，則圓的方程為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得，解得：或，∴圓的半徑為1或.
故答案為：1或.

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